2024年秋季新高二开学考数学模拟卷（含答案）

2024年秋季学期新高二开学考数学试卷

考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟；日期：2024年8月

题号一二三四总分

得分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

L复数三的共辗复数是（）

A.i+2B.-2+iC.-2-iD.2T

2.命题"％eR,sin%+1>0”的否定是(

A.3%G/?,sin%+1<0B.X/xER,sinx+1<0

C.G/?,sinx+1>0D.XfxER,sinx+1<0

3.已知函数f（x）=牖曹工”4°恰有两个零点，则m的取值范围为（）

A.(-1,+8)B.(1,+oo)C.[1,+8)D.[-l,+oo)

4.已知函数/(%)=Asin(a%+ER,A>0fa)>0,\(p\<方的图象(部分)如图

/(%)的解析式是()

A./(x)=2sin(%+看)(％ER)B./(%)=2sin(2x+

C./(%)=2sin(%+§(%€R)D./(%)=2sin(2x+§(%ER)

5.从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350/cW•h之间.将数据分组后得到如表所示的频

率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是（）

分组[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)[300,350]合计

频率0.120.180.300.250.100.051

A.230B.235C.240D.245

6.为解决某校午餐路途拥挤问题，计划修建从教学楼直达食堂的空中走廊.现结合以下设计草图提出问题：已知4。两

点分别代表食堂与教学楼出入口，C点为。点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得乙乙4。二15°,乙CBD=45°,AB=

50m,CD=257n.设Z>£ME=0,则cos。=()

C.<3-1D.与

7.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①a=

0.03；②若抽取100人，则平均用时一定为13.75小时；③若从每周使用时间在［15,20）,［20,25）,［25,30］三组内的学生

中用比例分配的分层随机抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在［20,25）内的学生中选取的人数为3.其中正确

C.②③D.①②③

8.已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P-ABCD的底面正方形边长

为2,其内切球。的表面积为半动点Q在正方形ABCD内运动，且满足OQ=OP,则动点Q形成轨迹的周长为（）

A27r—37r-（4加一57r

A.—B.—C.—D.—

11111111

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图，在三棱柱4BC-4再也1中，4B=「44I=2，3，△ABC是等边三角形，点。为该三棱柱外接球的球心，则

下列命题正确的有（）

A.A41平面力8CB,异面直线/C与441所成角的大小是［

O

C.球。的表面积是20兀D.点。到平面4B1C的距离是余

cos

10.已知。为坐标原点，点P](cosa,sina),P2(—sin/?),P3(cos(a+13),sin(a+/?)),4(1,0),贝!J()

A.\0Pr\=\0P2\B.\APr\=\AP2\

C.雨•西=西•西D.OA-OPl=~OP^-OP^

11.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品

产量(单位：kg),其频率分布直方图如图所示.

旧养殖法新养殖法

根据频率分布直方图，下列说法正确的是()

A.新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值

B.新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值

C.新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值

D.新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合力={%|/一4%+42-7=0},B={无一式一6二°卜若满足anB=2UB,则实数a=.

12

13.已知正数久，y满足％+3y—,=6,贝!J久+3y的最小值是.

14.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学

已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学

科中再选择一门，设事件E=“选择生物学科”，F="选择一门理科学科”，G=“选择政治学科"，”="选择一门文科学

科”，现给出以下四个结论：

①G和H是互斥事件但不是对立事件；

②尸和H是互斥事件也是对立事件；

③P(F)+P(G)=1；

④P(EUW)=P(E)+P(W).

其中，正确结论的序号是.(请把你认为正确结论的序号都写上)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

44BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2B+cos2C—cos2A=1—2sinBsinC.

⑴求a；

(2)若a=4,求团ABC面积的最大值.

16.(本小题15分)

“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝.南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多.开

始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程

中深受社会各阶层的欢迎.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙

同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.

(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为求九的值.

17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC—41B1G中，侧棱力力11底面ABC,M为棱AC的中点.AB=BC,AC=2,44]=。.

(1)求证：〃平面力iBM；

(2)求证：AC11平面4/M；

(3)在棱BBi上是否存在点N,使得平面2GN1平面A41GC?如果存在，求此时署的值；如果不存在，请说明理由.

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=需是定义在(—1,1)上的奇函数，且/弓)=

(1)确定函数/(%)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在上是增函数：

(3)解关于x的不等式/'(X-1)+f(x)<0.

