四川省成都市某中学2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试题（含解析）

成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试

局一数学试卷

注意事项:

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.

2.本堂考试120分钟，满分150分.

3.答题前，考生务必先将自己姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.

4.考试结束后，将答题卡交回.

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设复数z满足(l+i)z=3-i,则同=(

A.C.V2D.V6

2.函数/（x）=（x-3）e工的单调增区间是)

A.(-oo,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+co)

3.关于线性回归的描述，有下列命题:

①回归直线一定经过样本点的中心；②相关系数r越大，线性相关程度越强;

③决定系数长越接近1拟合效果越好;④随机误差平方和越小，拟合效果越好.

其中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

1-cos50°、

4.设。=—cos6°----sin6°,/>=2sinl3ocosl3°,c——-——，则有()

22

A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

5.在空间直角坐标系中,mo,o),/(1,0,0)，5(020),。（0,0,3）,三角形重心为G,则点尸

到直线4G的距离为（)

6V2212后

A.B.C.

71717

,2

已知点/0,、怎），抛物线=4x上有一点0（玉）/0），则，+2|尸川的最小值是（

6.)

A.10B.8C.5D.4

7.有5名大学生到成都市的三所学校去应聘，若每名大学生至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中

一人，则不同的录用情况种数是（)

A.390B.150C.90D.420

8.双曲线C：亍-々=1（。>0）的左、右焦点分别为耳，耳,离心率为y-,右支上一点P满足尸耳1PF1,

直线/平分/为明，过点片，鸟作直线/的垂线，垂足分别为/,B.设。为坐标原点，则△048的面

积为（）

A.2石B.4石C.IOA/2D.10

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.

9.若“*e[4,6],一一公―1>0”为假命题，则实数。的取值可以为（）

A.8B.7C.6D.5

10.我国5G技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证

三个阶段.2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升.某手机

商城统计了2022年5个月5G手机的实际销量，如下表所示：

月份2022年1月2022年2月2022年3月2022年4月2022年5月

月份编号X12345

销量y（部）5096a185227

若y与x线性相关，且求得回归直线方程为3=45x+5,则下列说法正确的是（）

A.a=142B.v与x的相关系数为负数

C.y与x正相关D.2022年7月该手机商城的5G手机销量约为365部

11.已知定义在R上的函数y=/（x）满足为偶函数，/（2x+l）为奇函数，当xe0,1时,

/'（X）>0,则下列说法正确的是（）

儿〃。）=。/||）>/||）

C.函数y=/（x）为R上的偶函数D.函数y=/（x）为周期函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若"l<x<2"是“|x-2加|<1"的充分不必要条件，则实数〃?的取值范围为.

13.若（2-X）7=%+4（1+》）+%（1+%）2+…+%（1+》）7，贝！14+q+。2+…+。7的值为.

11[1

14.若数列｛%｝满足--------=d,（weN*,"为常数），则称数列｛%｝为调和数列.已知数列方为

an+\anI*”,

调和数列，且X；+x；+x；+…+%2022=2022,则x9+x2014的最大值为.

四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)在A43C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量

/\[3^\(1A-5一

m=4sinZ,------,n=\—cosA,2cos2A,=m-n,Ae—,一.

、2J)[46-

(1)求函数/(/)的最小值;

(2)若f(A)=0,a=A/3,b+c=^6,求△ASC的面积.

16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥尸—48C。中，AD//BC,PA=BC=2AD=2AB=4,AD1.

平面PAB,PA1AB,E、F分别是棱PB、PC的中点.

(1)证明：〃平面/CE；

(2)求平面/C£与平面P4D的夹角的正弦值.

17.(本小题满分15分)某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女

生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进

行体育活动.

(1)请补全2x2列联表，试根据小概率值&=0.05的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是

否有关联；

体育活动合计

性别

课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动

男

女

合计

(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X,求

X的分布列、数学期望和方差.

附表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

附：人即存”可其中…

18.(本小题满分17分)已知椭圆£：1+5=1(。>匕>0)的左、右焦点别为片，F,,离心率为上,

ab2

过点片的动直线/交E于48两点，点/在x轴上方，且/不与x轴垂直，月的周长为4拒，直线

4月与E交于另一点C,直线典与E交于另一点。，点尸为椭圆E的下顶点，如图.

