中考数学专项复习：二次函数中考压轴题分类专题（知识梳理与题型分类讲解）

专题1.9二次函数中考压轴题分类专题（知识梳理与题型分类讲解）

第一部分【训练中考压轴题意义】

了解中考命题趋势和知识重难点：通过训练历年中考数学真题，学生可以快速了解中考

数学的命题趋势、试题分布以及知识重难点，从而对自己的知识储备进行全方位的查漏补缺

提高解题速度和精确度：通过严格控制做题时间，用中考的时间要求自己，可以更加客

观地训练解题速度和精确度，帮助学生适应考试节奏。

认识中考题型和命题风格：中考真题令学生认识到中考的题型、命题风格、各知识版块

分值分布，考查的重点及难易程度，对学生的帮助是最大的。

检验复习方向和效果：真题成为检验复习方向以及复习效果的得力工具，通过定期模拟

考试，学生可以了解自己的不足，进而调整复习策略。

提高应试能力：通过反复做真题，学生能够适应考试的紧张氛围，掌握答题技巧，了解

考点要求，提高解题能力和应变能力。

权威性和准确性：真题的权威性和准确性远高于模拟题，因为它们来自于同一个命题组，

考察点、风格以及难度等都很接近，通过对真题进行分析研究，可以总结出命题的规律。

综合性：中考真题是命题组成员辛苦劳动的结晶，含金量高，出的题目在保证基础得分

的同时，还具有一定的选拔作用，有助于提高学生的综合解题能力。

综上所述，训练数学中考真题对于提高学生的数学成绩和应试能力具有不可替代的作用,

是备考过程中不可或缺的一部分。

第二部分【题型展示与方法点拨】

题型目录

【题型1】二次函数与面积问题【题型2】二次函数与定值问题

【题型3】二次函数与最值问题【题型4】二次函数与存在性问题

【题型5】二次函数与新定义、课堂活动问题【题型6】二次函数与三角形综合问题

【题型7】二次函数与四边形综合问题【题型8】二次函数与利润问题

【题型9】二次函数与实际问题

【题型11二次函数与面积问题

【例1】(2024・湖北•中考真题)如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩

形实验田，墙长为42m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:

*23

m),与墙平行的一边长为y(单位：m),面积为S(单位：m).

⑴直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；

(2)矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.

⑶当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

卜-------42m------------H

墙「

x实验田x

y

【答案】(l)y=80-2x,S=-2X2+80X(2)X=25⑶当x=20时，实验田的面积S最大，最大面积是800m?

【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键.

(1)根据2x+y=80,求出V与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式；

(2)先求出x的取值范围，再将5=750代入函数中，求出x的值；

(3)将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值.

(1)解：2x+y=80,

•二)=-2x+80,

S=孙，

/.S=x(-2x+80)=-2x2+80x；

(2)-y<42,

.-.-2%+80<42,

:.x>19,

/.19<x<40,

当S=750时，-2—+80X=750,

X2-40X+375=0,

(x-25)(x-15)=0,

..x—25,

.•.当x=25m时，矩形实验田的面积s能达到750m2；

(3)S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40%+400-400)=-2(%-20)2+800,

当尤=20m时，S有最大值800nl，

【变式1】（2024・湖北•中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知

墙长42m,篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边3c为V米，围成的矩形面积为Sn?.

（1）求y与与x的关系式.

（2）围成的矩形花圃面积能否为750m2,若能，求出尤的值.

⑶围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.

AD

--------------------C

【答案】⑴y=80—2x（19Wx<40）；s=—2Y+80无⑵能，x=25⑶s的最大值为800,此时x=20

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：

（1）根据AB+3C+CD=80可求出>与x之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确

立二次函数关系式；

（2）令s=750,得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；

（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可.