19.(本小题17分)

给定三棱锥。，设。的四个顶点到平面a的距离所构成的集合为M,若M中元素的个数为k,则称a为。的k阶等距平面,

称M为O的那介等距集.

A

C

(1)若。为三棱锥A—BCD,满足4B=CD=4。=BC=4,AC=BD2,求出。的1阶等距平面截该三棱锥所得到的

截面面积(求出其中的一个即可)；

(2)如图所示，。是棱长为，克的正四面体4BCD.

(i)若a为。的1阶等距平面且1阶等距集为{a},求a的所有可能取值以及相对应的a的个数；

(ii)已知夕是。的4阶等距平面，点2与点B,C,。分别位于£两侧,是否存在口，使。的4阶等距集为出,2h3h46},其中点

2到0的距离为6?若存在，求出£截。所得的平面多边形的最大边长;若不存在，说明理由.

绝密★启用前

2024年秋季学期新高二开学考数学试卷

考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟；日期：2024年8月

题号一二三四总分

得分

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数怎的共辗复数是（）

A.i+2B.-2+iC.-2-iD.2-i

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查复数的运算与共辗复数，属于基础题.

首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轨复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，

得到要求的共轨复数.

【解答】解：•.・复数2=与等=-2-1,

1一22'一』

二共轨复数是-2+i,

故选：B.

2.命题“Vx£R,sinx+1>0”的否定是（）

A.BxE.R,sinx+1<0B.\/xER,sinx+1<0

C.BxER,sinx+1>0D.\/xe.R,sinx+1<0

【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了命题的否定，属于基础题.

破解含有量词的命题的否定需两步骤：一是把全称量词改为存在量词，或把存在量词改为全称量词;二是对结论进行否

定.

【解答】解：把全称量词改为存在量词，并否定结论,

则原命题的否定为TxeR,sinx+1<0”，

故选A.

3.已知函数〃久)=篇曹瑟》4°恰有两个零点，则机的取值范围为()

A.(-1,+oo)B.(l,+oo)C.[1,+oo)D.[-1,+oo)

【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了分段函数，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题.

当x>0时，/(x)显然有一个零点，要使函数/'(x)恰有两个零点，则/(%)=2x+m-l(xW0)必有一个零点，结合

/(%)=2%+m-1(%<0)的单调性，列式可得结果.

【解答】

解：函数的=缁曹瑟乂《°，

当久>0时，f(x)显然有一个零点，所以要使函数f(x)恰有两个零点，则/(久)=2万+巾-1040)必有一个零点，

又/(x)=2x+m—1在(―8,0]上单调递增，

所以/'(0)=m-1>0,解得m>1.

故本题选C.

4.已知函数〃久)=Asin(Mx+(p)(xeR,A>0,co>0,\<p\<今的图象(部分)如图所示，则/(x)的解析式是()

A./(x)=2sin(x+)(xeR)B.f(x)—2sin(2x+"(xeR)

C./(%)=2sin(x+§(xeR)D./(%)=2sin(2x+%(xeR)

【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

根据图象求出43和0,即可求函数/(%)的解析式.

【解答】

解：由图象可知7=4乂,一$=2兀，

27r27r.

••.3=下=石=1,

•・"(X)过最高点偿,2),

A—2,卬)=即弓+k€Z,

sin(—o+o1z,z+0=2/OT,

取<3

n

中=5'

/(%)的解析式为/1(%)=2sin(x+^)(xG/?).

故选：C.

5.从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350/dV-/i之间.将数据分组后得到如表所示的频

率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是()

分组[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)[300,350]合计

频率0.120.180.300.250.100.051

A.230B.235C.240D.245

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了频率分布表，百分位数，学生的数学运算能力，属于基础题.

利用百分位数的概念，即可解出.

【解答】

解：由频率分表可知，数据均匀分布，

所以第80百分位数是，200+50x08-0.1就.18-0.3=240,

故选：C.

6.为解决某校午餐路途拥挤问题，计划修建从教学楼直达食堂的空中走廊.现结合以下设计草图提出问题：已知2,D两

点分别代表食堂与教学楼出入口，C点为D点正上方一标志物，4E对应水平面，现测得=15。，4CBD=45。，AB=

50m,CD=257n.设=3,则cos。=()

c

I)

E

A.<2

【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查解三角形的实际应用，属于中档题.

因为e+/LADE=90°,贝Ijcose=cos(90°-NADE)=sin^ADE=sin乙BDC,再结合三角形BCD求解即可.

