解三角形最值范围与图形归类-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题3-2解三角形最值、范围与图形归类

目录

讲高考...........................................................................1

题型全归纳.......................................................................4

【题型一】最值与范围1：角与对边..................................................4

【题型二】最值与范围2：角与邻边..................................................6

【题型三】范围与最值3：有角无边型................................................9

【题型四】最值与范围4：边非对称型...............................................11

【题型五】最值：均值型..........................................................12

【题型六】图形1：内切圆与外接圆.................................................13

【题型七】图形2：“补角”三角形.................................................17

【题型八】图形3：四边形与多边形.................................................19

【题型九】三大线1：角平分线应用.................................................22

【题型十】三大线2：中线应用.....................................................23

【题型十一】三大线3：高的应用...................................................25

【题型十二】证明题..............................................................27

专题训练........................................................................28

讲高考

1.(2022•全国•统考高考真题)记AABC的内角B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,

b,c为边长的三个正三角形的面积依次为百,S2,S3,已知s「S2+S3=¥，sinB=g.

⑴求AABC的面积；

(2)若sin/sinC=正，求6.

3

【答案】⑴卓⑵:

【分析】(1)先表示出岳，邑，邑，再由E-S2+$3=g求得/+/-〃=2,结合余弦定理

及平方关系求得备,再由面积公式求解即可；

(2)由正弦定理得一J=--—,即可求解.

sin-5sin/sinC

【详解】⑴由题意得耳」.八"必62a="02,则

12242434

『上1_h2

BPa2+c2-b2=2,由余弦定理得cos8=--------------，整理得accosB=l,贝ljcos5〉0,又

lac

・

sm5o=一1,

3

则cosB=Jl-m=2亚,ac=---=,贝!Js的=LcsinB=^^;

丫⑶3cos54"28

1

3V2

ba_c„,b*1acac

(2)由正弦定理得:贝U----7-=---------------=-------------工=2

sin5sinAsinCsin2Bsin4sinCsin4sinC

b331

则b=-sinB=-

sin5222

2.(2022・全国•统考高考真题)记的内角的对边分别为〃也c,已知

sinCsin(4-B)=sinBsin(C-A).

(1)证明：2。2=/+°2；

25

(2)若。=5,cos/=—,求△48c的周长.

31

【答案】(1)见解析(2)14

【分析】(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可

得证；

(2)根据(1)的结论结合余弦定理求出儿，从而可求得b+c,即可得解.

【详解】(1)证明：因为sinCsin(/-5)=sinJ8sin(C-/),

所以sinCsinNcosB-sinCsin8cos/=sin5sinCeosA-sin5sinAcosC,

P-PP，a2+c2-b2,,b2+c2-a2,a2+b2-c2

所以m------------------2bc----------------=-ab----------,即Bn

lac2bclab

a2+c2-b2a2+b2-c2

+c2—a7，所以2a2=b2+c2;

22

25

(2)解:因为4=5,COSZ=E，由(1)得加+°2=50,由余弦定理可得/=加+/—2历cos/，

贝|]50-型6c=25,所以6c=卫，Mb+c^=Z>2+c2+2&c=50+31=81,

312

所以6+c=9,所以"BC的周长为a+6+c=14.

3.(2022•全国•统考高考真题)记小BC的内角4,B,C的对边分别为Q,b,c,已知

cosAsin25什"2%

-~——二♦(1)若。=丁，求S(2)求一「的最小值・

l+sin41+cos253c2

【答案】(1)5；(2)4后一5.

