河北省滦县某中学2024-2025学年高三4月模拟考试数学试题（含解析）

河北省滦县实验中学2024-2025学年高三4月模拟考试数学试题（文理合卷）试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X,则E（X）为（）

97162

A.-B.-C.—D.—

88256

2.已知A（XA，YA）是圆心为坐标原点。，半径为1的圆上的任意一点，将射线Q4绕点。逆时针旋转子到08交圆

于点8（4,%），贝！）2%+%的最大值为（）

A.3B.2C.73D.75

x-y<0,

_x+3

3.若x,y满足约束条件Vx+y＜2,则z=―-的取值范围为（）

八y+2

x+1>0,

24242

A.—]B.[-，3]C.[-,2]D.[-,2]

53535

9<2%+y<6

4.若羽y满足约束条件《_"一则z=x+2y的最大值为（）

3<x-y<6,

A.10B.8C.5D.3

5.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋

味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混

合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）

A.20B.24C.25D.26

6,、x~+10x+1,x＜0

设函数十）九4X；0若关于X的方程f（x）=a（a^R）有四个实数解%（z=1,234）,其中

%＜々＜%3＜》4，贝1（玉+%2）（%3一%4）的取值范围是（）

A.（0,101]B.（0,99]C.（0,100]D.（0,+8）

7.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上

7.00-8:00之间用4表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x,小张离开家的时间为y,

（x,y）看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率p（A）等于（）

5237

A.B.D.

8558

8.若函数y=2s%（2x+9）1|同＜/J的图象经过点［卷可，则函数/（%）=s讥（2x—0）+cos（2x—0）图象的一条

对称轴的方程可以为（）

7137兀Yin137r

A.x-------B.x------C.x-.......D.x--------

24242424

9.已知函数/（乃=；取3+x2（。＞0）.若存在实数/6（-1,0）,且使得/（x0）=/（—g）,则实数。的取

值范围为（）

22121Q

A.（j,5）B.（-,3）0（3,5）C.（y,6）D.（q,4）u（4,6）

10.已知定点A,3都在平面c内，定点尸0%尸是a内异于A,3的动点，且PC_LAC,那么动点。在平

面a内的轨迹是（）

A.圆，但要去掉两个点B.椭圆，但要去掉两个点

C.双曲线，但要去掉两个点D.抛物线，但要去掉两个点

11.地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是清洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来,

全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW,达到H4.6GW,

中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风

力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息，正确的统计结论是（）

近10年全球风力发电累蔻机容量（CW）

200920102011201220132014201520162017201$

A.截止到2015年中国累计装机容量达

B.10年来全球新增装机容量连年攀升

C.10年来中国新增装机容量平均超过20GW

D.截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过g

12.若复数z=（2+D（l+i）（i是虚数单位），则复数二在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.集合A={(x,y)H+|y|=a,a>0},5={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|),若8是平面上正八边形的顶点所构成的

集合，则下列说法正确的为

①。的值可以为2；

②。的值可以为0；

③。的值可以为2+J5；

"3x-2y+4>0,

14.设x,V满足约束条件x+4y+620,,则z=/+/的最大值为.

x-2<0,

15.将函数/(x)=sin2x的图..像向右平移三IT个单位，得到函数g(x)的图.像，则函数y=/(%)-g(x)在区间0,TC-上

6|_2_

的值域为.

16.角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸(L2),则COS{:-a)的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定

点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系0%中，方程0=a(l-sin，)(a>0)表示的曲线G就是一条心形

线，如图，以极轴3所在的直线为x轴，极点。为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为

x=1+6t

<G。为参数).

[y=---3--1■/

(1)求曲线。2的极坐标方程;

（2）若曲线G与G相交于4、。、B三点、,求线段AB的长.

12

18.（12分）已知矩阵加=°的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.

2a

19.（12分）如图，在三棱柱ABC—A4G中，△A6C是边长为2的等边三角形，BC±BBl,CQ=^2,AQ=76.

（1）证明：平面ABC，平面55cl。；

（2）M,N分别是BC,Bq的中点，P是线段AG上的动点，若二面角P—MN—C的平面角的大小为30。，试

确定点P的位置.

20.（12分）我们称“（“eN*）元有序实数组（再，/，…，％）为〃维向量，£归|为该向量的范数.已知"维向

Z=1

量£=（4%「••,%）,其中％e｛—1,0,1｝,，=1,2,”.记范数为奇数的“维向量£的个数为4,这4个向量的

范数之和为纥.