【解答】

解：在AABC中，因为NC4D=15。，^CBD=45°,

所以“BA=135°,^ACB=30°.

由正弦定理得BC4B

sinz.BACsinzSCB’

ABsinZ.BAC50xsinl5

=25(^-V-2).

BC=sin乙4cBsin30°

CD

在ABC。中，由正弦定理得菽或=

sin乙CBD'

所以sin/BDC=蟹泮=25(fx?=d

因为。+NADE=90°,

所以cos。=cos(90°—Z.ADE}—sinZ_4DE=sinZ-BDC—>J~3—1.

7.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①a=

0.03；②若抽取100人，则平均用时一定为13.75小时；③若从每周使用时间在［15,20）,［20,25）,［25,30］三组内的学生

中用比例分配的分层随机抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在［20,25）内的学生中选取的人数为3.其中正确

的序号是（）

0.06■~

0.04,—*,—

41

0.02一

0,01

051015202530时闻小时

A.①②B,①③C.②③D.①②③

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

利用频率和为1判断①；根据平均数的计算判断②；利用分层抽样的性质判断③。

【解答】

解：由频率分布直方图得：

对于①，(0.02+0.04+0.06+0,04+a+0.01)X5=1,解得a=0.03,故①正确；

对于②，根据频率分布直方图可估计出平均值为(0.02x2.5+0.04x7.5+0.06x12.5+0.04x17.54-0.03x22.5+

0.01X27.5)X5=13,75,

所以估计抽取100人的平均用时为1375小时，②的说法太绝对，故②错误；

对于③，从每周使用时间在[15,20),[20,25),[25,30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，

则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为：8X——=3,故③正确.

8.已知正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥)P-4BCD的底面正方形边长

为2,其内切球。的表面积为全动点Q在正方形4BCD内运动，且满足OQ=OP,则动点Q形成轨迹的周长为()

A.*B.等C.萼D.整

11111111

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了正四棱锥内切球，与圆有关的轨迹问题，属于中档题.

先求出球。的半径R=?,连接4C与BD,设交点为F,取4D的中点E,连接PE,PF,EF,根据等体积法得PE=普,

O11

。尸=唱，在RtAOFQ中，QF=条,点Q在以点尸为圆心，豆为半径的圆上，求其周长即可.

【解答】

解：设内切球。的半径为R,贝3兀/?2=：...R=g，

J6

如图，连接4c与BD,设交点为尸，取4。的中点E,连接PE,PF,EF,

根据等体积法得彳⑸BCD+4SAPAB)R=gXAB?xPF,

.•:(4+4x:x2xPE)x孝=?xPF，整理得1+PE=2cPF，

3z63

又PE2-PF2=1,解得PE=^,PF=*，

CL口

•••OF=—，OnPn=—1—3—c，0_Q_=OCDP=1"3c，

66666

在RtAOFQ中，QF=J（若）2_（?）2=

.••点Q在以点尸为圆心，条为半径的圆上，其周长为27rxl=Q.

故选C.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图，在三棱柱ABC-2/16中，4B=C44I=2，N,△ABC是等边三角形，点。为该三棱柱外接球的球心，则

下列命题正确的有（）

B.异面直线BiC与所成角的大小是看

C.球。的表面积是207r

D.点。到平面力B】C的距离是音

【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查棱柱的切接问题，棱柱的结构特征，异面直线所成的角，点到平面的距离，具有一定的综合性.

【解答】解：如图，因为球。是三棱柱ABC-2/停1的外接球，所以该三棱柱为直三棱柱，即441，平面则A正

确因为A41//CG，所以NB1CG是异面直线/C与441所成的角.因为4B=「44]=2，3,所以tanNB/G=衿=

普=/$所以NB1CC1=，则2错误.

1

21

,--

设△a/iG外接圆的圆心为。「连接。。1，OiG，。6，由题意可得。16=|xV为一3=2则球

。的半径R=OCi=门，从而球。的表面积是4兀产=4兀x（门）2=20兀，故C正确.

设4外接圆的半径为r,由题意可得24=B]C=V12+4=4,贝卜也4当4。=咨三=竽.由正弦定理可得r=

=则点。到平面4B1C的距离d=7R2_/=J5-箓=零,故。正确•

2X——\1313

cos

10.已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(-sin/?),P3(cos(a+/?),sin(a+jff)),4(1,0),则()

A.\OPr\=\0P2\B.|/Pi|=|ZP2l

C.OA~OP^=OK-OP^D•以碣=恒•丽

【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查平面向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，考查三角函数的恒等变换，属于中档题.