6

【分析】⑴根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将嵩事化成

cos(/+3)=sin5,再结合0<3<],即可求出；

(2)由(1)知，C=-+B,A=^--2B,再利用正弦定理以及二倍角公式将化成

22c2

2

4cos25+--—-5,然后利用基本不等式即可解出.

cosB

.、辛初,/八cos4sin252sin5cos5sin5

【详解】（1）因为;一：一；=--------—；=——T—=——即nn

1+sm/1+cos252cosBcos8

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos^A+B^=-cos=f而0<5<]，所以8=今

兀兀

（2）由（1）知，sinB=—cosC>0,所以一<C<兀,0<3<一,

22

jrrr

而sinB=-cosC=sinC--，所以c/，即有/所以

I2

2

713万a2+b2sin2A+sin2Bcos225+1-cos2B

备叫,Ce所以

2,4sin2Ccos2B

（2cos25-1V+1-cos2B.2r-/-

二--------------------=4cos2B+---522就—5=45•

cosBcosB

当且仅当cos?8=立时取等号，所以近4^的最小值为4&-5.

2c2

4.（2021•全国•统考高考真题）在A/8C中，角A、2、。所对的边长分别为。、6、Jb=a+\,

c=a+2..

（1）若2sinC=3sin/,求的面积;

（2）是否存在正整数。，使得。3C为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明

理由.

【答案】（1）""；（2）存在，且。=2.

4

【分析】（1）由正弦定理可得出2c•=3a,结合已知条件求出。的值，进一步可求得6、。的

值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB,再利用三角形的面积公式可求

得结果；

（2）分析可知，角C为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数。的值.

【详解】(1)因为2sinC=3sin/,则2c=2(“+2)=3。，贝1」。=4,故6=5,c=6,

cosC二/+下一°?=1,所以，。为锐角，则sinC=Jl-cos2C=短,

lab88

ra,LL_1入•厂3v7_15g

c=

因HIS,oAnr-absinC=-x4x5x-----=-------；

A2284

(2)显然。>6>a,若为钝角三角形，则。为钝角，

^272_2

〃2+(〃+1)-(〃+2)Q2-2ci-3

由余弦定理可得cosC=",<(,

2ab2〃(a+1)24a+J

解得一1<。<3,则0<a<3,

由三角形三边关系可得。+。+1>。+2,可得aeZ,故。=2.

5.（2021・北京•统考高考真题）在中，c=26cos5,C=—.

（1）求N5；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一

确定，求边上中线的长.

条件①：c=6b;

条件②：的周长为4+26；

条件③：的面积为羽5；

4

TT

【答案】（1）V；（2）答案不唯一，具体见解析.

【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；

（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；

若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；

若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.

【详解】（1）Vc=2.bcosB,则由正弦定理可得sinC=2sin8cos8,

二.sin2B=sing==25e^0,^-^,:.2B=^,解得B=*;

3

V3

(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得£=或=*_=6,

bsm5,

2

与c=^/0矛盾，故这样的“8C不存在；若选择②：由(1)可得/=£,

6

设“BC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得。=6=2Rsin&=A,c=27?sin—=73A,

63

则周长a+6+c=27?+血=4+26，解得R=2,贝Ua=2,c=2g,

由余弦定理可得8C边上的中线的长度为：^(2V3)2+12-2x273x1xcos^=V7；

TT

若选择③：由(1)可得4=二，即

贝US=—absinC=—a2,解得〃=，

aAABC222=4

则由余弦定理可得5C边上的中线的长度为：

卜」。丫a~2n_；31/、,G_标

AIb+——2xt?x-xcos——J3H----\~y/jx——-----.

\uj23V422

题型全归纳

【题型一】最值与范围1：角与对边

【讲题型】

例题1.已知A48C的内角A,B,C所对的边分别为°,七£；,(51118-5出。)：2=卜山/)--5亩85111。

(1)求A；

(2)已知〃=26，求三角形周长的取值范围.

【答案】(1)/=§；(2)4^3<a+b+c<6y/i.

【分析】

(1)由正弦定理可得仅-c『=/-be,然后由余弦定理可得答案.

(2)由余弦定理可得/=b2+c2-bc,由均值不等式结合三角形中两边之和大于第三边可得答

案.