(1)求£1的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

mnInxx-1

19.(本小题满分17分)定义运算:=mq-np,已知函数/(%)=，g(x)」T・

Pq1a%

(1)若函数/(X)的最大值为0,求实数Q的值;

证明：〃(%)_"2<0；

(2)若函数〃(x)=/(%)+g(x)存在两个极值点距,X2

玉-x2

(3)证明：+++…[+

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高二数学试卷参考答案：

1.A

【分析】利用复数的运算性质求出共辄复数，再求模即可.

•、°・,,3-i(3-i)(l-i)3-4i+i23-4i-l,

【详解】因为(l+i)z=3—i,所cc以z=——_-=-----------=-----------=1-2n

1+i(l+i)(l-i)22

所以亍=l+2i,|z|=Vl2+22=V5,故C正确.故选：A.

2.D

【分析】对函数求导，根据导函数的正负，确定函数的单调递增递减区间即得.

【详解】由吊(x)=(x—3)e，求导得,/'(x)=(x—2)e"

则当x>2时，/'(x)>0,即函数/(x)=(x—3)e，在(2,+oo)上单调递增;

当x<2时，/'(x)<0,即函数/(x)=(x—3)e，在(—oo,2)上单调递减,

故函数/(%)=(》-3)/的单调递增区间为(2,+8).故选：D.

3.C

【分析】根据回归直线方程的性质，相关系数、决定系数及随机误差平方和的意义判断各项的正误即可.

【详解】对于①，回归直线一定经过样本点的中心，故①正确；

对于②，相关系数r的绝对值越接近于1,线性相关性越强，故②错误；

对于③，决定系数R越接近1拟合效果越好，故③正确；

对于④，随机误差平方和越小，拟合效果越好，故④正确.故选：C.

4.C

【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.

1e

【详解】a=—cos60-----sin60=sin30°cos60-cos30°sin6°=sin(30°-6°)=sin24°，

2

1-cos50°l-2sin25°),---------

6=sin26°,c---------------=Vsin225°=sin250,

因为歹=sinx在上单调递增，所以sin26°>sin25°>sin24°,故a<c<b.故选：C.

5.B

【详解】在空间直角坐标系中，尸(0,0,0)，4(1,0,0)，5(0,2,0),C(0,0,3),

三角形的重心为G,所以可=(1,0,0),AG=

2

所以方在就上的投影为:3_2后

所以点尸到直线NG的距离为:

【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化会+2|尸幺|=2(|尸7]+|尸幺|)-2,再利用数形结合求最值.

2

【详解】已知抛物线C:/=4x上有一点尸国/0),贝叮；=4%,即£=

又（亚丁＞4x3,故.3,01）在抛物线C:/=4x的外部，

则段+2|。幺|=2^-+\PA\=2（%+|0幺|）=2（/+1+|0削）一2,

因为抛物线C：/=4x的焦点为尸（1,0）,准线方程为无=—1,则|尸尸|=%+1，

4+2%=2国+1+%）—2y+%）—2.

由于|PF|+|P4归/尸|,当/,P,尸三点共线（尸在4尸之间）时，

|PF|+|尸图取到最小值|幺尸|=，（3—I）?+（亚丁=5,

则?+2|尸幺|=2（|尸7口+|尸幺|）—2的最小值为2x5—2=8.故选：B.

7.A

【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可.

【详解】若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有A；=60种，

de4

若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有C：-/A；=180种，

A2

C1^1r2C2

若人都被录用，满足条件的录用情况有二^；；种，

5zAzA=150

八A2八A2

由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是390.故选：A.

8.D

【分析】根据给定条件，求出。2,结合几何图形及双曲线定义可得△048的面积5=得解.

2

【详解】由双曲线C:£—《=1（。＞0）的离心率为立，得'"F=旦，解得/=20,

a52a2

令直线片/交尸用的延长线交尸用于0,直线£8交尸大于N,则尸41耳。，PBLF2N,

由尸/平分/月尸£,且/耳尸乙=90。，得/PRQ=/PQK=/PF2N=/PNF?=45。,

^\pA\=^\pF^,\pB\=^\PF2\,\AB\=\PA\-\PB\=^-2a=42a,

显然a5分别为线段耳Q,月N的中点，而。是月耳的中点，

于是04〃尸0,0B//PF,,Z0AB=ZAPQ=45°=ZAPF,=Z0BA,

72

即AAOB=90°,|OA|=|OB\=--\AB\=a,

11,

所以△048的面积5=7=io.故选：口.