根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可.

【解答】

解：。4=(1,0),OP】=(cosa,sina),OP；=(cosP，—sin/?),OP：=(cos(a+/?),sin(a+/?)),AP[=(cosa-1,sina),

AP；=(cos/?—1,—sinjB),

=22

对于4|0Pli=7cos2a+sin2a=1,|0P2IVcos/?+(—sin^)=1,A正确；

对于8,|A|=J(cosa—1)2+sin2a=，2—2cosa,

22

|AP2I=7(cos/?—l)+(—sin/?)=J2—2cos£,

因为cosa,cos£不一定相等，所以|Z耳I，|彳可|不一定相等，3错误；

对于C,•OP：=cos(a+0)；

OPi•而2=cosacos/3+sina(—sin/?)=cos(a+/?),C正确；

对于。，0^4-OP；=COSQ,OP；•OP；=cos/3cos(a+S)+(—sin£)sin(a+3)=cos(a+20),

成•碣与也•丽不一定相等，。错误.

故选：AC.

11.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品

产量(单位：kg),其频率分布直方图如图所示.

旧养殖法新养殖法

根据频率分布直方图，下列说法正确的是()

A.新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值

B.新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值

C.新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值

D.新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍

【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力.

利用频率分布直方图的性质结合选项进行计算，得出正确结论.

【解答】

解：对于力，旧养殖法的平均数幅=27.5x0.06+32.5x0.07+37.5x0.12+42.5x0.17

+47.5x0.2+52.5x0.16+57.5x0.1+62.5x0.06+67.5x0.06=47.1

22222

所以s/ff=(27.5-47.1)x0.06+(32.5-47.1)x0.074-(37.5-47.1)x0.12+(42.5-47.1)x0.17+(47.5-

47.1)2X0.2+(52.5-47.1)2X0.16+(57.5-47.1)2X0.1+(62.5-47.1)2X0.06+(67.5-47.1)2X0.06=107.34

新养殖法的平均数二=37,5X0.02+42.5X0.1+47.5X0.22+52.5X0.34+57.5X0.23+62.5X0.05+67.5X

0.04=52.35

22

所以s?新=(37.5-52.35)2x002+(42.5-52.35/x0.1+(47.5-52.35)X0.22+(52.5-52.35)X0.34+

(57.5-52.35)2x0.23+(62.5-52.35)2x0.05+(67.5-52.35)2x0.04=39.7275

因为S2新<$2旧,

所以新网箱产量的方差的估计值低于旧网箱产量的方差的估计值，故A错误.

对于8,旧养殖法中，左边4个矩形的面积和为(0.012+0.014+0.024+0.034)x5=0.42,左边5个矩形的面积和为

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.04)X5=0.62,所以其中位数在45和50之间.

新养殖法中，左边三个矩形的面积和为0.34,左边4个矩形的面积和为0.68,所以其中位数在50和55之间.所以新网箱产

量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值，所以B正确.

对于C,因为它=47.1,得=52.35,所以新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值，故C正确.

对于D,旧网箱频率最高组总产量估计值为47.5x100x0.2=950,

新网箱频率最高组的总产量的估计值为52.5X100X0.34=1785,

所以新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍，故。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合4={x|%2—口无+—7=o},B={x\x2—x—6=0},若满足4nB=4UB,则实数a=.

【答案】1

【解析】【分析】

本题主要考查了集合集合的交集与并集的性质，属于基础题.

由ZnB=4UB,可得4=B,从而问题得解.

【解答】

解：由于&nB=4UB,所以力=B,

所以a=1,

故答案为1.

13.已知正数x,y满足x+3y-彳一,=6,贝!+3y的最小值是.

【答案】8

【解析】【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，考查解不含参的一元二次不等式，属于拔高题.

由题意可得x+3y=6+©+；),贝!J(x+3y>=[6+(；+|)](x+3y),化简可得(x+3y)2=6(%+3y)+10+3((+：),

换元，4t=x+3y,并结合基本不等式可得3©+^)=t2-6t-10>6,解不等式可求出t的最小值，即可得出x+3y

的最小值.