（1）求七和4的值；

（2）当”为偶数时，求4，纥（用”表示）.

21.（12分）已知依｝是递增的等差数列，%,即是方程，「-5x-6=0的根.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛墨｝的前〃项和.

22.（10分）已知。为坐标原点，点大（—0,0）,《（夜,0）,5（30,0）,动点N满足|A*|+|NS|=4jL点产

为线段Nf；的中点，抛物线C：V=2加'（加〉0）上点A的纵坐标为&,OAOS=6y/6.

（1）求动点尸的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程；

11

（2）若抛物线C的准线上一点Q满足OPLOQ,试判断大守+3中是否为定值，若是，求这个定值；若不是，

\OP\-|OQ

请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得随机变

量X的数学期望值.

【详解】

由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,

厂If)d厂亲"=2）=等吟,尸（X=3）」日

则。"=0)=请=法，尸(X=1)=3

C8DOC8

9

因此，随机变量X的数学期望为E（X）=OxW+lx型+2><竺+3><一

8-

56565656

故选：A.

本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.

2.C

【解析】

设射线04与1轴正向所成的角为a,由三角函数的定义得丁从=sina,yB=sin（6if+—）,

2%+%=3sina+且cosa，利用辅助角公式计算即可•

22

【详解】

设射线。4与x轴正向所成的角为a,由已知，4=cos。,以=sin。,

/2»、./2兀、c：Lt、rCc.•/2兀、

xB=cos(or+—),yB=sm(a+—),所以2yA+丁⑶=2sma+sin(cif+—)=

2sinor--sinor+—cosa=-sina+^-cosor=A/3sin(6Z+—)<石，

22226

当a=§时，取得等号.

故选：C.

本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.

3.D

【解析】

x+3

由题意作出可行域，转化目标函数Z=[1]为连接点£>(-3,-2)和可行域内的点(％,j)的直线斜率的倒数，数形结合

即可得解.

【详解】

由题意作出可行域，如图,

x+3

目标函数Z=可表示连接点D(-3,-2)和可行域内的点(羽y)的直线斜率的倒数,

由图可知，直线DA的斜率最小，直线。6的斜率最大,

%-y=0/、x+y=2/、

由<x+l=。可得A(T,T)’由川:0可得5(-1,3),

—1+21=所以242<2.

所以^DA=-=T，^DB

—1+3Z-1+325

本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.

4.D

【解析】

]z1

画出可行域，将Z=元+2旷化为y=—QX+Q,通过平移y=-即可判断出最优解，代入到目标函数，即可求出最值.

【详解】

0<2x+y<6

解:由约束条件C-,作出可行域如图,

3<x-y<6

y

17

化目标函数Z=x+2y为直线方程的斜截式,y=—,x+5.由图可知

17

当直线y=-5x+务过4(3,0)时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为3.

故选:D

本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域，然后将目标函数转化为丁=以+%的形式，在可行域内通过平移

y=⑪找到最优解，将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.

5.D

【解析】

利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为C；+C：+C；+C；,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.

【详解】

混合后可以组成的所有不同的滋味种数为C^+Cf+C；+Cj=20+5+1=26(种)，

故选：D.

本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.

6.B

【解析】

画出函数图像，根据图像知：X]+X,=-10,阳4=1，!<l3<1，计算得到答案.

10

【详解】

/、(x2+10x+l,x<0

/(x)={I,Ic,画出函数图像，如图所示：

|lgx|,x>0

根据图像知：Xj+x2=-10,lgx3=~lgx4,故占乙=1,且需4X3<1.

,(1)

故(玉+兀2)(兀3-%)=-10x3---e(0,99].

7

故选：B.

1234x

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.

7.D

【解析】

这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.

【详解】

解：事件A发生，需满足即事件A应位于五边形BCDEF内

1-lxlxl

7

P（A）=222

18

故选：D

考查几何概型，是基础题.

8.B

【解析】

由点求得9的值，化简/(%)解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得了(x)的对称轴，由此确定正确选项.

【详解】

由题可知+。)=阕n71

2s%12xA0,<—・。二一

2~6

所以/(%)-s加12%+YJ+COS12%+7J-^/2sin+^+J=0sin12%+看J

^2x+—=—+k7i,k^Z,

122

,=兀k兀1r

倚x-----1--------,keZ

242

令左=3,得》=卫生

24

故选：B

本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.

9.D

【解析】

首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结

果.