解：（1）团篱笆长80m,

回AB+BC+CD=80,

团AB=CD=x,BC=y,

团1+y+x=80,

团y=80-2x

团墙长42m,

团0<80-2%442,

解得，19<x<40,

团y=80-2M19W40）；

又矩形面积s=AB

=yx

=（80-2x）x

=-2x2+80%；

(2)解：令s=750,则一2%2+80%=750,

整理得：X2-40X+375=0,

此时，A=62—4ac=(T0)2—4x375=1600—1500=100>0,

所以，一元二次方程/一40x+375=0有两个不相等的实数根,

回围成的矩形花圃面积能为750m2；

--(-40)士阿

2，

团％=25,x2=15,

回19W40,

回x=25；

(3)解：5=-2x2+80x=-2(x-20)2+800

E-2<0,

也有最大值，

又19Vx<40,

回当x=20时，$取得最大值，此时s=800,

即当x=20时，$的最大值为800

【变式2】(2024•四川遂宁•中考真题)二次函数丫=加+法+4"0)的图象与x轴分别交于点

A(-I,o),5(3,0),与y轴交于点C(0,—3),P，。为抛物线上的两点.

⑴求二次函数的表达式；

(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点尸为直角顶点的直角三角形时，求点。的坐标；

⑶设P的横坐标为m，。的横坐标为m+1,试探究：的面积S是否存在最小值，若存在，请求出

【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距

离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键.

(1)用待定系数法求解即可；

(2)可求P(2,-3),设。吁3),由/OP0=9O。，OP2+PQ2OQ2,贝|

[(0-2『+(0+3)1+(2-加7+(-32+2m+3丫=(0-m)2+(0-m2+2/n+3)2,解得叫=2,色=2(舍

去故。昌一f]；

(3)分当点尸、。在x轴下方，且点。在点P上方时，当点P、。在x轴下方，且点P在点。上方时，当

点P、。都在尤轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于根的二次函数，进而

求最值即可.

解：(1)解:把A(T0),B(3,0),C(0,-3)代入yX+L一得,

〃一b+c=0〃=1

9〃+38+c=0,解得<Z?=-2,

。=一3c=-3

团二次函数的表达式为产炉-2%-3；

(2)解：如图：

由产/-2工-3得抛物线对称轴为直线x=l,

回P，C两点关于抛物线对轴对称，C(0,-3)

0P(2,-3),

设。m2—2m—3),

ZOPQ=90°,

团O尸2+尸。2=。。2,

团[(0—2)2+(0+3)2]+(2-m)2+(-3-m2+2m+3

=(0-冽J+(0-机2+2m+3),

整理得,3m2—8m+4=0,

2

解得叫=],吗=2(舍去)，

2

Bm=—,

3

(3)存在，理由:

当点尸、。在无轴下方，且点。在点P上方时,

设点P(m,m2-2m-3),则点Q(m+l,{m+1)2-2(m+1)-3),设直线PQ交无轴于点H,

设直线PQ表达式为：、=辰+6代中0),

代入P(m,m2-2m-3),Q(m+L(m+1)2-2(，〃+1)-3)

mk+b=m2-2m-3

(m+l)^+Z?=(m+l)2-2(m+1)-3

k=2m—1

解得:

b=-m2-m-3?

团直线PQ的表达式为：y=(2m-l)x-m2-m-3,

令)=°，得(2m-l)x-m2-m-3=0

m2—2m—3

贝!J%=--------------\-m,

1—2m

则。*笄犷

+m,

则S=SAOHP—SAOHQ=—xOHx(y。—yP)

=—x(――--+m)[(m+1)2—2(m+1)—3—m2+2m+3]

2l-2m

1/2OX1zL11H

=—(m+m+3)=—(m——)2d——>一,

22288

即s存在最小值为二；

O

当点尸、。在X轴下方，且点尸在点。上方时，

同上可求直线P。表达式为：y=(2m-l)x-m2-m-3,

令)=°，得(2m-l)x-m2-m-3=0

m2—2m—3

则％=----------------\-m

1—2m

—m+2m+3

则OH=-m,

1—2m

=xX

则s=SAOHQ-SAOHP_OH(%-)

i+3

=—x(-------------------m)[m2-2m-3-(m+l)2+2(m+1)+3]