【解答】

解：因为刀+3)/一±-三=6,

yxy

1Q

所以x+3y=6+(；+)，

所以(x+3y>=[6+(；+》](久+3y)

3V3%

=6(x+3y)+(l+9+W+歹)

=60+337)+10+3©+》，

人y

令t=x+3y,

因为x,y均为正数，

所以t>0,

则/=6t+10+3g+'),

yy

则3号+令=t2-6t-10,

砂+j2不=2,

%yNXy

当且仅当上=2时等号成立，

xy

所以3g+^)=t2-6t-10>6,当且仅当上=2时等号成立，

yyxy

即产一6t-16》0,当且仅当丫=2时等号成立，

xy

解得t>8,或t《一2(负值舍去)，

所以1>8,

即％4-3y>8,当且仅当,=时，即％=y=2时等号成立，

JxyJ

即x+3y的最小值为8.

14.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学

已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学

科中再选择一门，设事件E=“选择生物学科”，F="选择一门理科学科”，G=“选择政治学科"，”="选择一门文科学

科”，现给出以下四个结论：

①G和”是互斥事件但不是对立事件；

②F和H是互斥事件也是对立事件；

③P(F)+P(G)=1；

@P(EUH)=P(E)+P(H).

其中，正确结论的序号是.(请把你认为正确结论的序号都写上)

【答案】②④

【解析】【分析】

本题考查互斥事件，对立事件，属于基础题.

根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可.

【解答】

解：事件H="选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科”，

所以事件G=“选择政治学科”，包含于事件H,

故事件可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确；

事件F="选择一门理科学科”，与事件H="选择一门文科学科”，

不能同时发生，且必有一个事件发生，故尸和H是互斥事件，也是对立事件，故②正确；

由题意可知P(F)=,,P(G)=，所以P(F)+P⑹=|力1,故③不正确；

事件E=“选择生物学科”，与事件H="选择一门文科学科”，

不能同时发生，故E和H是互斥事件，所以P(EUH)=P(E)+P(H),故④正确.

故答案为：②④.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2B+cos2C—cos2A=1—2sinBsinC.

(1)求4

(2)若a=4,求国ZBC面积的最大值.

【答案】解：(1)由已知得1—2sin2B+1—2sin2C-1+2sin27l=1—2sinFsinC,

即sin2A—sin2B—sin2c=—sinBsinC,

由正弦边角关系得M-b2-c2=—be,

由余弦定理得0，

cos/=b展2b一c=:2

又0<4<7T,

所以4=与

(2)因为a=4,所以16=b2+c2—be>be,当且仅当b=c=4时等号成立，

所以Z/BC=|besinA=?be《4V-3

故三角形ABC的面积最大值为4/3

【解析】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应

用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题.

(1)由正弦定理得-匕2一c2=—be,然后根据余弦定理求出结果.

(2)根据题意得到16=b2+c2-bc>be,然后通过三角形面积公式求出结果.

16.(本小题15分)

“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝.南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多.开

始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程

中深受社会各阶层的欢迎.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙

同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.

(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为求"的值.

【答案】解：(1)设“甲猜对灯谜”为事件4“乙猜对灯谜”为事件B,“任选一道灯谜，甲，乙两位同学恰有一个人猜对”

为事件C，

由题意得，

»八123n/n、82

P⑷=五=+0(刃二五二丁

且事件4B相互独立，

则P(C)=P{AB+AB)

=PQ4万)+P(彳B)

=P(4)P(瓦)+P(J)P(B)

=P⑷[1-P(B)]+[1-P(4)]P(B)

33,229+413

5X5+5X5=^T=55,

所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为获；

(2)设“丙猜对灯谜”为事件D,

“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E,

则由题意，事件4、B、。相互独立，

P(E)=P(ABD)=P(A)P(B)P(D)

=a_i)a_oawxI。_给=i_H，

解得72=10.

【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，利用加法公式计算古典概型，属于中档题.

(1)设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可；

(2)利用相互独立事件概率乘法公式即可求出n的值.

17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC—41B1Q中，侧棱A4i1底面ABC,M为棱4C的中点.AB=BC,AC=2,=^2.

(1)求证：B]C〃平面&BM；

(2)求证：力G1平面&BM；

DN

(3)在棱BBi上是否存在点N,使得平面4GN1平面a&GC?如果存在，求此时画的值；如果不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)连结4位交于0,连结。

在ABMC中，因为M,。分别为4C,4%中点，

所以。M〃2C.