【详解】

2

/'(%)=at2+2x,令/''(尤)=0,得工］=0,%=——.

2a

其单调性及极值情况如下：

_2

X0(0,+“)

a1训

广⑴

4-0-04-

极小

/(X)/极大值/

值

若存在XG使得/（%）=/

oI

_2_J_

a2

23i2

则<_―>-1（如图1）或一―<――<――（如图2）.

aa2a

（图1）

（图2）

于是可得46[7,4）3（4,6）,

故选：D.

该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,

画出图象数形结合，属于较难题目.

10.A

【解析】

根据题意可得AC，3C,即知C在以为直径的圆上.

【详解】

,：PBLa,AC<^a,

:.PBLAC,

又PC上AC,PBcPC=P,

AC，平面P5C,又6Cu平面PBC

:.AC±BC,

故。在以AB为直径的圆上，

又。是a内异于A,B的动点，

所以C的轨迹是圆，但要去掉两个点

故选：A

本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.

11.D

【解析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.

【详解】

年份2009201020112012201320142015201620172018

累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1

新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4

中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来

中国新增装机容量平均每年为19.77GW,选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW,全球累计装机

容量594.1—158.1=436GW,占比为45.34%,选项。正确.

故选：D

本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.

12.A

【解析】

将z整理成a+方的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.

【详解】

解：z=（2+i）（l+，）=2+『+3i=l+3i,所以z所对应的点为（1,3）在第一象限.

故选:A.

本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把i2当成1进行计算.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.②③

【解析】

根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC：y=—1）%,得到A（l,应—1）,C（V2+1,1）,得到答案.

【详解】

如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，

集合3：xy+l^x+y,故=即x=］或y=l,

集合A：x+y=a,AC8是平面上正八边形的顶点所构成的集合，

故AC所在的直线的倾斜角为22.5。，左AC=tan22.5°=0—1，故AC：y=（a-l）x,

解得A（1,0—1）,止匕时q=C（V2+1,1）,止匕时。=血+2.

故答案为：②③.

本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.

14.29

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代

入目标函数得答案.

【详解】

-3x-2y+4>0,

由约束条件<x+4y+6>0,作出可行域如图：

x-2<0,

3x-2y+4=0,

联立，解得A(2,5),

%—2=0,

目标函数Z=/+y2是以原点为圆心，以人为半径的圆，

由图可知，此圆经过点A时，半径正最大，此时z也最大,

最大值为z=2?+5?=29.

所以本题答案为29.

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何

意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最

值取法、值域范围.

r出~

【解析】

根据图像的平移变换得到函数g(x)的解析式，再利用整体思想求函数的值域.

【详解】

函数/(X)=sin2x的图像向右平移F个单位得g(x)=sin2(x--)=sin(2x--),

663

y=/(x)-g(x)=sin2x-sin(2x—sin2x+cos2x=sin(2x+—),

7Fjrjr4〃

xe0,-=>2x+-e-

233

.G1

..y€----,1.

2

故答案为：-.

本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算

求解能力，求解时注意整体思想的运用.

16.—

5

【解析】

试题分析：由三角函数定义知cos。==~^~，又由诱导公式知cos(〃-tz)=-cosa=-f，所以答案应填：-

考点：1、三角函数定义；2、诱导公式.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

JT

17.(1)0——(/?ER)；(2)2。.

6

【解析】

(1)化简得到直线方程为y=?工，再利用极坐标公式计算得到答案•

(2)联立方程计算得到A,计算得到答案.

【详解】

%=1+qt厂

73消f得，X—百y=o即丁=也工,

(1)由＜

/=T+Z

C,是过原点且倾斜角为£的直线，a的极坐标方程为9=三(夕dR).

66

(2)由＜

p-6z(l-sin0)

,7乃--

由"V得'—%=2a.

夕=a(l—sing)d=/(26)22

本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

1

18.另一个特征值为1,对应的一个特征向量。=

-1

【解析】

根据特征多项式的一个零点为3,可得。=1,再回代到方程/“)=0即可解出另一个特征值为4=,最后利用求

特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.

【详解】

矩阵"的特征多项式为:

2-1-2

〃■）==（2—1）（4—a）-4,

—2A,—G

••・4=3是方程/(2)=0的一个根,

12

（3—1）（3—a）—4=0,解得a=i,即A/=

21

二方程/（丸）=0即（2_1）（九_1）_4=0,22-22-3=0,

可得另一个特征值为：4=-1，

x

设4=-1对应的一个特征向量为：a=

y

-2x-2y=0

则由4a=Ma,得＜1―2x—2产。得—

令x=l,则y=-l,

所以矩阵M另一个特征值为-1，

1

对应的一个特征向量a=

-1

本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.