2l-2m

1c、1,1、211H

=—(m2+m+3)=—(m——)H——>一

22288

即S存在最小值为2；

8

当点。、0都在工轴上方或者一个在工轴上方,一个在入轴下方同理可求5=[(疗+相+3)=20-!)2+!之工，

222oo

即S存在最小值为二，

O

综上所述，△。尸。的面积S是否存在最小值，且为三.

O

【题型2】二次函数与定值问题

【例2】(2023•福建•中考真题)已知抛物线y=#+6x+3交x轴于A(l,0),3(3,0)两点，Af为抛物线的

顶点，CD为抛物线上不与A8重合的相异两点，记中点为E,直线的交点为P.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)若C(4,3),。[见一;J,且加<2,求证：C,£>,E三点共线；

⑶小明研究发现：无论C,。在抛物线上如何运动，只要C,£>,E三点共线，△AMRAMERAABP中必存

在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由.

【答案】⑴y=/-4x+3⑵见解析⑶，AB尸的面积为定值，其面积为2

【分析】(1)将A。,。),8(3,0)代入yA++6x+3,即可解得；

(2)4(1,0),3(3,0),AB中点为E,且C(4,3),可求出过C,E两点所在直线的一次函数表达式丫=：》-3,

O为抛物线上的一点，所以。1/一£|，此点在〉=:了-3,可证得CD,E三点共线；

(3)设C,。'与D,C'分别关于直线加欣对称，则P,P关于直线员0对称，且与的面积不相

等，所以，AMP的面积不为定值；如图，当CD分别运动到点G，2的位置，且保持G，2,5三点共线.此

时AD,与BG的交点片到直线EM的距离小于P到直线EM的距离，所以的面积小于尸的面积,

故AWEP的面积不为定值；故AAB尸的面积为定值，由(2)求出尸此时二AB尸的面积为2.

解：(1)解：因为抛物线y=4+云+3经过点4(1,0),3(3,0),

[Q+Z?+3=0,

所以V

[9a+3b+3=0.

[a=l,

解得，,

[b=-4.

所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3；

(2)解：

U

设直线CE对应的函数表达式为〉=丘+”（人工0）,

因为E为48中点，所以E（2,0）.

/、14左+〃=3k=—

又因为C4,3）,所以C，解得2,

\2K+n=0c

I[n=-3

3

所以直线纸对应的函数表达式为y=3.

因为点。卜1,-£|在抛物线上，所以加2_4m+3=-|.

35

解得，加=一或加二一.

22

3

又因为相＜2,所以m二彳.

2

所以呜-j.

「、

因为3:x，33=-；3,即。33满足直线CE对应的函数表达式，所以点O在直线CE上，即CQE三点

共线；

（3）解：.ABP的面积为定值，其面积为2.

理由如下：（考生不必写出下列理由）

如图1,当C,。分别运动到点C',。的位置时，与2。分别关于直线对称，此时仍有C',D',E三

点共线.设AD'与8C'的交点为R,则P,尸'关于直线对称，即尸尸'〃x轴.此时，PP与A"不平行，

且AM不平分线段PP',故P,P，到直线AM的距离不相等，即在此情形下4AMp与_AMP的面积不相等，

所以..4WP的面积不为定值.

R2

mi

如图2,当c,。分别运动到点G，，的位置，且保持CX,DX,E三点共线.此时AD,与5G的交点A到直线EM

的距离小于P到直线石河的距离，所以环的面积小于的面积，故NWEP的面积不为定值.

又因为中存在面积为定值的三角形，故尸的面积为定值.

