江苏省常州市某中学2024-2025学年高三年级上册期初检测数学试题 （含解析）

江苏省前黄中学2025届高三上学期期初检测试卷

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合2={》€2》<行},8={》|卜=恒0-1）},贝!|/n（&S）=（）

A.{1,2}B.{1}C.{0,1}D.{0}

2-

2.已知z=-其中i为虚数单位，则z-（z-1）=（）

1+1

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

3.已知a〉0且awl,则函数y=log〃（x+L）的图象一定经过（）

a

A.一、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.二、四象限

4.已知a力都是正数，贝！J“ab»4”是“abNa+b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.已知a,尸满足sin（a+2夕）=』,cos(a+〃)sin〃=g,贝!Isina值为(

)

6.现将甲、乙、丙、丁、戊、己6名员工平均分成两个志愿者小组，到外面参加两项不同的服务工作,

则丙、丁两人恰好参加同一项服务工作的概率为（）

4321

A.C.D.

555

7T

7.将函数歹=2sin（2x+：）的图象向右平移9（。〉0）个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标

6

171

缩短到原来的万，得到函数/a）的图象.若/a）的图象关于点（w，o）中心对称，则。的最小值

为（）

3%5万5万n

A.—B.—C.—D.一

41264

8.若函数/（》）=111%+2/+办有两个极值点苞,马,且/a）+/（X2）W-9,则（）

A.aW-4B.a24C.aW-4,\/2D.a>2A/^

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

万式

9.关于函数/（x）=sin（2x+—）+cos（2x+—）,其中正确命题是（）

66

A.J=/（x）是以"为最小正周期的周期函数

B.y=/（》）的最大值为近

C.将函数y=J5cos2x的图象向左平移£个单位后，将与已知函数的图象重合

Ji137r

D.y=/(x)在区间,-)上单调递减

2424

2

1.0.已知/(x)=alnx+—,则以下结论正确的有()

x

A.Va<0,/(x)有零点

B.Ba>Q,/(x)在(0,+8)上单调递增

C.a=2时，/(x)>2

D.a=—1时，/(2x—l)—/(x)>0的解集为(；/)

11.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，

再从乙罐中随机取出一球.4表示事件”从甲罐取出的球是红球“，4表示事件“从甲罐

取出的球是白球”，8表示事件”从乙罐取出的球是红球则下列结论正确的是()

A.4,8为互斥事件B.0(5|4)=、

,47

C.尸(4忸)=5D.P(5)=—

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设函数/(x)=2'—2T,则使得/(%2)+/(2工一3)<0成立的》的解集是.

13.设A48C的内角4瓦。的对边分别为见“c.若(b-c)sin8=bsin(4—C),则角Z=.

14.已知存在。〉0,使得函数/(x)=alnx与g(x)=——3x-b的图象存在相同的切线，且切线的斜

率为1>则力的最大值为一.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

在A48c中，内角4民。的对边分别为a,b,c,且c=2b,a=2ccosC.

(1)求，的值；

D

(2)若AA8C的面积为JF，求4B边上的高.

16.(本小题满分15分)

已知函数/(x)=bx+log—(a>0且。wl,beR),其中e是自然对数的底数.

a4-x

(1)当b=2,证明：/(x)+/(4-x)为定值，并求出函数/(x)的对称中心；

(2)当a=e时，若/(x)在定义域上单调递增，求实数6的最小值.

17.(本小题满分15分)

足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.常州龙城足球队2024年

10月将迎来主场与Z队和客场与8队的两场比赛.根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与Z队比赛：

胜的概率为2,平的概率为工，负的概率为工；客场与8队比赛：胜的概率为工，平的概率为,，负的

36636

概率为工，且两场比赛结果相互独立.

2

(1)求常州龙城队10月主场与N队比赛获得积分超过客场与5队比赛获得积分的概率；

(2)用X表示常州龙城队10月与Z队和5队比赛获得积分之和，求X的分布列与期望.

18.(本小题满分17分)

如图，已知菱形48CQ和菱形ZO跖的边长均为2,NFAD=/BAD=60。,BF=C,M,N分

别为8。上的动点，且加=AAE,BN=ABD{0<2<1).

(1)证明：MN"平面CDE；

(2)当的长度最小时，求：

①4;

②点C到平面"ND的距离.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=aex-x-a(aeR),其中e是自然对数的底数.

(1)当a=-l时,求9(x)=/(x)-cos?x在［0/］上的值域；

(2)当0<。41时，讨论/(x)的零点个数；

(3)当a21时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明.

(I)sinx>xlnx-/(x)；②x+cosx>xlnx-/(x).