解(1)由(sinB-sinC)?=(sin/)~-sinBsinC可得(b-c)2=/-be

^b2+c2-a2=bc,则cos/="+02-/=&」,/e(o,兀)

2bc2bc2

所以

(2)a2=b2+c2-2bc-COsA=b2+c2-be，

即12=。2=他+。)2_3儿2；伍+c)2,所以26<6+C44^,当且仅当b=c=2有时，等号

成立，所以4G<a+6+c466

所以三角形周长的取值范围是(46,66]

Z22_2

例题2.在A4BC中，a,b,c分别为角4,B,。的对边，已知与―-^-+^—=0.

a2+b-c22b+c

4

(i)求角A的值・

(2)若。=2,求三角形周长的取值范围.

【答案】(1)与；(2)(4,殍+2].

【分析】

(1)由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cos/,结合/的范围可求N的值.

(2)由正弦定理可求c=WlsMC,6=迪$加8,设周长为V,利用三角函数恒等变换

33

的应用化简得了=孚5龙(3+0)+2,可求范围+利用正弦函数的性质可

求取值范围.

【详解】⑴••・复言+黄r°'；.由余弦定理可得:2bccosAc

------------+--------=0,

2abcosC2b+c

.1由正弦定理可得：sin,cos,+s：C,整理可得：

sinZcosC2sm5+sinC

0=2sin5cos。+sinCcosA+cosCsin4,

,2%

0=2sinBcos/+sinB,*/sin^>0,可得：cosZ=-；,v24G(0,^),A=——

3

(2)'^=2,A=T''Sin5"sinc-2£-3'.'.c=-^-sinCb=-sinB,

sin3

3

设周长为乃则__

y=a+c+b=2+^^-sinB+^^-sinC=2+^^-sinB+^^-sin(--B)

333337

=2+2cosBH------sinB,

3

=^^sin(S+—)+2，v0<5,/.gvB+g〈耳，.,.—<8111(5+—)<L

33333323

46./「4、,z.46ci

「•y=3sm(B+y)+2G(4,——■F2]•

周长的取值范围是(4,手+2].

【讲技巧】

,注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边a,〉c的齐次式或关于角的

正弦sin/,sin3,sinC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题,

通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论.

【练题型】

L在锐角三角形/BC中，a,b,。分别为角4,B,C的对边，且

2sin2AcosA-V3cos(B+C)-sin3/-百=0.

(1)求/的大小；

(2)若a=2,求A48C的周长£的取值范围.

【答案】(1)(2)(2>/3+2,6].

【分析】

(1)因为求角力,对sin34,sin2/用两角和的正弦公式或倍角公式变形，所得结果继续用

辅助角公式变形，即可求出/的大小；

5

(2)利用正弦定理，将周长转为为关于3的函数，然后根据3的范围求周长Z的取值范围.

【详解】

(1)*.*A+BC=7i,;.cos(_8+C)=-cosZ①，3A=2A+A,

sin3/=sin(24+/)=sin2/cos4+cos2/sin4②，

又sin2/=2sin/cos4③，cos2^4=2cos2^4-1®，

将①②③④代入已知，得2sin2Acos/+GcosA=sin2AcosA+cos2AsinA+J5，

得sinZ+Gcos4=G,即sin]/+g]=^,又//.A+^=,即4=(.

(2)由正弦定理得，

2bC

sinfi+sinf-7T

.(2"一5)+2=4sin[B+?+2—<B<—

sin-71-B13

(3“162

••万„n.71712%:.立＜sin(3+271141,A4BC的周长£的取值范围

：—<B<—,,・一<Bn+一<一，

6236326

(2石+2,6]

h2-n2c1cos[it-B^

2.在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且"上

acsinAcosA

(1)求角A；

(2)若a=0,求be的取值范围.

【答案】(1)A=,⑵(2"2+收]

【详解】

试题分析：(I)由题根据余弦定理化简所给条件可得一2"ccos'=cos'd,，所以5^=1，

根据角的范围可得角A；(II)由题根据所给条件可得45°<C<90,，根据正弦定理可得

b=2sinB,C=2sinC,所以6c=2sin(135°-C)-2sinC=2sin(2C-450)+VL然后根据

45°<2C-45°<135°可得be的范围.