33

在（2）的条件下，直线BC对应的函数表达式为y=3x-9,直线A£）对应的函数表达式为+

求得P］，-21此时.AB尸的面积为2.

【点拨】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基

础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键.

【变式1】（2023•江苏扬州•中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在>轴正半轴上.

⑴如果四个点（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1/）中恰有三个点在二次函数〉=62（°为常数，且awO）的图象上.

①a~;

②如图1,已知菱形ABCD的顶点2、C、。在该二次函数的图象上，且ADJ_y轴，求菱形的边长；

③如图2,已知正方形ABC。的顶点8、。在该二次函数的图象上，点8、。在y轴的同侧，且点8在点

。的左侧，设点8、。的横坐标分别为相、n,试探究〃-根是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，

请说明理由.

⑵已知正方形A3。的顶点2、。在二次函数>=以2（°为常数，且a>0）的图象上，点2在点。的左

侧，设点3、。的横坐标分别为相、n,直接写出相、“满足的等量关系式.

【答案】⑴①1;②手；③是，值为1（2）a（w）=1或m+〃=0

【分析】（I）①当x=0,y=o,可知（0,2）不在二次函数图象上，将（1,1）代入>=加，求解。值即可;

②由①知，二次函数解析式为y=V,设菱形的边长为P,则=由菱形的性质得，BC=0,

BC//AD,则BC'y轴，C[,。，根据。。2=心，即=p2,计算求出满足要

求的解即可；③如图2,连接AC、BD交点、为E,过B作MN_Ly轴于/,过C作CNJ_MN于N,由正

方形的性质可知，E为AC、的中点，AB=BC,ZABC=90°,贝=证明

△AMB四△BNC（AAS）,则AM=3N,BM=CN,由题意知，8（九：叫，D（n,n2）,m>0,n>0,则

^m+nm+n加（0,机？），设A（0,q）,贝I]C（zw+〃,《?+"-q）,N[m+n,m2^,AM=q-m1,BN=n,

BM=m,CN=n2-q,则q-〃/=w,m=n2-q,BPn2-m-m2-n,计算求解即可1;

（2）由题意知，分①当RD在v轴右侧时，②当区。在>轴左侧时，③当8在y轴左侧，。在>轴右侧

时，三种情况求解；①当AO在y轴右侧时，y=ax2,同理（1）③，AM=BN,BM=CN,由题意知，

（（22\、

B\m,anrj,D\n,arrj,m>0,n>0,则E——------,M{Q,anrJ,设A（0,g）,则

I）

C^m+n,a[nr+rr^-q^,N（in+n,ant^,AM=q-am2,BN=n,BM=m,CN=a",贝ij^一。机？=〃，

m=an1-q,即加一“一加2=〃，解得②当RZ）在V轴左侧时，求解过程同（2）①；③

当B在y轴左侧，。在y轴右侧时，且8。不垂直于y轴时，同理可求。（”一帆）=1,当B在y轴左侧，。在

y轴右侧时，且3。垂直于、轴时，由正方形、二次函数的性质可得，m+n=0.

解：（1）①解：当尤=0,y=o,

团（0,2）不在二次函数图象上，

将（1,1）代入>=加，解得4=1,

故答案为：1;