又因为0Mu平面力iBM,B[CC平面&BM,

所以B】C〃平面

(2)因为侧棱4411底面48C,BMu平面4BC,

所以1BM.

又因为M为棱4C中点，AB=BC,所以

因为ACu平面4CG4.

所以BM1平面accia.aciu平面4CC1a.

所以BMJ.4G.

因为M为棱4C中点，AC=2,所以4M=1.

又因为441=。，所以在RtAACCi和RtAAiAM中,

tan/ACiC=tanN&MA=>J~2.

所以NAQC=乙41MA,

即N/C+ZQ4C=乙+44C=90°.

所以14

因为=BM,u平面&BM.

所以4cl1平面&BM.

(3)当点N为SB1中点时，即鼠=3,平面"iN，平面4l£C.

设4G中点为D,连结DM,DN.

因为D,M分别为4G，4C中点，

所以。M〃CG,且。M=：CC「

又因为N为BBi中点，

所以DM〃BN,且DM=BN,

所以四边形DMBN是平行四边形，

所以BM//DN,

因为BM_L平面ACC1&,

所以DN1平面4CG41.

又因为DNu平面ACiN,所以平面力GN1平面力CC14.

【解析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象

能力和转化思想，属于中档题.

(1)连结力劣交于。，连结。M,可证。又。Mu平面&BM,/CC平面力/”，即可证明B4〃平面力把时；

(2)易证4411BM,又可证BM1AQ,由AC=2,AM=1,AAr=<7,可求NAQC+ZQ4C=^ArMA+NQ4C=90°,

从而可证1ACr,从而证明1平面&BM；

(3)当点N为SB1中点时，可证平面AQN平面44iC1C,设AC1中点为D,连结DM,DN,可证BM〃DN,由1平面

ACC±Ar,可证DN1平面2CG4,即可证明平面4QN_L平面ACC14.

18.(本小题17分)

已知函数/(久)=普是定义在(一1,1)上的奇函数，且f停)=|.

■LI人、乙/D

(1)确定函数八久)的解析式;

(2)用定义证明f(x)在上是增函数：

(3)解关于x的不等式f(X-1)+f(x)<0.

【答案】(1)解：函数/(%)=券是定义在上的奇函数,

则((0)=0,即有b=0,

1

且/弓)据嘘|,解得a=1,

经检验符合题意,

则函数/(%)的解析式：/(X)=(-1<X<1)；

(2)证明：任取一1V汽1V%2V1，

则/(%1)一/(%2)一布一加一说口)(月+1)，

由于一1V汽1V不v1，贝卜1—%2<0，1+xf>0,1+必>0,

•・,—1<%1%2<1，

•••1—%1%2>0，

・••f01)-/(%2)<0，

/■(X)在(一1,1)上是增函数.

(3)解：由于奇函数/'(x)在上是增函数，

则不等式f(x—l)+f(x)<O

即为八万—1)<—/(*)=/"(—%),

r-i<x-1<1

即有,一1cx<1,

%—1<—X

fO<x<2

解得卜1[<1

(X<2

则有0<x<p

即等式/(X-1)+/(%)<。的解集为(0,；).

【解析】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题.

(1)由奇函数得/(0)=0,求得b,再由已知，得到方程，解出a,即可得到解析式；

(2)运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；

⑶运用奇偶性和单调性，得到不等式/(x-1)+/(%)<0即为/(%-1)<-/(%)=得到不等式组，解出即可.

19.(本小题17分)

给定三棱锥。，设。的四个顶点到平面a的距离所构成的集合为M,若M中元素的个数为k,则称a为。的k阶等距平面,

称M为。的那介等距集.

A

C

(1)若。为三棱锥A—BCD,满足4B=CD=BC=4,AC=BD2,求出。的1阶等距平面截该三棱锥所得到的

截面面积(求出其中的一个即可)；

(2)如图所示，。是棱长为，友的正四面体4BCD.

(i)若。为0的1阶等距平面且1阶等距集为｛研，求a的所有可能取值以及相对应的a的个数；

(ii)已知£是。的4阶等距平面，点4与点B,C,。分别位于£两侧.是否存在£,使。的4阶等距集为｛6,26,36,46｝,其中点

4到/?的距离为6?若存在，求出口截。所得的平面多边形的最大边长;若不存在，说明理由.

【答案】解：(1)如图，可将三棱锥4—BCD扩展成长方体AC/%—AC/。，

+CC/=心=4