2025年高考数学一轮复习之相等关系与不等关系

2025年高考数学一轮复习之相等关系与不等关系

选择题（共10小题）

1.已知实数〃，b,cd满足：a>b>Q>c>d,则下列不等式一定正确的是（

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

2.设集合A={x|y=/g(x-1)},B={x\x<-2},则AU(CRB)

A.(-2,1)B.[-2,1)C.[-2,D.(L+°°)

2—x

3.若p：<0,则p成立的一个必要不充分条件是（)

A.-B.|x|>lC.|x|>2D.2VxW5

4.若/={%CZ|分40},B={x|log5x<l),则AG5的元素个数为()

A.0B.1C.2D.3

5.已知集合A={x|log»》l},B=[x\l<x<3],则AU5=()

A.[2,3)B.(1,+8)C.[2,+8)D.(0,+8)

6.设集合A={xEN[l<xV6},B={x|log2(x-1)<2},贝()

A.{x|l<x<6}B.{x|l<x<5}C.{3,4,5}D.{2,3,4）

7.命题p；&）“<1,命题q：lnx<l,则p是q成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.若集合M={久/0必尢<2},N={x|l<2X<4},则MUN=()

A.{x[0<xW2}B.{尤|0Wx<9}C.{x\x<9}D.{x|0<x<9}

9.已知A={久|黑昔<0},若2GA,则7〃的取值范围是()

1111

A.~2~m<^2B,—2-m—2

C.7724—2或〉2D.TH4—2或771N

-1o

10.已知〃>0,Z?>0且4+b=l,则(1+i)(1+p的最小值是()

A.49B.50C.51D.52

二.填空题（共5小题）

11.已知%>0,则%+49的最小值为.

114

12.已知出?=亍〃，bE(0,1),则--+—7的最小值为；

'1-a1-b

13.已知%>1,求tf的最小值是.

14.已知两个正数a,6的几何平均值为1,则次+庐的最小值为.

8ab2+a18

15.已知正实数a,b,c满足b+c=l,则一;——+——的最小值为_______.

bea+1

三.解答题(共5小题)

16.已知。+6=3(a>0,6>0).

(1)若|b-l|<3-a,求6的取值范围；

(2)求Va+3+7b+2+(a+1)6的最大值.

17.己知函数/(x)=〃z-|x-2|,m&R,且/(尤+2)N0的解集为[-1,1].

(1)求机的值；

111

(2)若a,b,c£(0,+8),且—+—+—=m,证明：a+26+3c》9.

a2b3c

18.已知a,b,c为正实数且a+2H3c=5.

⑴求«2+Z?2+c2的最小值；

(2)当，2ab+，3ac+、6bc之5时,求a+b+c的值.

19.已知函数/(x)=]\x+2|+|%-4|一。的定义域为域

(1)求实数m的范围；

41

(2)若根的最大值为九，当正数a,Z?满足...-+-----〃时，求4。+7/?的最小值.

a+5b3a+2b

20.已知函数y=/(x)的定义域为O,值域为A.若DU4,则称/(x)为型函数”；若AG。，则称/

(x)为“N型函数”.

(1)设/(%)=必―产+8,。=口，用，试判断了(%)是“〃型函数”还是“N型函数”；

1

(2)设〃乃=久2,g(x)=af(2+x)+"(2-x),若g(x)既是型函数”又是“N型函数”，求

实数a,。的值；

(3)设/(无)-2ax+b,D=[l,3],若/(x)为“N型函数”，求/(2)的取值范围.

2025年高考数学一轮复习之相等关系与不等关系

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.已知实数a,b,c,d满足：a>b>O>c>d,则下列不等式一定正确的是()

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

【答案】C

【分析】A3。可举出反例，可根据不等式的基本性质检验选项C

【解答】解：不妨设a=2,b—1,c--1,d--2,此时a+d=b+c,A错误，

ad=-4<bc,B错误；

因为a>b,c>d,根据不等式的基本性质，同向可加性得到：a+c>b+d,C正确；

a=2,b=\,c=-1,d=-2时，ac=bd,。显然错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.

2.设集合A={x|y=/g(x-1)},B={x\x<-2],则AU(CRB)=()

A.(-2,1)B.[-2,1)C.[-2,+8)D.(1,+8)

【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算.

【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算.

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合集合的运算，即可求解.