②解：由①知，二次函数解析式为y=x。

设菱形的边长为P,则/⑦=0，D（p,p2）,

由菱形的性质得，BC=p,BC//AD,

团3C_Ly轴，

0C£>2=AD2,

+卜wi，

解得0=0（舍去），p=2H（舍去），p=空,

33

回菱形的边长为空；

3

③解：如图2,连接AC、BD交点、为E,过5作轴于“，过C作CN1MN于N,

图2

由正方形的性质可知，E为AC、5。的中点，AB=BC,ZABC=90°,

团ZABM+ZCBN=90°=ZCBN+ZBCN,

^\ZABM=ZBCN,

田NABM=NBCN,ZAMB=ZBNC=90°,AB=BC,

回△4WB0ABNC(AAS),

^1AM=BN,BM=CN,

由题意知，,£>(〃,/),m>Q,〃>0,则石].；—,',

设A(0,q),贝ljC[m+n,m1+n2-q),N1m+n,n^),

团AM=q—m2,BN=n,BM=m,CN=ri1—q,

国q一根2=〃,m=n2-q,

^n2-m-m=n

团点3、。在y轴的同侧，且点8在点。的左侧,

团机+〃。0,

回〃-根是定值，值为1；

（2）解：由题意知，分①当区。在v轴右侧时，②当昆。在y轴左侧时，③当B在y轴左侧，。在y轴

右侧时，三种情况求解；

①当AD在y轴右侧时，

By=ax2,

同理（1）③，AM=BN,BM=CN,

（（22

由题意知，B\m,arrrj,£>（〃,即），m>0,n>0,则E——----,M（0,丽），

设A（O,q）,贝ljC（M+M,Q（加2+〃2）一乡），N（m+n,am2^,

团AM=q—am2,BN=n,BM=m,CN=an2—q,

团q—am2=n,m=an2—q,

团an2—m—am2=n，

化简得（加-。加-1）（m+几）=。，

团wO

（九一m）=l；

②当RD在y轴左侧时，

同理可求。（〃-祖）=1；

③当8在y轴左侧，。在y轴右侧时，且5。不垂直于y轴时，

同理可求。（“一01）=1,

当B在y轴左侧，。在y轴右侧时，且垂直于y轴时，

由正方形、二次函数的性质可得，m+n=0；

综上所述,一加）=1或加+”=0.

【点拨】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性

质，全等三角形的判定与性质.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

【变式2］（2024•江苏宿迁•中考真题）如图①，已知抛物线％=Y+打+c与x轴交于两点。（0,0）、A（2,0）,

将抛物线为向右平移两个单位长度，得到抛物线内，点P是抛物线M在第四象限内一点，连接总并延长，

交抛物线内于点。.

（1）求抛物线为的表达式;

（2）设点P的横坐标为巧,，点。的横坐标为%,求电-%的值；

⑶如图②，若抛物线为=-—8x+f与抛物线必=x2+6x+c交于点C,过点C作直线跖V,分别交抛物线

%和力于点加、NQM、N均不与点C重合），设点M的横坐标为相，点N的横坐标为小试判断|彳力-九|

是否为定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由.

图①图②

【答案】⑴%=炉-6尤+8；（2）4：（3）|旭-"|是定值,\m-n\=6.

【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程

根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键.

（1）利用待定系数法求出%=/-2X=（XT）2-1,再根据平移规律即可求出抛物线上的表达式；

（2）设点P的坐标为（租,"-2m），待定系数法求出直线AP的解析式为、=如-2根，联立、=如-2根与

%=X?-6x+8得至!］尤2—6x+8=解得x0=4+,〃，即可求出答案；

（3）由（1）可得，%=/-2x,与%=/-8x+r联立得至=,求出点C的坐标为（人七/一：］,

6<6363J

又由点M的坐标为（加，苏-2机），利用待定系数法求出直线Q0的解析式为y=1m+与

2

y3=x-Sx+t联立得到炉一+工/+6卜+（1+工机”=0,贝|冗+/=加+」％+6,得至!J—t+n=m+—t+6,

<6）\6）666

即可得到=6,得到定值.