【点睛】关键点点睛：本题求出△CM3面积的关键是作出点。,借助几何图形的特征，结合双曲线定义求

得|N51=4.

9.ABC

【分析】根据条件，将问题转化成即x-工<。在[4,61恒成立，令/(x)=x-L利用其单调性，求出/(x)

XX

的最大值，即可求解.

【详解】因为“lce[4,6],――g—1>0”为假命题，所以Vxe[4,6],V一⑪一iwo恒成立，

即工—工4口在[4,6]恒成立，所以—工]且xe[4,6]

XkXmax

令/(x)=x—L易知/(幻=》—!在[4,6]上是增函数,

XJC

13535

所以/(、)max=/(6)=6—"，所以〃之高•故选：ABC.

000

10.AC

【分析】对A,根据样本中心在回归直线上即可求解；对B,从表格数据看，V随X的增大而增大，即可判

断；对C,因为y与X正相关，所以y与X的相关系数为正数，故可判断；对D,将月份编号X=7代入到

回归直线即可求解判断.

*、*叼、._1+2+3+4+5,-50+96+。+185+227558+a

［详解］对A,x=------------=3,y=--------------------=-------

5-55

因为点(只歹)在回归直线上，所以55；+"=45X3+5,解得a=142,所以选项A正确;

对C,从表格数据看，》随x的增大而增大，所以y与x正相关，所以选项C正确；

对B,因为y与x正相关，所以了与x的相关系数为正数，所以选项B错误；

对D,2022年7月对应的月份编号x=7,当x=7时，/=45x7+5=320,

所以2022年7月该手机商城的5G手机销量约为320部，所以选项D错误.故选：AC.

11.AD

【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B,利

用特殊值代入判断A,根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C,根据函数的关系式和单

调性判断D.

【详解】因为3x)为偶函数,

故函数图象关于直线x=g对称，/(2x+l)为奇函数,

f(-2x+1)=-f(2x+1)o/(-x+1)=-f(x+1),函数图象关于(1,0)对称，

对于D,/(x)=/(l—x)=—/(l+x),/(x+2)=—/(x+l)=/(x),故2是函数的周期，函数为周期函

数，故D正确；

对于A,/(—2x+l)=—/(2x+l),令x=0,/(I)=-/(I)-故/(D=0，

又/(0)=/(1-1)=/(1)=0,故A正确；

对于C,/1—g］=当时，/'(x)>0,即函数在上递增，函数图象

关于(1,0)对称，故函数在上递减，故函数在-gg上递增，所以/［一：］0/［3］，故函数不

是偶函数，故C错误;

对于B,故B错误，故选：AD.

【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质;

12.【详解】由|工一2加|<1,得2加一1<%<2加+1,

因为是（（\x-2m|<1"的充分不必要条件,

所以集合｛x|l<x<2｝是集合｛x\2m-l<x<2m+l｝的真子集,

2m-1<1（不同时取等号），解得〈%

所以1K1,

2m+1>22

所以实数机的取值范围为1〈根<1.故答案为：—<m<1.

22

13.128

17

【详解】令x=0,得/+弓+g------Ftz7=2=128.

14.2

【分析】根据调和数列，可得｛4｝为等差数列，即可根据等差数列求和公式得益+&14=2,进而利用不

等式即可求解.

【详解】数列二为调和数列，故x；=d，所以｛d｝为等差数列，

.XnJ

2227（X；+刍）x2022

由X；+X；+X；+…+x；022=2022,所以---------L--------=2022,

故X]+12022=2,所以Xp+12014=2,故Xg+%2014=222、9%2（）14'故*^9*^2014—J

4

由于（X9+12014J=¥+刍14+2X9X2O14=2+2苞%20144•

当且仅当/二工2014时等号成立，故%+工2014的最大值为2.故答案为：2.

15.【详解】（1）/（4）=应•拓=4sin/,cos•2cos24

=sin24-百cos2/=2sin2A--

e、，，兀5兀—l,7T7147r

因为Ne—,——,所以2N——e—,——

46363

所以当22—§=3-,即幺=七"时，/(4)有最小值—

(2)因为/(4)=0,所以2sin12/—：J=0,所以2/—]=析，左eZ,

因为Ze[四,2],所以4=空.