…旧行"，、-2accosBcos(TT-B)

试题解析：(i)由题意n----------=——-------

acsinMcosX

sin2H=1且0<K<—nX=—4分

24

5-0=135°

(2)<0。<6<90。=45。<(7<兜。又」一=/一=，一=2：1=25山3/=25山。

0°<C<90°‘in'sinCsinJ

be=2sin(l35°-C)-2sinC=2sin(2C-45°)+728分

45°<2C-45°<135°sin(2c-45°)<l.\bee2-8]12分

【题的二】最值与范围2：角与邻边

【讲题型】

例题L已知“BC为锐角三角形，角4瓦C所对边分别为。也c,A/BC满足:

sin2AWsin2B+sin2C-sin5sinC・

(1)求角A的取值范围；

(2)当角A取最大值时，若AB=拒,求A/8C的周长的取值范围.

6

【答案】（I）（0,?;（2）+

【分析】

（1）利用正弦定理角化边可配凑得到cos/的取值范围，根据A，5c为锐角三角形可求得A

的取值范围；_

（2）利用正弦定理和三角形内角和性质可将所求周长表示为£=递+3.%£11,根据

22sinC

A/5C为锐角三角形可求得。的范围，令/（x）=吧上1

,利用导数可求得单调性，从而确

sinx

定cosC：l的范围,代入即可得到所求周长的取值范围.

sinC

【详解】

人2+「2―21

(1)由正弦定理可得：a2^b2^c2-bc,即〃+。2—：,A=DCA>-,又

COS2bc2

北力力的取值范围为〔叫；

BC_AC_43

⑵由⑴知:“/由正弦定理亮ACAB/曰

--=--得Gsin5sinC，

sinBsinC

~T

.・■=嘉,“c=会―周长吟署2

IT3+3cosC+V3sinC3^/33cosC+1,

73T------------------------1----------

2sinC2sinC22sinC

Q<B<-Q<--C<-

“5C为锐角三角形一・./2即3万2,解得：£<c<|,

(\cosx+1，/、-sin2x-cosx(cosx+l)-1-cosx

令K/r(%)=———，则niI/'(%)=----------L

sin%v7sin12x------sin2x

当，不'万>寸'/'（x）<。，「•/（”在（nJ上单调递减,

1COSC+1-rr3+3A/BI-

•.K——^<2+73,———<Z,<3+3>/3,

sinC2

即“5C周长的取值范围为三衿,3+36

【讲技巧】

三角形中最值范围问题的解题思路：

要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值,

转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。

涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范

围时可以利用余弦定理进行转化.注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量

7

把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大

【练题型】

/+c

1..在△48C中，内角aB,C的对边分别是a,b,c,已知asin-------=bsinA.

2

(1)求角/

(2)若△48C为锐角三角形，且c=2,求△4BC面积的取值范围.

【答案】(1)8=60。；(2)(弓,26).

【分析】

(1)由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合sin/片0,cosO20,可求sin，=1,

222

进而可求B的值.

(2)由题设及正弦定理，可求a=Hl-+i,结合30°<C<90°,可求tanC>且，可求范

tanC3

围1<。<4,进而根据三角形的面积公式即可求解A4BC面积的取值范围.

【详解】(1)由题设及正弦定理得sinZsin---=sinBsin4因为sinZ,所以

由4+5+0=180°,可得sin-------=cos—,故cos—=2sin—cos—.

22222

因为cosO#0,故sinO=L由0。<8<90。,，8=60。.

222

(2)由题设及(1)知的面积S/巾=@a.由正弦定理得

△ABC2

csitiyl2sin(120°-C)6-

a———r1•

sinCsinCtanC

由于△ABC为锐角三角形，故0。<4<90。，0°<C<90°,由(1)知Z+C=120。，所以

30°<C<90°,

故tanC>立，所以Affi]—<S.ABC<273.