解：（1）团抛物线必=—+云+c与1轴交于两点。（0,0）、A（2,0）,

c=0

4+2/?+c=0

回X=d—2x=(x-1)-],

回抛物线％向右平移两个单位长度，得到抛物线内，

回%=(%-1-2)?-1=(%-3)2-1=Y-6工+8

即%=-6%+8

(2)解：设点尸的坐标为(小,苏-2机)，设直线AP的解析式为y=Ax+f,把点A和点P的坐标代入得到,

f2k+t^0

则72c

ykm+t=m—2m

[t=-2m

解得7，

[K=m

团直线AP的解析式为丁=mx-2m,

联立y=mx_2m与y2=%2_6元+8得至(J

x-6x+8=mx—2m，

解得/=4+机，

贝Uq-%p=4+机一机=4

222

(3)解：由(1)可得，=x-2xf与必=Y—8%+方联立得到，X-2x=x—8x+t

解得x八

此时y=j一2』」产」

I6363

团点c的坐标为m?-3

VoJo3

回点M的横坐标为m,且在％=/-2尤上,

^\y=m2-2m

即点M的坐标为(人〉-2醇

设直线CM的解析式为y=b+s,把点C和点M的坐标代入得到,

m2-2m=mr+s

解得:，

s=——tm

[6

回直线CM的解析式为y=\m+—t-2\x--tm,

与％=/—8x+%联立得到,

mH—t—2x—ttn=—8x+1,

I.6J6

整理得到，-+：1+6卜+11+：机,=0

贝|J%c+/=m+—t+6,

6

即—Z+H—772+—Z+6,

即n-m=6,

即|根-〃|=6为定值.

【题型3】二次函数与最值问题

【例3】(2024•江苏南通•中考真题)已知函数y=(尤-。)2+(尤-bpQ,6为常数).设自变量x取与时，

y取得最小值.

(1)若。=—1,6=3,求X。的值；

21

(2)在平面直角坐标系无Oy中，点P(。，3在双曲线>=-一上，且方=彳.求点P到y轴的距离；

(3)当02一2。_26+3=0,且1^/<3时，分析并确定整数。的个数.

【答案】(1)毛=1(2)2或1(3)整数a有4个

【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程.

(1)根据题意代入化简得y=2(尤-1)2+8,结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；

22

⑵结合题意得到6==，代入二次函数中化简得y=2x+(--2a]x+a+(^\,利用二次函数的性质求

得a的值，进一步求得点尸，即可知点P到y轴的距离;

(3)结合已知得等式化简得y=2x2-(/+3)x+/+〃，结合与的范围求得。的可能值，即可得到整数。的

个数.

解：(1)有题意知y=(x+l)~+(尤一3)2=尤？+2x+l+尤2—6尤+9=2x?—4尤+10

=2(炉-2尤+1)+8=2(彳-1)2+8,

当4=1时，y取得最小值8;

2

(2)・.•点尸(。⑸在双曲线y=——上,

x

:.b=—,

a

2

•••y=(%-々)2+(x-Z?)2=(%-a)2+"

Ia

—炉—fH---X+

a

••V—_1

。一2'

.•・([2〃]],化解得片_。_2=0,解得4=2或2=-1,

-2x2-2

则点尸(2,—1)或尸(—1,2),

・•・点P到y轴的距离为2或1；

(3)y=+(%_b)2

—炉—2cix+a2+/—2bx+/

=2M—(2a+2b)x+/+Z?2

回储一2〃—2b+3=0，

回/+3=2。+2。，

回y=2%2—(a2+3)%+Q2+b2,

[?]l<x0<3,

fr+3

Bl<_~()<3,化简得l〈/<9,

2x2

回。=—2,—1,1,2,

则整数a有4个.

【变式1】(2023•湖南张家界•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，=62+法+。的

图象与无轴交于点2(—2,0)和点3(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点。为线段上的一动点.

⑴求二次函数的表达式；

⑵如图1,求△AOD周长的最小值；

⑶如图2,过动点。作D尸〃AC交抛物线第一象限部分于点P,连接尸APB,记与△尸应)的面积

和为S,当S取得最大值时，求点尸的坐标，并求出此时S的最大值.