【解答】解：合A={x|y=/g(x-1)}={小>1},CRB={X|X2-2},

故AU(CRB)=[-2,+8).

故选：C.

【点评】本题主要考查并集、补集的运算，属于基础题.

2—x

3.若p：<0,则p成立的一个必要不充分条件是()

A.-1WXW2B.|x|>lC.\x\>2D.2cxW5

【考点】其他不等式的解法；充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；数学抽象.

【答案】B

2—x

【分析】解不等式一；<。得-1或x22,选出其必要不充分条件即可.

%+1

2—x

【解答】解：p：-----<0,即(2-尤)(x+1)W0且x丰-1,解得x<-1或了22,

x+1

所以p：》<-1或了22,

对于A,-1WXW2是p的既不充分也不必要条件；

对于8,|x|>l即x<-1或无>1,是p的必要不充分条件；

对于C,|尤|>2即x<-2或x>2,是p的充分不必要条件；

对于D,2<xW5是p的充分不必要条件；

故选：B.

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，还考查了充分必要条件的应用，属于基础题.

•y_?

4.若4="€2|公式0},B={x|log5x<l},则ACB的元素个数为()

A.0B.1C.2D.3

【考点】指、对数不等式的解法；其他不等式的解法；交集及其运算.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】分别确定集合A,B,再求交集.

【解答】解：根据题意，可得集合A={xCZ|xW2或x>8},

2={x|0<尤<5},

则ACB={1,2},所以AAB的元素个数为2个.

故选：C.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

5.已知集合4={刈08”21},B=(x\l<x<3],则AU8=()

A.[2,3)B.(1,+8)C.[2,+8)D.(0,+°0)

【考点】指、对数不等式的解法；并集及其运算.

【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】B

【分析】先求出集合A,然后结合集合的并集运算即可求解.

【解答】解：由A={x|log2x》l}=[2,+8),B={x|l<x<3},可得AUB=(1,+°°).

故选：B.

【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.

6.设集合A={xeN[l<x<6},B={x|log2(x-1)<2},则4nB=()

A.{x|l<x<6}B.{x|l<x<5}C.{3,4,5}D.{2,3,4)

【考点】指、对数不等式的解法；补集及其运算.

【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】D

【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可.

【解答】解：：A={xeN[l<x<6}={2,3,4,5},

B={x|log2(x-1)<2}={x|0<x-l<4}={x|l<x<5},

：.APiB=[2,3,4).

故选：D.

【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

7.命题p：&尸<1,命题0lnx<\,则p是q成立的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】指、对数不等式的解法；充分条件与必要条件.

【专题】对应思想；转化法；简易逻辑.

【答案】B

【分析】分别求出关于p,q成立的x的范围，根据集合的包含关系判断即可.

【解答】解：V：即2x>0；

命题q：lnx<1,即：0<x<e,

则p是q成立的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础

题.

8.若集合M={久/093尤<2}，N={x\l<2X<4},则MUN=()

A.{x|0〈尤W2}B.{x|0Wx<9}C.{x\x<9}D.{x|0<x<9}

【考点】指、对数不等式的解法；并集及其运算.

【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】B

【分析】先化简集合N,再根据集合的并集运算求解.

【解答】解：由题意得知={尤|0<尤<9},N={x|0WxW2},则MUN={x[0Wx<9}.

故选：B.

【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，并集的运算及定义，是基础题.

9.已知2={x|券三<0},若2SA,则根的取值范围是（）

1111

A.-2—<2B•—2—^—2

C.zn<—*或Tn〉*D.m<—

【考点】其他不等式的解法；元素与集合关系的判断.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；数学运算.

【答案】A

【分析】由己知结合元素与集合关系及分式不等式的求法即可求解.

【解答】解：因为2={x|第W0},

2m+l

若2CA,则

2m-l<0,

解得一'<m<2-

故选：A.

【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题.

10.已知。>0,b>0且。+6=1,则(1+1)(1+1)的最小值是()

A.49B.50C.51D.52

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；对应思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】先变形，再利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：:。>。，b>0且a+b=l,

（1+-）（1+算）=（1+小）（i§£+§^）

aba+b

=(2+2)(9+孚)=—+^+26

abab

^27144+26=50,

9b16aa4

当且仅当一=——,即4=亍，时，等号成立，

(1+，)(1+1)的最小值是50,

故选：B.

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.