江苏省前黄中学2025届高三上学期期初检测试卷

数学试卷参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的._

1.已知集合2={》©2》《布},8={》b=lg(x—l)},贝!!/p|(金S)=()C

A.{1,2}B.{1}C.{0,1}D.{0}

【详解】•；N={xeN|xW君}={0,1,2},5={x|j=lg(x-l)}=(1,+s),

.•<8=(fl],2口(a3)={0,1}.

2

2.已知z=-----，其中i为虚数单位，则J（z-1）=（）D

1+i

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

22(1-i)

=l-i,Az(z-l)=(l+i)(l-i-l)=l-i.

【详解】Z=TT?（i+i）（j）+

3.已知a〉0且awl,则函数v=log〃（x+L）的图象一定经过（）C

a

A.一、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.二、四象限

,1«

【详解】当x=0时,y=log“一=-1,

a

则当0<"1时,函数图象过二、三、四象限

则当a>1时，函数图象过一、三、四象限；

所以函数,v=log“（x+4）的图象一定经过三、四象限.

a

4.已知都是正数，贝!J"/24”是"仍的（)B

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【详解】由题意可知当ab24时，可取。=1,b=4,显然不满足+

当6时，且a>0,b>0,所以ab>a+b>2y[ab,即(a£>)2>4ab,解得

ab>4或ab<0,所以“ab24”是“ab2a+b”的必要不充分条件

5.已知a,尸满足sin（a+2〃）=：,cos（a+6）sin£=g,贝！Isina值为（

)A

1i11

A.----B.-C.——D.

441212

【详解】sin(a+2£)=sin[(a+/?)+/?]=sin(a+/?)cos(3+cos(a+/?)sin/3

=sin(6f+/)cos，+g=(,/.sin(6Z+/?)cosP='，

:.sina=sin[(dz+')—,]=sin(a+尸)cos°-cos(a+£)sin£

6.现将甲、乙、丙、丁、戊、己6名员工平均分成两个志愿者小组，到外面参加两项不同的服务工作,

则丙、丁两人恰好参加同一项服务工作的概率为（)C

4321

A.-B.-C.一D.-

5555

C3c382

【详解】〃=^^・4=20,m=C1-Al=8,：.P=-

A2n205

JT

7.将函数歹=2sin（2x+：）的图象向右平移9（。〉0）个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标

6

]JT

缩短到原来的5,得到函数/（X）的图象.若/（X）的图象关于点（§,0）中心对称，则。的最小值

为()D

3»5〃5171

A.—B.—C.—D.—

41264

7T

【详解】令g(x)=2sin(2x+—),

6

7T

图象向右平移(p((p>0)个单位长度，则g(x-0)=2sin(2x-20+—),

6

171

再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的二，则/(x)=2sin(4x-20+7)，

26

7T7T47r71

又/(%)的图象关于点(；,0)中心对称，则/(；)=2sin(--2^+-)=0,

3336

r37r_77rLi37rkn1rL八一37rnn

所以飞--2(p=kji,kjZ,则0=7———,又。>0,故/min=7--y=—•

8.若函数/(x)=lnx+gx2+qx有两个极值点匹,々，且/(%)+/(々)<—9,则()A

A.a<-4B.«>4C.a<-242D.a>242

【详解】•.•函数/(x)=lnx+|x2+ax有两个极值点石,/且/'(x)=『+""1(x>0),

2x

・•・方程％2+办+1=0由两个不同的正根芯,％2，

工/—4〉0,项+%2=-a>°,再々=1,:・a<—2,

；・In%]+。再+ln%2+0%=lnx\xi+；(再+x2)2一占％2+a('i+/)

=lnl+—tz2-1-tz2=--a2-1,

22

又/(X】)+/(X2)W—9,即_卜2_1<_9,得1620,

.,・。4一4或〃24(舍去).

9.ABD

【详解】/(x)=sin(2x+令+cos(2x+令=血sin(2x+?+?)=行sin(2x+普),

显然A、B选项

正确；

C选项：将函数”=&cos2x的图象向左平移翥个单位得到广&cos（2x+W）,图象不会与原

图像重合，故C错误；一

IT13%S77Jr37r7i137r

D选项:当X£（,---）,2xH---G（一,）,・，・V=/（%）在区间（「•，二不）上单调递减成立.

242412222424

10.ACD

22

【详解】对A,当。<0时，/(x)=alnx+—=0即一=—alnx有解,

xx

2

又歹二一与V=-alnx的图象明显有交点，故A选项正确;

x

2ax-2

对B,f\x)=-

Xx2x2

2

〃>0时，0<x<-,/'(x)<0,/(X)单调递减，故B选项错；

a

2x-2

对C,Q=2时，/'(%)=———=0Px=1,0vx<l时，/(x)递减，x〉l时，/(x)递增，

/«3/(xU=/(l)=2,故C选项正确；

-V-9

对D,Q=-1时，/'(、)=—―<0,/(X)单调递减，

X

[(2x—1)—/(x)>0等价于/(2x—l)〉/(x),.•.0<2x—l<x,故D选项正确.