1(15、77

【答案】(l)y=_]x2+2尤+6(2)12(3)[3,]J,S最大值=万

【分析】(1)根据题意设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),将(0,6)代入求解即可；

(2)作点。关于直线BC的对称点E,连接EC、EB,根据点坐特点及正方形的判定得出四边形OBEC为

正方形，£(6,6),连接4E,交BC于点。，由对称性，)国=|。0|,此时川有最小值为AE的长，

再由勾股定理求解即可；

(3)由待定系数法确定直线8C的表达式为＞=-x+6,直线AC的表达式为y=3x+6,设

尸(根,_；苏+2m+6),然后结合图形及面积之间的关系求解即可.

解：(1)由题意可知，设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),

将(0,6)代入上式得：6=a(O+2)(O—6),

所以抛物线的表达式为y=~x2+2x+6；

(2)作点。关于直线BC的对称点E,连接EC、EB,

回3(6,0),C(0,6),ZBOC=90°,

SOB=OC=6,

回0、E关于直线BC对称，

回四边形03EC为正方形，

0E(6,6),

连接AE,交8c于点D,由对称性|。耳=陷。|,

此时口。+|£刈有最小值为AE的长，

AE=\lAB2+BE2=V82+62=10

0/\AOD的周长为DA+DO+AO,

AO=2,/M+OO的最小值为10,

回△A8的周长的最小值为10+2=12；

(3)由已知点4(—2,0),B(6,0),C(0,6),

设直线BC的表达式为y^kx+n,

6k-4-TI=C=

{〃=0一，解得

回直线BC的表达式为V=-x+6,

同理可得：直线AC的表达式为y=3x+6,

SPD//AC,

回设直线尸。表达式为y=3x+h,

由（1）设「1〃,一，/+2m+6）,代入直线20的表达式

得：h=——m2—m+6,

2

13直线尸£＞的表达式为：y=3x-^m2-m+6,

121

y--x+6x=—m+—m

84

由，a12“，得'

y=5x——m—m+o11人

2y=——m2——m+o

84

%+。,_力」加+6,

8484J

EP,D都在第一象限,

回S=S2XPAO+S/\PBD=^APAB_S4DAB

T明m2+2m+6nV--m+6

4

[x8-329

—m+—m

84

-=+9〃-乡m2—6m)

22

a?7

=--(m-3)2+y,

回当m=3时，此时P点为3,葭

27

【点拨】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题,

理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键.

【变式2】（2023•青海西宁•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线/与X轴交于点4（6,0）,与y

轴交于点3(。,-6),抛物线经过点A,B,且对称轴是直线尤=1.

(1)求直线/的解析式；

⑵求抛物线的解析式；

⑶点P是直线I下方抛物线上的一动点,过点P作PC，尤轴,垂足为C,交直线/于点过点尸作PM_L/,

垂足为AL求夫河的最大值及此时尸点的坐标.

⑶PM的最大值是半，此时的尸点坐标是(3,-弓]

【分析】(1)利用待定系数法求解即可;

(2)根据题意可设抛物线的解析式为y=a(x-l)2+3再利用待定系数法求解即可；

(3)由题意易证△夫加为等腰直角三角形，即得出PM=无尸£>.设点尸的坐标为则

2I42J

D(fJ-6),从而可求出P£>="6-，/一]_6，-；(53)2+；.再结合二次函数的性质可知：当7=3时，

9

PO有最大值是？，此时尸河最大，进而即可求解.

4

解：(1)设直线/的解析式为y=/nx+〃(/〃wO),

6根+〃=0

把A,2两点的坐标代入解析式，得

n=-6

m=l

解得:

〃二一6'

回直线/的解析式为y=x-6；

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-/7)2+Ma20),

回抛物线的对称轴为直线X=1,

团y=a(x-l)2+k.

25a+左=0

把A,5两点坐标代入解析式，得

a+k=—6

1

a=­

4

解得：

k=——

[4

回抛物线的解析式为y=*―叶带十_*6；

(3)解:团4(6,0)8(0,-6),

回3=OB=6.