二.填空题(共5小题)

11.已知x>0,则％+1的最小值为4.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】因为无>0,直接利用基本不等式求出其最小值.

【解答】解：：x>0,则％+122a=4,当且仅当了=［时，等号成立，

故答案为4.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件,

属于基础题.

114

12.已知次?=5,a，bE(0,1),则--+7的最小值为10+4V2；

21-a1-b—

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；对应思想；转化法；不等式.

【答案】见试题解答内容

11424

【分析】先根据条件消掉b,即将b=2代入原式得『+—=--+——+4,并乘“1”法，

2a1-a1-b2-2a2a-l

最后运用基本不等式求其最小值

1

【解答】解：・.・"=卞a,bE(0,1),

.,1

••4而，

1

Al-40,1-Z?=l-7y->0,

：.2a-l>0,

141418a

------+--=+—p=+---------，

1—a1—b1—a11—a2ci—1

2a

14(2a-l)+4

1—CL2a—1'

14

+4,

1—CL2a—1

24

2^2a+2a-i+4,

12

=2宣+力)+4,

12

=2+)[(2-2a)+(2a-1)]+4,

2-2a2a-l

(客+)

=21+2+^^+4,

22(3+2知+4=2(3+2V2)+4=10+472,

2a-l2(2—2a)3-V2.

当且仅当——=-——时，即。=时取等号,

2.-2.CL2ci—12

14

故——+―r的最小值为10+4V2,

1-a1-b

故答案为：10+4企

【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，乘1等恒等变形,

以及取等条件的确定，属于难题.

13.已知尤>1,求x+dy的最小值是5.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值.

【解答】解：由于x>l,所以x-l>0,

所以％+=(%-1)++1N2(x-1)•+1=5,当且仅当兀=3时，等号成立.

Jx,~~-LJLJ.M九—".L

故答案为：5

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题.

14.已知两个正数a,6的几何平均值为1,则/+户的最小值为2.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】2.

【分析】由几何平均值的定义得到成=1,利用基本不等式求解即可.

【解答】解：由题意得=1,即°6=1,故。?+必》2a6=2,当且仅当a=6=l时，等号成立.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

Sab2+a18

15.已知正实数a,b,c满足6+c=L则一;——+——的最小值为16.

bea+1

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

oa卜2Ia[oQ卜,1o

【分析】变形得到「一+——=a-(―+-+2)+——，利用两次基本不等式，求出最小值.

bea+1cba+1

【解答】解：任意的正实数a,b,c,满足b+c=l,

8ab2+a188b2+i188b2+(匕+c)2189b2+2bc+c218

所以+---二a•+---=a•+---二a•+---二a•

bea+1bea+1bea+1bea+1

9bc18

(——+1+2)+——，

cba+1

由于b,c为正实数,

QhrIQhcQhc12

故由基本不等式得一+->2/—•工=6,当且仅当一=即b=五，c=z时，等号成立，

cb7cbcb44

所以a,微+壬+2)+^28a+^=8(a+l)+^—822』8(a+1).磊—8=16,当且仅当

8(a+1)=，有，即a=*时，等号成立，

8ab2+a18sH

综上t，---+—7的取小t值为r16.

bea+1

故答案为：16.

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.

三.解答题(共5小题)

16.已知4+8=3(〃>0,/?>0).

(1)若|b-l|V3-a,求人的取值范围；

(2)求-a+3+7b+2+(a+1)力的最大值.

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)&，3).

(2)8.

【分析】(1)由a+b=3得位-1|<6,则可得结果.

(2)利用基本不等式先求出Va+3+Vb+2的最值,再求出(a+1)6的最值，可得结果.

【解答】解：(1)因为。+6=3(。>0,6>0),所以。=3-6且0<6<3,

所以也-1|<6,则

1

解得b>2，

1

又0<b<3,所以6的取值范围为6，3).

(2)(a+l)bW(计*)2=(燮，=4,当且仅当a+l=6,即a=l,b=2时，等号成立,

rr/;―3rr~~^74+d+34+5+2d+b+13

V4xVtt+3+v4xV6+2<——-----1-----2——=2=o，

即Ja+3+Vb+2W4,当且仅当〃=1,力=2时，等号成立，

所以“a+3+7b+2+(a+l)b的最大值为4+4—8.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题.

17.已知函数/(x)=m-\x-2\,meR,且/(x+2)20的解集为[-1,1].

