湖北省襄樊市2025届数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析

湖北省襄樊市2025届数学高二上期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（）A.3 B.4C.6 D.113．两个圆和的位置是关系是（）A.相离 B.外切C.相交 D.内含4．下列函数求导错误的是（）A.B.C.D.5．下列命题中正确的是A.命题“若，则”的否命题为：“若，则”B.若命题，是假命题，则实数C.“”的一个充分不必要条件是“”D.命题“若，则”的逆否命题为真命题6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（）A.51 B.68C.106 D.1577．函数在上的最小值为（）A. B.C.-1 D.8．圆的圆心和半径分别是（）A.， B.，C.， D.，9．已知向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知向量分别是直线的方向向量，若，则（）A. B.C. D.11．在等比数列中，，，则等于（）A. B.5C. D.912．三棱锥A-BCD中，E，F，H分别为边CD，AD，BC的中点，BE，DH的交点为G，则的化简结果为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结.若从该奥林匹克标志的五个环圈中任取2个，则这2个环圈恰好相交的概率为___________.14．已知抛物线：，若直线与抛物线C相交于M，N两点，则_______________.15．点P(8，1)平分椭圆x2+4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_______.16．若直线与直线相互平行，则实数___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且（1）求椭圆F的标准方程（2）是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由18．（12分）已知双曲线及直线（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长19．（12分）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不相等的零点，证明：20．（12分）设P是抛物线上一个动点，F为抛物线的焦点.（1）若点P到直线距离为，求的最小值；（2）若，求的最小值.21．（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔．某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生（1）若从中挑选2名志愿者，求入选者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛，共赛10局．A、B两组分数（单位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139从统计学角度看，应选择哪个组更合适？理由是什么？22．（10分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图（1）求值并估计中位数所在区间（2）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用微积分基本定理计算,利用积分的几何意义求扇形面积得到,然后比较大小.【详解】,表示以原点为圆心，半径为2的圆在第二象限的部分的面积，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故选：2、A【解析】利用椭圆的定义可得，再结合条件即求.【详解】由椭圆的定义可知，因为，所以，因为点分别是线段，的中点，所以是的中位线，所以.故选：A.3、C【解析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.【详解】圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，则，所以两圆的位置是关系是相交，故选：C.【点睛】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径之和、之差的大小关系，属于基础题.4、C【解析】每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.【详解】对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，不正确；对于D，，正确.故选：C5、C【解析】．命题的否定是同时否定条件和结论；．将当成真命题解出的范围，再取补集即可；．求出“”的充要条件再判断即可；．判断原命题的真假即可【详解】解：对于A：命题“若，则”的否命题为：“若，则“，故A错误；对于B：当命题，是真命题时，，所以，又因为命题为假命题，所以，故B错误；对于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D：因为命题“若，则”是假命题，所以其逆否命题也是假命题，故D错误；故选：C6、C【解析】对高阶等差数列按其定义逐一进行构造数列，直到出现一般等差数列为止，再根据其递推关系进行求解.【详解】现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，各项与前一项之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差数列，所以，故选：C7、D【解析】求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.故选：D.8、D【解析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.9、A【解析】根据得出，根据充分必要条件的定义可判断.【详解】解：∵，向量，，∴，即，根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件，故选：A.10、C【解析】由题意，得，由此可求出答案【详解】解：∵，且分别是直线的方向向量，∴，∴，∴，故选：C【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题11、D【解析】由等比数列的项求公比，进而求即可.【详解】由题设，，∴故选：D12、D【解析】依题意可得为的重心，由三角形重心的性质可知，由中位线定理可知，再利用向量的加法运算法则即可求出结果【详解】解：依题意可得为的重心，，，分别为边，和的中点，，，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用古典概型求概率.【详解】从该奥林匹克标志的五个环圈中任取2个，共有10种情况，其中这2个环圈恰好相交的情况有4种，则所求的概率.故答案为：.14、8【解析】直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理根据弦长公式求弦长【详解】设，由得，所以，，故答案为：815、【解析】结合点差法求得正确答案.【详解】椭圆方程可化为，设是椭圆上的点，是弦的中点，则，两式相减并化简得，即，所以弦所在直线方程为，即.故答案为：16、##【解析】由题意可得，从而可求出的值【详解】因为直线与直线相互平行，所以，解得，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在点，使得为定值.【解析】（1）设，，，结合条件即求；（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.【小问1详解】设，，，椭圆方程为：，椭圆过点，，解得t=1，所以椭圆F的方程是【小问2详解】由题可得焦点的坐标分别为，当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，直线AB为，联立，得则，，同理可得，，因为，所以，化简得由题意，知，所以设点，则，所以，化简得，当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题得到解决.18、（1）且；（2）【解析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可【详解】（1）联立y=2可得∵与有两个不同的交点，且，且（2）设，由（1）可知，又中点的横坐标为，，或又由（1）可知，为与有两个不同交点时，19、（1）单调递增区间是(4,+∞)，单调递减区间是(0,4)；（2）证明见解析.【解析】（1）求的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；（2）法一：讨论、时的零点情况，即可得，构造，利用导数研究在(0,2a)恒成立，结合单调性证明不等式；法二：设，由零点可得，进而应用分析法将结论转化为证明，综合换元法、导数证明结论即可.【小问1详解】函数的定义域为(0,+∞)，当a=2时，，则令得，x>4；令得，0<x<4；所以,单调递增区间是(4,+∞)；单调递减区间是(0,4).【小问2详解】法一：当a≤0时，>0在(0,+∞)上恒成立，故函数不可能有两个不相等的零点，当a>0时，函数在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，因为函数有两个不相等的零点，则，不妨设，设，（0<x<2a），则，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上单调递减，即>=0，所以，即，又，故，因为，所以，因为函数在(2a,+∞)上单调递增，所以，即法二：不妨设，由题意得，，得，即，要证，只需证，即证：，即，令，，则，所以在区间(1,+∞)单调递减，故<=0，即恒成立因此，所以.【点睛】关键点点睛：第二问，法一：应用极值点偏移方法构造，将问题转化为在(0,2a)恒成立，法二：根据零点可得，再由分析法将问题化为证明，构造函数，综合运用换元法、导数证明结论.20、（1）；（2）4.【解析】（1）利用抛物线的定义可知，将问题问题转化为求的最小值，即求.（2）判断点B在抛物线的内部，过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点，利用抛物线的定义求解即可.【详解】解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.由已知及抛物线的定义，可知，于是问题转化为求的最小值.由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时，取得最小值，最小值为，即的最小值为.（2）把点B的横坐标代入中，得，因为，所以点B在抛物线的内部.过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.由抛物线的定义，可知，则，所以的最小值为4.【点睛】本题考查了抛物线的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.21、（1）（2）答案见详解【解析】(1)：把4名男生和2名女生编号后用列举法写出任选2名的所有基本事件，同时可得出，两人是一男一女的基本事件，计数后可计算概率；(2)：求出两组数据的均值和方差，比较可得【小问1详解】设4名男生分别用A，B，C，D表示：2名女生分别用1，2表示.基本事件为：，，，，，，，，，，，，共15种，所以所求概率为；【小问2详解】