浙江省教育绿色评价联盟2025届高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

浙江省教育绿色评价联盟2025届高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.2．已知直线过点，当直线与圆有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是（）A. B.C. D.3．若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（）A.0个 B.1个C.2个 D.3个4．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在点使得异面直线与所成角为90°B.存在点使得异面直线与所成角为45°C.存在点使得二面角的平面角为45°D.当时，平面截正方体所得的截面面积为5．若正实数、满足，且不等式有解，则实数取值范围是（）A.或 B.或C. D.6．如图所示的程序框图，阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A.14 B.20C.30 D.557．今天是星期四，经过天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六8．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（）A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形10．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件11．圆关于直线对称，则的最小值是（）A. B.C. D.12．“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为__________.14．已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______15．已知数列则是这个数列的第________项.16．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为F，直线l过点（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值18．（12分）（1）求函数的单调区间.（2）用向量方法证明：已知直线l，a和平面，，，，求证：.19．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围20．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和（1）求圆C的标准方程；（2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程21．（12分）已知数列中，，且满足（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和22．（10分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解当地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求的值；（2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，求出的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D2、A【解析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.【详解】如下图：设直线l的方程为即圆心为，半径是1又直线与圆有两个不同的交点故选：A3、C【解析】由条件，可得，利用不等式的性质和基本不等式可判断①、②、③、④中不等式的正误，得出答案.【详解】因为，所以.因此，且，且②、③不正确.所以，所以①正确，由得、均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.故选：C.4、D【解析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时，可得，可判断A；与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断C；过作，交于，交于点，由题意可得四边形即为平面截正方体所得的截面，且四边形是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可判断D.【详解】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，当为中点时，，此时与所成的角为90°，所以A错误；当与或重合时，直线与所成角最小，为60°，所以B错误；当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；对于D，过作，交于，交于点，因为，所以、分别是、的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.故选：D.5、A【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为正实数、满足，则，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为不等式有解，则，即，即，解得或.故选：A.II卷6、C【解析】经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出值【详解】解：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=1+22=5，i=3；第三次循环S=5+32=14，i=4；第四次循环S=14+42=30，i=5；此时5>4，跳出循环，故输出的值为30故选：C.7、C【解析】求出二项式定理的通项公式，得到除以7余数是1，然后利用周期性进行计算即可【详解】解：一个星期的周期是7，则，即除以7余数是1，即今天是星期四，经过天后是星期五，故选：8、A【解析】根据充分、必要条件间的推出关系，判断“x>1”与“x>0”的关系.【详解】“x>1”，则“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.故选：A.9、C【解析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状【详解】由得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选：C10、D【解析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D.11、C【解析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，然后由，展开利用均值不等式可得答案.【详解】由圆可得标准方程为，因为圆关于直线对称，该直线经过圆心，即，，，当且仅当，即时取等号，故选：C.12、A【解析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.【详解】当，，则，当时，，.∴“，”是“”的充分不必要条件.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】直线过定点，圆心，当时，取得最小值，再由勾股定理即可求解.【详解】由，得，由，得直线过定点，且在圆的内部，由圆可得圆心，半径，当时，取得最小值，圆心与定点的距离为，则的最小值为.故答案为：.14、【解析】根据已知可设，，，根据已知条件求出、、的值，将向量用坐标加以表示，利用空间向量的模长公式可求得的最小值.【详解】因为、是空间内两个单位向量，且，所以，，因为，则，不妨设，，设，则，，解得，则，因为，可得，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，对于任意的实数、，的最小值为.故答案为：.15、12【解析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.【详解】数列中每一项被开方数分别为：6，10，14，18，22，…，因此这些被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，设该等差数列为，其通项公式为：，设数列为，所以，于是有，故答案为：16、【解析】根据正弦定理，结合题意，列出方程，代入数据，化简即可得答案.详解】由题意得：，所以，所以，解得.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见详解.【解析】（1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明.【详解】（1）由条件知直线l的斜率存在，设为，则直线l的方程为：，即从而焦点到直线l的距离为，平方化简得：，故直线斜率为：.（2）证明：设直线AB的方程为，联立抛物线方程，消元得：设，，线段AB的中点为，故因为，将M点坐标代入后整理得：即可得：故为定值．即证.【点睛】本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题.18、（1）的单调减区间为和，单调增区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）说明直线方向向量与平行的法向量垂直后可得【详解】（1）解：定义域为R，，，解得，.当或时，，当时，.所以的单调减区间为和，单调增区间为.（2）证明：在直线a上取非零向量，因为，所以是直线l的方向向量，设是平面的一个法向量，因为，所以.又，所以.19、（1）（2）【解析】（1）先求导，由到数值求出斜率，最后根据点斜式求出方程即可；（2）采用分离常数法，转化为求新函数的值域即可.【小问1详解】时，，，则，，所以在点处的切线方程为，即【小问2详解】对任意的，恒成立，即，对任意的，令，即，则，因为，，所以当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，则，所以20、（1）（2）或【解析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径.（2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.小问1详解】点和的中点为，,所以中垂线的，利用点斜式得方程为，联立方程得圆心坐标为，所以圆C的标准方程为.【小问2详解】当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意.当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或.21、（1）证明见解析；；（2）.【解析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可；（2）利用错位相减法即可求和.【小问1详解】由得，，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴，∴