(1)求机的值；

111

(2)右a,b,cE.(0,+°°),且一+—+—=m,证明：4+2b+3c29.

a2b3c

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)运用绝对值的解法，即可得到所求值;

(2)运用乘1法和基本不等式，即可得到证明.

【解答】解：(1)函数/(%)=m-\x-2\,meR,且/(x+2)三0的解集为[-1,1],

可得机-|x|20的解集为[-1,1],即有[-m，m]={-1,1],

可得机=1；

11

(2)证明：a,b,cE(0,+°°),且一+一+一=1

a2b3c

…111

则a+2b+3c=(〃+2Z?+3c)(―+—+一)

a2b3c

2baa3c2b3c

=3+(一+一)+(一+一)+(一+一)

a2b3ca3c2b

务券2b3c

23+2+2.-+2

3c,2b

=3+2+2+2=9,

当且仅当。=2b=3c=3,取得等号.

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的含义，考查不等式的证明，注意运用基本不

等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题.

18.已知a,b,c为正实数且°+2。+3c=5.

(1)求/+贬+o2的最小值；

(2)当72ab+73ac+、6bcN5时,求a+6+c的值.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；整体思想；对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)/+庐+°2的最小值为一.(2)a+b+c=fl.

14lo

【分析】(1)由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；

(2)由基本不等式可得，2ab+"3ac+、6bcW5,结合条件得+"3ac+、6bc=5,从而求°、b、

c的值，即可得a+b+c的值.

【解答】解：(1)由柯西不等式得，

(a2+Z?2+c2)(12+22+32)》Q+26+3C)2=25,

故a2+Z>2+c2>需；

当且仅当［=5=3,即a=/，b=。=居时，等号成立；

25

故tz2+/?2+c2的最小值为一；

14

(2)由基本不等式可得，

a+2b2272ab,

a+3c2273ac,

2b+3c>y/6bc,

故2(〃+2/?+3c)>2(A/2ab+73cLe+，6bc),

故+V3ac+76bc<5,

当且仅当a=2b=3cf且〃+2Z?+3c=5,

即〃=东b=I，时，等号成立，

又V2又+、3ac+yj6bc>5,

72ab+V3ac+、6bc=5,

即a=5，b=n，c=

a+b+c=

【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题.

19.己知函数/(x)=Jx+2|+—4|一』的定义域为R.

(1)求实数"2的范围；

41

(2)若机的最大值为力，当正数a,b满足-----+------时，求4。+76的最小值.

a+5b3a+2b

【考点】基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用绝对值不等式的性质即可得出;

(2)利用柯西不等式的性质即可得出.

【解答】解：(1).••函数的定义域为R,：.\x+2\+\x-4|-/TI^O在R上恒成立，即mW(|尤+2|+|尤-4|)

mm9

・・・口+2|+仅-4|2|(x+2)-(x-4)|=6,

,,141141

(2)由(1)知n=6,4a+7b=((4a+76)(-------+----------)=h(a+56)+(3a+26)](--------+)

L3a+2b

6a+5b3a+2b6a+5b

>5,

当且仅当。=+，b=言时取等号，

3

.,.4a+7b的最小值为5.

【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

20.已知函数y=/(x)的定义域为D,值域为A.若DG4,则称/(%)为“M型函数”；若AUD则称/

(x)为“N型函数”.

(1)设"%)=七二|七坦，。=[1,4],试判断了(x)是型函数”还是“N型函数”；

1

(2)设〃切=X2,g(x)=af(2+x)+bf(2-x),若g(x)既是“/型函数”又是“N型函数”，求

实数a,6的值；

(3)设/(无)-2ax+b,£>=[1,3],若/(x)为“N型函数”，求/(2)的取值范围.

【考点】基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法；函数的值域.

【专题】数形结合；整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)f(x)是型函数”;

(2)a—-1,b—1；

(3)[1,2].

【分析】(1)利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；

(2)分a>0,6<0和0<0,6>0结合函数的单调性分类讨论求解；

(3)分。不同的取值结合“N型函数”的定义即可求范围.