19.(1)证明见解析；(2)P为线段AG上靠近G点的四等分点，且坐标为。j呼，孝、

7

【解析】

(1)先通过线面垂直的判定定理证明eqJ■平面ABC,再根据面面垂直的判定定理即可证明;

(2)分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P-MN-C的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系,

即可计算出P的坐标从而位置可确定.

【详解】

(1)证明：因为AC=2,CC[=叵,Aq=n，

所以AC?+CC：=AC：,即AC，CQ.

又因为BC±BB},BBJICC、,所以BC_LCG,

AC[}BC=C,所以CG，平面ABC.

因为CGu平面所以平面ABC，平面58cle.

(2)解：连接AM，因为AB=AC=2,〃是的中点，所以AML5C.

由(1)知，平面ABC,平面所以AM,平面

以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,

则平面的一个法向量是阳=(0,0,1),A(0,0,若)，N(O,0,O),。(―1,夜,0).

设Q=/福(0</<1),P(x,y,z),

AP=(x,y,z->/3),AC】=(一1,0,-石)，

代入上式得x=T,丫=5,z=73(1-1),所以P(—/,衣,、方—百f).

设平面肱VP的一个法向量为为=(%,%,zj,W=(0,72,0),MP=(-t,y/2t,y/3-j3t),

n-MN=0近y、=0

由<-.,得1

fi-MP=0-iXj++A/3(1—=0

令z1="得==(百-岛0,Q.

因为二面角P-肱V-C的平面角的大小为30°，

所以磊当t_6

解得t2

即府彳7一24

所以点p为线段AG上靠近G点的四等分点，且坐标为尸

本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂

直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.

20.（1）4=4,为=4.（2）4=^1,Bn

【解析】

（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示4和8",再由公式

（n-k）C：=nC）_i或kC：="Ct；将组合数进行化简，得出最终结果.

【详解】

解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：（—1,0）,（0,-1）,（0,1）,（1,0）,

它们的范数依次为1,1,1,1,故A=4,B2=4.

（2）当"为偶数时，在向量。=（%,%2，毛，，一，九0）的”个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以

可按照含。个数为：1,3,〃—1进行讨论：£的”个坐标中含1个0,其余坐标为1或—1，共有C>2"T个，每

个£的范数为〃一1；

£的〃个坐标中含3个0,其余坐标为1或—1,共有C>2"-3个，每个£的范数为3；

）的”个坐标中含个0,其余坐标为1或-1，

共有C7.2个，每个J的范数为1；所以

4=C:2"T+C-2"3+...+C：T.2,

立=（〃—1）・C：•2"T+（〃—3）•C：・"3+...+C：T•2.

因为（2+1）”=C>2"+C；•2"T+C>2"一+•••+C：,①

（2-1）"=C°-2"-2"T+C>2,!-2--•.+（-1）"C：,②

①j②得,C：-2"T+C；2"-3+...=^zl,

所以4=号・

解法1：因为n（"j）C=（〃—左）.河Mr".看卷1=“3，

所以纥=5—l）C-2"T+5—3>C>2"-3+...+C：T,2.

=MC3-2"T+C>2"-3+...+C：］.2)

24

=2H(CL1-2"-+CL1-2--+---+C：：；)

=2〃.(y=〃0一).

解法2：①土②得,C°-2"+C；-2"-2+...=^±i.

2nn2

kl

又因为依：=hn\=n-—(、/)，——=nC,,所以

k!("-4)!

比』._11_=n._C_/I

"履(i)!(I)!(i)!=J

="(C：•2"T+C：.2n-3+…+CL.2)-(C；.2"T+3.C：.2^3+…+(〃-1).C；1.2)

=囱-.2'T+CL-2-3+…+c；j2)=小(号--(3"T-1).

本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.

]〃+4

21.(1)an=-n+l;(2)Sn=2--

【解析】

（1）方程/-5x+6=0的两根为2,3,由题意得。2=3,%=2,在利用等差数列的通项公式即可得出;利用“错

位相减法”、等比数列的前九项和公式即可求出.

【详解】

方程X2—5x+6=0的两根为2,3.

由题意得a2=2,a4=3.

,13

设数列｛an｝的公差为d,则