因此，面积的取值范围是(弓,26).

2.在中，设A,B,C所对的边长分别为。,b,c,且(c-6)sinC=(a-6)(sin/+sin8).

(1)求A；

(2)若6=2,且“8C为锐角三角形，求“BC的面积S的取值范围.

【答案】(1)/=9;(2)Se券,2g.

3k7

【分析】

(1)用正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角/;

(2)由正弦定理把。边用角表示，这样三角形的面积可表示为B的函数，求出B的范围，结

合三角函数性质可得面积范围.

【详解】(1)(c-Z?)sinC=(a-Z?)(sin4+sinB)/.(c-b)c=(a-b)(a+b)：.c2-bc=a2-b2

171

**•a2=b2+c2—bef而/=+/_26ccosAcosA=—,AG(0,71),A=—

8

(2)b=2上c2sinC1,.,V32sinC石$111(/+3)

c=.S.=-bcsva.A=------------=V3-------------

sin8sinCsin5nAAB£C22sin8sin5

百1-n

——cosDn+—sin^TTrr

6N-----------2—=cos81^ABC为锐角二角形0<B<—且0<C<—

----1—22

sin8sin52

prt27r7i

即0<------B<—

32、

.71n兀COS5的扬•穹需+共

：.—<B<--------------,2:・Se,273.

62sin37

【题型三】范围与最值3：有角无边型

【讲题型】

例题1,三角形48c中，已知sin?/+sin?3+sin/sin3=sin?C,其中，角4B、C所对的边

分别为a、b、c.

(I)求角C的大小；

(II)求*的取值范围.

C

【答案】(I)C="；(II)Te(l,挺].

3c3

【解析】

试题分析：(I)由正弦定理将角化为边，继而由余弦定理求得cosC,得角C；(II)由正

弦定理将边化为角，由N+B=工，得5也2+5[!13=5由2+5111(^—2),化简，结合

0</<(，得5由2+5苗8€(手工，.•.£1^€(1,2^1].

试题解析：(I)由正弦定理得：a2+b2-c2=-ab

.•.由余弦定理得：cosc/+"-c=__L,；,c=—.

lab23

(II)由正弦定理得：色=si11"sinB=Zg.nA+sinB)

csinC3

又A+B/，=

33

.71.71

sin/+sinB=sin/+sin(y-A)=sin(4+§)，

|-frt八人兀兀人兀2〃"

叩0</<一，<A+—<——，

3333

•/•n/V31Ia+b

sm/+sm8£(——,1]»------e

考点：正弦定理、余弦定理.

例题2.在锐角三角形ABC,若(a-Z?+c)(a+/?+c)=3ac

⑴求角B

(II)求73sin+cosA的取值范围

【答案】(I)「.5=60°；(II)/.V3<2sin(^+30°)<2

【解析】(I)由(a-6+c)(a+b+c)=3ac,得/+Y一/=四,从而可求得cosB,进而求

9

出B的值.

(II)解本小题关键是确定6sinA+cosA=2sin(N+工)，然后再确定A的取值范围，

转化为三角函数的值域问题来解决.：-b+c)(a+b+c)=3ac

化简得a2+c2-b2=accosB="*°-----—=B=60°

lac2ac2

(II)73sin+cosA=sin+^-cosA)=2sin(Z+30°)由三角形ABC为锐角

三角形，

­,■B=60°,:.A+C=120°,C=120°-A:.0°<A<90°且0°<120°-A<90°

n

解得30°<Z<90°,;.60°<^+30°<120°.,.三Ysin(N+30°)W1

V3<2sin(^+30°)<2

【练题型】

L设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=26sin4.

(I)若〃=3A/3，c=5>求b

(II)求cos/+sinC的取值范围.

【答案】(i)b=4i；(ii).