【解答】解：(1)当4]时，/(x)=y2-^%+8=x+1-5>4V2-5,

当且仅当x=2a时取等号，

由于/(I)=4,/(4)=1,

所以函数/(%)的值域为4=[4夜—5,4],

因为4鱼一5VI,所以。UA,

所以/(x)是型函数”；

(2)g(x)=aV2Tx+b<2^x,定义域为[-2,2],

由题意得函数g(x)的值域也为[-2,2],

显然仍<0,否则值域不可能由负到正，

当a>0,6co时，g(无)在[-2,2]上单调递增，

则”2)「蓝2得『1,b=-1；

当a<0,b>Q时，g(无)在[-2,2]上单调递减，

,-,,,(0(2)=2a=—2„”,«

则I(•?、ni.)侍Z。=-1，b=1；

(g(-2)=2匕=2

(3)f(x)—J?-2ax+b=(x-a)2+b-a2,D=[l,3],

由题意得函数/(x)的值域A[l,3],

当aWl时,f(x)的最小值/(I)=1-2a+b^l,

当l<aW3时，/(无)的最小值/'(a)=b-a2^1,

当a23时,f(x)的最小值/(3)=9-6a+b^l,

当aW2时，f(x)的最大值/(3)=9-6a+bW3,

当a>2时，f(x)的最大值/(I)=l-2a+bW3,

因为/(2)=4-4a+b,由点(a,b)所在的可行域，

当a=2,6=6时，f(2)取最大值，最大值为2,

当/(2)—4-4a+b与l>—a2+l相切，

即a=2,6=5时，f(2)取最小值，最小值为1,

因此了(2)的取值范围是[1,2].

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题.

考点卡片

1.元素与集合关系的判断

【知识点的认识】

1、元素与集合的关系：

一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.元素一般用小写字母a,

b,c表示，集合一般用大写字母A,B,C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：aeA

或a^A.

2、集合中元素的特征：

(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属

于这集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的

总体是否能构成集合.

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的.这个

特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.

(3)无序性：集合于其中元素的排列顺序无关.这个特性通常被用来判断两个集合的关系.

【命题方向】

题型一：验证元素是否是集合的元素

典例1：已知集合己=｛杂=租2-“2,"丘Z]”求证：

(1)36A；

(2)偶数4k-2(垢Z)不属于A.

分析：(1)根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；

(2)用反证法，假设属于A,再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要

证的结论.

解答:解：(1)V3=22-I2,3GA；

(2)设4人-2eA,则存在相，nGZ,使4左-2=〃户-层=(m+n)(机-〃)成立，

1、当”2,〃同奇或同偶时，m-n,均为偶数，

/.(.tn-ri')(m+n)为4的倍数，与4%-2不是4的倍数矛盾.

2、当w—奇，一偶时，m-n,77?+”均为奇数，

(m-n)(.m+n)为奇数，与4左-2是偶数矛盾.

综上4k-2《上

点评：本题考查元素与集合关系的判断.分类讨论的思想.

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数.

典例2：已知集合4={“+2,2/+.},若36A,求实数a的值.

分析：通过3是集合A的元素，直接利用〃+2与2/+.=3,求出a的值，验证集合A中元素不重复即可.

解答：解：因为3CA,所以。+2=3或2/+。=3…（2分）

当〃+2=3时，a=l,…（5分）

此时A={3,3},不合条件舍去，…（7分）

当2〃2+〃=3时，〃=1（舍去）或。=—…（10分）

Q1

由a=—2，得2={］，3},成“…（12分）

故a=—楙…（14分）

点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力.

【解题方法点拨】

集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

2.并集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合8的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作AUR

符号语言：4口2={腓隹4或了68}.

实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是8中的元素；③x是A且是8中的元素.

运算形状：

®AUB=BUA.®AU0=A.®AUA=A.@AUB2A,@AUB=B^AQB.@AUB=0,两个

集合都是空集.⑦AU（CuA）=U.⑧Cu（AUB）=（CUA）n（CUB）.

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；注意并集中元素的互异性.不能重复.

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数

的定义域，值域联合命题.

3.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合8的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作ACB.

符号语言：AnB={x|xeA,且在团.

AC2实际理解为：x是A且是2中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算形状：

①②AC0=0.③AnA=A.©AABGA,ACiBQB.⑤"B=A=AaB.⑥ACB=0,两个

集合没有相同元素.⑦an(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

4.补集及其运算

【知识点的认识】

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作

U.(通常把给定的集合作为全集).

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简

称为集合A的补集，记作CuA,CuA=[x\xeU,且通4}.其图形表示如图所示的Venn

C人

图.