2

11.BD

【详解】A选项:显然不成立；

B选项:当4发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时8发生的概率为打，...0(814)=1，

...B选项正确；

D选项：当4发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时8发生的概率为士，.•.尸(81a)=±，

11111

...P(B)=尸(4)尸(叫4)+尸(4)P(B=+=■,•D选项正确；

乙X.JL乙J.JL乙乙

c选项：尸(4忸)=4^=2尹=3,，c选项不正确.

_2_7

22

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设函数八>)=2*—2T,则使得/，)+/(2》-3)<0成立的％的解集是.

【答案】(—3,1)

【详解】函数/(x)=2，—2-工为奇函数且单调递增，/./(x2)<-f(2x-3)=/(3-2x),

—2x，解集为(一3,1).

13.AABC的内角4瓦。的对边分别为见"c.若(b—c)sinB=bsin(N—C),则角4=.

7T

【答案】£/60。

3

【详解】(b-c)sinB=Z?sin(^-C),所以(b—c)sin5=b(sin4cosc-cosZsinC),

^2/2_2L2,2_2

所以/-be-abcosC-bccosA=------------------------=a2-c2，

22

171

=b2+c2-2bccosA,所以cosZu,,因为Ne(0/),所以/=了.

14.已知存在。〉0,使得函数/(x)=alnx与g(x)=x2—3%—的图象存在相同的切线，且切线的斜

率为1,则6的最大值为一.

【答案】-3

【解析】f\x)=-,g'(x)=2x-3,

X

令/'(x)=q=l，得x=a,切点为(a,alna),

x

令g'(x)=2x—3=l,得％=2,切点为(2,-2-6).

切线方程为y-alnQ=x-。代入，可得-2-b-aln。=2-。，则6=Q—Qlna-4,

令/z(x)=x—x]nx-4,贝！)/z'(x)=l-lnx-l=-Inx,

当0<x<l时，h'(x)>0,当x>1时,h'(x)<0,

AA(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+s)上单调递减,

X

h()max=IQ)=-3,即6的最大值为-3.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

在AA8C中，内角4民。的对边分别为劣“。，且c=26,a=2ccosC.

(1)求f的值；

D

(2)若AA8C的面积为JF，求48边上的高.

〃2人2_2

解：・・・Q=2CCOSC,由余弦定理得，0=2。•巴匚一-……2分

2ab

又c=2b,

：.a=2x2bxa'+b~~m2,化简得/=6/,

......5分

2ab

巴=戈.......6分

b

(2)由⑴#cosC=—=

2c2x2b4

C为锐角，,sinC=71-cos2C=①，

……8分

4

:.AABC的面积5=-aZ>sinC=-x46b2x叵=—b2=V15，

2244

:・b=2,……10分

设45边上的高为人

则AABC的面积S=-ch=bh=2h=415,

2

：.h;叵,即48边上的高为姮.

……12分

22

本题卷面分1分

16.(本小题满分15分)

已知函数/(x)=bx+loga」一(a>0且。中l,beR),其中e是自然对数的底数.

4-x

(1)当1=2,证明：/(x)+/(4-x)为定值,并求出函数/(x)的对称中心；

(2)当a=e时，若/(x)在定义域上单调递增，求实数b的最小值.

解：⑴当1=2,/(x)=2x+log"X-logo(4-x),其中xe(0,4),

/(4-x)=2(4-x)+log.(4-x)-logfl[4-(4-x)]

=8-2x+loga(4-x)-logax,

.-./(%)+/(4-x)=8,…4分

••.函数/(乃的对称中心为(2,4).•…“6分

(2)当a=e时，/(x)=Z?x+Inx-ln(4-x),其中xe(0,4),

•••/(x)在定义域上单调递增，.•./'(x)20在(0,4)上恒成立，……7分

114

而尸(%)="—+——=b+---------,……9分

x4-xx(4-x)

_-y"|-Y-

•••x(4-x)<(?"=4,当且仅当x=2时等号成立,

.•"'(x)min=b+l,……12分

而/'(x)NO成立，.•.6+120,即62—1,

的最小值为—1.……14分

本题卷面分1分

17.（本小题满分15分）

足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.常州龙城足球队2024年

10月将迎来主场与Z队和客场与8队的两场比赛.根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与Z队比赛：

胜的概率为2,平的概率为工，负的概率为工；客场与5队比赛：胜的概率为』，平的概率为工，负的

36636

概率为工，且两场比赛结果相互独立.

2

（1）求常州龙城队10月主场与幺队比赛获得积分超过客场与5队比赛获得积分的概率；

（2）用X表示常州龙城队10月与2队和8队比赛获得积分之和，求X的分布列与期望.