122j

【解析】

试题分析：(I)首先根据正弦定理。=2心沦4人=2心由5,将边化为角，求得角B,再根

据余弦定理求边6；根据(1)的结果，将角C表示为C=乃-工-Z,再根据乃/工+21化

6(6)

简，以及两角和的正弦公式展开化简，最后根据辅助角公式化简为百sin1z+g),根据三

jr

角形是锐角三角形，可得角A的范围和Z+生的范围，根据三角函数的性质得到

3

sinZ+g的取值范围.

试题解析：(I)由a=26sin/,根据正弦定理得sin/=2sinBsin/,所以sinB=!

2

由4ABC为锐角三角形得B=--

6

根据余弦定理，得/=/+c2-2accos8=27+25-45=7.所以，b=5.

（II）cos/+sinC=cos/+sinn-—-A

I6

=cos^4+sin|71|=cos/+，cos/+sin/=QsinA+—n.由△45C为锐角二角形知,

623

冗，兀c冗n兀71_7T.空</+四<四，所以%nN+巴71〈也.

----A>-----B，-----B=一

22.226336232

716，所以cosZ+sinC的取值范围为卜82.

由此有——<esin4+3〈叶x

232

V227

2sinC-sin5_acosB

2.在锐角三角形A4BC中，a,b,。分别是角A,B,。的对边，且

sin56cos/

10

(1)求A；

(2)求2的取值范围.

C

【答案】(1)((2)

【分析】

(1)利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式和诱导公式可整理求得cos/，进而得到

角A；

(2)利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可将2整理为我—+工，根据角C的范围

c2tanC2

可求得tanC的范围，进而得到的取值范围.

c

2sinC-sinsin/cos5

(1)由正弦定理得:

sin5sin5cos/

SmAcsB

.■.2smC-SmB=°

cosA

/.2sinCcosA=sinAcos5+sin5cosA=sin(/+B)=sin(^-C)=sinC

cos/」

,/CG(0,^)sinCw0

2

,冗

AG(0,万)A——

3

6_sinB_sin(/+C)_sinAcosC+cosAsinC1

(2)由正弦定理得:+—

csinCsinCsinC2tanC2

7171「rvs〕

:.CGtanCe——,+oo

,/MBC为锐角三角形且4=§13J

1V3121,21，即H1，2

e(0,V3)----------1---G

tanC2tanC22c2

【题型四】最值与范围4：边非对称型

【讲题型】

例题1在AA8C中，。也c分别是角A,B,C的对边(a+6+c)(a+b-c)=3a6.

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且ZU3C为锐角三角形，求24-b的范围.

【答案】(1)p(2)(0,273)

【分析】

_b_2_4r-

(1)由题结合余弦定理得角。的值；(2)由正弦定理可知，嬴了二嬴万二一,

sin—

3

得2a-6=§Gsin/-±esinB,利用三角恒等变换得/的函数即可求范围

33

【详解】

(1)由题意矢口(Q+b+c)(o+b—c)=3ab,a2+b2—c2=ab

由余弦定理可知，cosC1一+/一厂=L又•.•。€(0,万)，；.c=工.

2ab23

11

ab24/T..

____—_____—______—、/34r~4r~

(2)由正弦定理可知，sin4sin5〃3，BPa=-V3sinA,b=-4^sinB,

smj33

2a-b=—V3sin——V^sinB=百sin(^^-Z)

33333

8V3....2V3..

=-----sinZ—2cosA--------sinA

33

6A/3./CA“6-A1A、A•/A兀、

=-----sinZ—2cosA=4(——sinA----cosA)=4sm(A-----),

3226

又丁A45C为锐角二角形，]，则一<A<—即0<A—<—，

0<8=U6263

[32

所以，0<sin(/-.<f即0<4sin(弋)<2g,综上27的取值范围为(0,2①

【练题型】一

在A/BC中，a,b,c分别为角4B,C的对边，sin2A+sin2C=sin2B+A/2sinAsinC•

(I)求角B的大小；

(II)若A/8c为锐角三角形，b=6,求。-0c的取值范围.

【答案】(I)B=g(II)(-72,0).

【分析】