【解题方法点拨】

常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法.

【命题方向】

通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、

值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现.

5.交、并、补集的混合运算

【知识点的认识】

集合交换律AnB=BHA,AUB=BUA.

集合结合律(ACB)CC=AC(BAO,(AUB)UC=AU(BUC).

集合分配律An(sue)=(Ans)u(ACO,AU(BAC)=(AUB)n(AUC).

集合的摩根律Cu(AHB)=CuAUCuB,Cu(AUB)=CuAHCuB.

集合吸收律AU(AAB)=A,AA(AUB)=A.

集合求补律AUCuA^U,AnC«A=<P.

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答.

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属

于基础题.

6.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若〃则为真时，可表示为pnq,称p为q的充分条件，q是p的必要条件.事实上，

与“0今/'等价的逆否命题是“「4台「p”.它的意义是：若q不成立，则p一定不成立.这就是说，q对

于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；q：x>0.显然则等价于正分

则xCp一定成立.

2、充要条件：如果既有“p今“”，又有“qnp”，则称条件p是4成立的充要条件，或称条件q是p成立的

充要条件，记作“poq”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p=q为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

7.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(1)对于任意两个实数a,b,有且只有以下三种情况之一成立：

①〃-b>0；

@a<b^a-b<0；

③)〃-b~~0,

(2)不等式的基本性质

①对称性：d>bob<a：

②传递性：d>b,b>c=>a>c；

③可加性：d>b=>a+c>b+c,

④同向可加性：a>b,c>dna+c>b+d；

⑤可积性：a>b,c>O=^ac>bc；a>b,c<O^ac<bc；

⑥同向整数可乘性：a>b>0,c>d>U=>ac>bd；

⑦平方法则：a>b>O^an>bn（〃EN,且〃>1）；

⑧开方法则：a>b>O=>\[a>y/~b（虻N,且〃>1）.

8.不等关系与不等式

【知识点的认识】

48

不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如二与二就是相等关系.而

不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说〃a-b

>0就是不等式.

不等式定理

①对任意的b,有a>boa-b>0；a=b^a-b=0；a<b^>a-Z?<0,这三条性质是做差比较法的依据.

②如果a>b,那么如果那么

③如果a>b,且b>c,那么〃>c；如果a>b,那么〃+c>b+c.

推论：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果c<0,那么ac<bc.

【命题方向】

例1：解不等式：sinx另.

1

解：*.*sinx>

TT57T

:・2^rc+z（ZcZ）,

66

1-TT577"

・•・不等式sinx>和解集为{x|2加WxW2E+芥，任Z}.

这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这

个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解.

11

例2：当〃。>0时，4bo一〈一.

ab

1

证明：由次?>0,知一>0.

ab

11rli

又；a>b,：.a・讪Ab』SP->-;

jl1il1

右一V一,贝“一•ab<—•ab

abab

：.a>b.

这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可,

这种技巧在选择题上用的最广.

9.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：—>y[ab(a20,620),变形为abW(―^―)2或者a+b^2-/ab.常

常用于求最值和值域.

实例解析

例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

2ab%2+24R

A：cifb均为负数，则+22.B：/--22.C：SITIXH—：—之4.D：Q6R+,(3—cC)(1)40.

b2aVx2+1sinxaJ

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、2、D均满足条件.

对于C选项中sinxW±2,

不满足“相等”的条件，

再者situ•可以取到负值.

故选：C.

A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；8分子其实可以写成

?+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=号的最值？当0〈尤<1时，如何求y=玛的最大值.

解：当％=0时，y=0,

当“。时—=品=总

用基本不等式

若x>0时，OVyW学，

若x〈0时，一?WyVO,

综上得，可以得出—乎〈孝，

•,•y=的最值是一孝与字

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于o,没有明确表示的话就需要讨

论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素(函数)相加，而他们的特点是相乘后为常数；

最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【解题方法点拨】

基本不等式的应用

1、求最值

例1:求下列函数的值域.

(1)尸3N+*(2)产x+1

解：(1))=3x2+专之243x2.圭=戊...值域为所，杵)

(2)当x>0时，尸x+：=2}

当x<0时，y=x+1=~(-x-1)<-2\x-^=-2

zkXVX

...值域为(-00,-2152,+00)

2、利用基本不等式证明不等式

例2：已知a、b、ceR+,且a+b+c=l