解：（1）设事件4="常州龙城队主场与A队比赛获得积分为3分”，

事件4="常州龙城队主场与Z队比赛获得积分为1分”，

事件4="常州龙城队主场与A队比赛获得积分为0分”，

事件B]="常州龙城队客场与B队比赛获得积分为3分”，

事件B2="常州龙城队客场与B队比赛获得积分为1分”，

事件员="常州龙城队客场与B队比赛获得积分为0分”，

事件C="常州龙城队七月主场与A队比赛获得积分超过客场与8队比赛获得积分”，……1分

211

P（AlB2）=-x-=-,……2分

P（453）=|X1=|,……4分

尸（4员）=/.5，……6分

则P（C）=尸（4鸟）+尸（4员）+尸（4员）=:+：+==II，

931236

19

,常州龙城队七月主场与4队比赛获得积分超过客场与5队比赛获得积分的概率为二.……7分

36

（2）由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,6.

(

p(X=0)=-x-=—pX=l)=-x-+ixi=—

62126266369

21117

P(X=2)=—x—=—,尸(X=3)=—x-+-x-=—,

6636326318

13分

……14分

本题卷面分1分

18.（本小题满分17分）

如图，已知菱形48C3和菱形/£>£下的边长均为2,ZFAD=ZBAD=60°,BF=5M,N

分别为2瓦8。上的动点，且而=ME,BN=X筋（0<2<1）.

（1）证明：MN//平面CDE；

（2）当"N的长度最小时，求：

①4；②点C到平面肱V。的距离.

18.证明：（1）（方法一）在菱形ZDEE内，过点"作

AA/fAp

MP^AD=P,连接尸N,则——=—,

AEAD

,-—■—■—-„AMBN

由AM=AAE,BN=2BD得——=——，

.AP_BN

:.NP//CD,

'•茄—访

,/MPHDE,〃？.平面。。£,。。匚平面。。£,

/.MV/平面CQE.

,/NPHCD,NP■平面CDE,。。匚平面。。£,

NP//平面CDE.

又MP,NPu平面MNP,MPCNP=P,

二平面MVP〃平面CDE,……4分

又MNu平面MNP,:.MN〃平面CDE.……6分

（方法二）延长ZN交直线。。于点G,连结EG,

BNAN

由ABHDG,得——

BD~AG

----------►--------►--------►--------►/11V1

由幺=得定=茄，则ACW/EG,

而平面CDE,£6匚平面。。£,……4分

:.MN〃平■面CDE.……6分

解：（2）取/。的中点。，连接5。,E。，由A48。为等边三角形，得5。，幺£）,

同理尸O,4D,

而80A尸。=O,BO,尸Ou平面8。/，则AD1平面BOF,

又4Du平面45CD,于是平面8。9，平面45CD,……8分

①在平面BOF内作Oz，08,平面BOFp［平面ABCD=OB,则0z，平面ABCD,

以0为坐标原点，直线OA,OB,Oz分别为xj,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,

则A(l,0,0),£>(-1,0,0),5(0,百,0),由BO=FO=BF=6，

得/(0,万，5)，^(-2,—,-)»AE=(-3,-,-)>

AB=(-1,V3,0),BD=(-1,-^3,0),

由而=AAE,BN=25D(0<2<1),

MN=AN-AM=AB+BN-AM=(2A-l,-^A+y/3,-^.

.W

从而|=-\/13/l2-13/1+4=11分

1/?

当X=一时，取最小值班,12分

22

②此时诉=(O，F，—j),丽=?丽=(^,?,0),DC=28=(-1,73,0),

--------1V3

n-DN=—xH----y=0

22

设〃=(x,y,z)为平面跖VD的法向量，贝।卜

-M3

n-MN=—y—z=n0

44

令z=1,得〃=(—3,V35l)，15分

点。到平面MV。的距离为

一一।।一衣二|IDC-^I66V13

|DC||COS<DC,〃>=℃।——=--------17分

111MH\n\V1313

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=aex-x-a(aeR),其中e是自然对数的底数.

(1)当。=一1时，求9(x)=/(xbcos2x在［0㈤上的值域；

(2)当0<aWl时，讨论/(x)的零点个数；

(3)当a21时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明.

(J)sinx>xlwc-/(x)；(2)x+cosx>xlnx-/(x).

解：(1)当a=-l时，^(x)=-e¥-x+sin2x,°'(x)=—e，—1+sin2x,......1分

V-1<sin2x<1,/."(x)=—e"-1+sin2x<-ev<0,

.••9(x)在［0/］上单调递减，……3分

又9(0)=-1,°(»)=-e"-»，.♦.O(x)的值域为|-e"-肛一1］.......5分

(2)f(x)=aex-x-a(0<a<i),令/'(x)=ae*-1=0得x=-Ina,

当x<—Ina时，f'(x)<0,/(x)单调递减；当x>—Ina时,/'(x)>0,/(x)单调递增,