团在NAOB中ZAOB=90°,

^\ZOAB=ZOBA=450.

回PC_Lx轴，PM±Z,

^\ZPCA=ZPMD=90°.

在RtADC中，NPC4=90。，ZOAB=45°,

团-4)CM5。，

回ZPDM=ZADC=45°.

在RtPMD中，/PMD=90。,/PDM=45。,

团sm•4…50=-P--M--,

PD

^PM=—PD.

2

设点P的坐标为--^-6j,则D(rj-6),

2乙131/Q、29

^\PD=t-6-1t——11-6-t2z+-t=——(Z-3)2+-.

424244

0--<0,

4

9

睢"3时'9有最大值是“此时PM最大,

V2如二交x2二述,

回PMmax=

2248

ix3-6=-ai,

当£=3时，-t2--t-6=-x32-

42424

回尸卜

回PAf的最大值是竽，此时的尸点坐标是（3,一日；

【点拨】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识.掌

握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键.

【题型4】二次函数与存在性问题

【例4】（2024•山东泰安・中考真题）如图，抛物线G：y="2+gx-4的图象经过点与x轴交

于点A,点3.

⑴求抛物线的表达式；

（2）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线Q,求抛物线C?的表达式，并判断点。

是否在抛物线C?上;

⑶在x轴上方的抛物线C,上，是否存在点尸，使△P3D是等腰直角三角形.若存在，请求出点尸的坐标;

，点。在抛物线C2上⑶存在，点P的坐标为：（2,2）

或（T3）

【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点,

灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键.

（1）将点。的坐标代入抛物线表达式>=依2+：》-4,求得a的值即可；

由题意得：2

(2)C2:y=|(x-l)+|(x-l)-4+3=|I,当x=l时,

3195319

y=^(x-T-=fl-Y-=-l,即可判断点D是否在抛物线C2上；

-315J15315)15

(3)分44P为直角、尸为直角、NHPD为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进

而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标.

解：(工)将点。的坐标代入抛物线表达式＞=必2+：》-4得：-1="+q一4,解得：a=|,

54

则抛物线的表达式为：y=jx2+|x-4.

2

(2)由题意得：C2:y=|(x-l)+|(x-l)-4+3=|^-|Y-^|,

当％=1时,

故点。在抛物线。2上.

(3)存在，理由如下:

①当N班尸为直角时，如图工，过点。作。石_15。且。石=B£,则VBD£为等腰直角三角形,

NBDG+/EDH=90°,/EDH+ZDEH=90。,

:./BDG=/DEH,

/DGB=/EHD=9U。,

DGB^,EHD（AAS）f

@DH=BG=1,EH=GD=1+2=3,

团点石(2,2),

当尤=2时，y==-—=2,即点E在抛物线G上,

315)15315J15

团点P即为点E(2,2)；

②当/D3尸为直角时，如图2,

同理可得：BGEmDHB(AAS),

[W”=3=8G,BH=1=GE,

国点矶-1,3),

当x=-i时，

0点E在抛物线G上，

回点P即为点现T3)；

③当N/7PD为直角时，如图3,

同理可得：EHB^DGE(AAS),

0EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=l-x,解得：x=0且y=1,

回点E(O.l),

1919

当尤=0时，y=-——w1,

31515

即点石不在抛物线G上；

综上，点尸的坐标为：(2,2)或(-1,3).

【变式1】(2024•山东济宁•中考真题)己知二次函数—加+桁+c的图像经过(0,-3),(-Ac)两点，其

中a,b,c为常数，且a/?>0.

(1)求a,c的值；

(2)若该二次函数的最小值是T,且它的图像与x轴交于点A,8(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,B的坐标；

②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P,过点尸作无轴的垂线，垂足为。，与直线AC交于

S3

点E,连接尸C,CB,BE.是否存在点尸，使产^=信？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请