146」3

由正弦定理，—^=^^=，-=£=2,所以sin8=2,sinC=-.

sin5sinCsin/622

~T

又因为sin5+sinC=Y8,所以2+g=逅，得b+c=M,

2222

,,,11V33d3

由余弦定理有：a~=b"+c~-2bccosA,所以Z?c=3.所以S人/武=—bcsinZ=—x3x——=---.

AABC2224

16.【详解】(1)如图所示，连接

因为£,尸分别是棱尸8,PC的中点，版以EFHBC,BC=2EF.

因为ADIIBC,BC=2AD,所以EF//AD,EF=AD,

所以四边形/。尸£是平行四边形，则4E//DF.

因为/Eu平面NCE,。尸仁平面/CE,所以「打〃平面/CE.

(2)因为，平面P/8,PA、48u平面P/8,所以40,尸4,AD1AB,

又因为尸48,所以AP,AD两两垂直，

以工为坐标原点，AB,AP,40的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系.

由题中数据可得4(0,0,0),C(2,o,4).£(1,2,0),就=(2,0,4),*=(1,2,0).

n-AC=2x+4z=0,

设平面/CE的法向量为为=（x/,z）,则＜

n-AE=x+2y=0,

令x=2,得万=(2,—1,—1).

因为ABLAD,PA[}AD=A,所以平面P/D

平面PAD的一个法向量为2g=m=(1,0,0).

设平面NCE与平面P/D的夹角为仇

则cos0=|cos(H,m\|=.，?=~^==.故sin9=Vl-cos23=—,

11n\\m\J633

即平面NCE与平面尸ND的夹角的正弦值为J.

3

17.【详解】（1）依题意，列出2x2列联表如下:

课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计

男302050

女401050

合计7030100

零假设为区：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关,

2_100x(30x10-20x40)2100

"—50x50x70x304.762>3.841=x005

根据小概率值二=0.05的独立性检验，我们推断/不成立，

即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为型=2,

505

所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为g,

由题意得X〜,贝|JP(X=左)=cf，左=0,1,2,3,4,

可得p（x=o）Yx[i：m祟

P(X=l)=C'x331喏尸一心||）『|）嘿，

尸(X=3)=C；x

X的分布列为：

X01234

812162169616

P

625625625625625

2Qn/n\

=xx24

X的数学期望为E（X）=np=4x—=—fX的方差为D（X）=np（l-p）4jll--1

"25,

18.【分析】（1）利用椭圆的第一定义和离心率，求解椭圆方程；

^^(x-1),联立直线与

（2）设点/（西,必），8（彳2，%），c（x3,j3）,£＞（X4,j4）,4g的方程为y=

X]-1

椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果

直线。过定点，则该定点在X轴上，即可得到定点坐标[1,（））

【详解】⑴由椭圆定义可知|2周+|4用=2a,|即|+忸用=2%

所以月的周长为4。=40,所以a=JL

又因为椭圆离心率为注，所以£=注，所以c=i,

2a2

又^=02—2=i,所以椭圆的方程：土+『=1.

2

（2）（i）设点/（如乃），5（X2,J2）,C（x3,j3）,D（X4,J4）＞

则直线AF2的方程为j—1）,则x=红二1v+1,

七一1%

x,—1

X=--y+1

‘再-1（1、

%玉一］

由<得,+2y2+2y-i=o,

X22i

巳+L1I必)I必)

-1一.V；

所以“3=

/王-1丫x：—2%]+1+2y：

+2

Y2

因为寸+>；=1,所以x：+2y；=2,所以/i%二，故为=

2再—32再—3

玉一11为T必门二3』4

又-----%+1=%=

必yx2xl-32xl-3

3x—4

同理,?

%=，4=

2%2—32X2-3

由A,F「2三点共线，得」一=必，所以/X_石%=%_%,

玉+1x2+1

必_y-y

直线的方程为y-43x—

2xl-3x4-x3

由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上,

f(七一£)+(3再-4)(乂-%)

令y=0得，x-

(2x「3)(%-%)

(、

（3x「4）%必

、2%2-32再-3,

(2…'必必、

、2%2-32西—3,

陪尧鹏故直线.过定点〔h7

5

19•【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出。的值即可;

（2）条件等价于"（x）=0有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出。的范围，要证

~"“J—q+2<0,即证21nx2-