云南省玉溪市一中2025届高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

云南省玉溪市一中2025届高二数学第一学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.直线2．在等差数列中，为其前n项和，，则（）A.55 B.65C.15 D.603．等差数列中，为其前项和，，则的值为（）A.13 B.16C.104 D.2084．设函数，则（）A.1 B.5C. D.05．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（）A. B.C. D.6．若复数满足，则复平面内表示的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．直线的倾斜角大小为（）A. B.C. D.8．在等差数列中，，则的公差为（）A.1 B.2C.3 D.49．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.B.C.D.10．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.2 B.C. D.11．已知a，b为不相等实数，记，则M与N的大小关系为（）A. B.C. D.不确定12．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往下）球数构成一个数列，则___________，___________.14．已知函数，则不等式的解集为____________15．九连环是中国的一种古老智力游对，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）.现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列满足，，则___________.16．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列中，数列的前n项和为满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.18．（12分）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，（1）证明：平面；（2）求直线平面所成的角的正弦值19．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值20．（12分）已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由21．（12分）2021年11月初某市出现新冠病毒感染者，该市教育局部署了“停课不停学”的行动，老师们立即开展了线上教学．某中学为了解教学效果，于11月30日复课第一天安排了测试，数学教师为了调查高二年级学生这次测试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的统计图：（1）根据统计图填写下面列联表，是否有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；数学成绩不超过120分数学成绩超过120分总计每天在线学习数学的时长不超过1小时25每天在线学习数学的时长超过1小时总计45（2）从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，按分层抽样的方法抽取5名，再从这5名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至多有一名每天在线学习数学的时长超过1小时的概率附：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：其中一个数字被污损.（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率.（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）年龄（岁）20304050周均学习成语知识时间（小时）2.5344.5由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间.参考公式：，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积定义求解其轨迹方程即可.【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、B【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.故选:B3、D【解析】利用等差数列下标的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】由，所以，故选：D4、B【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.【详解】由题意，所以，所以原式等于.故选：B.5、D【解析】由题设条件求出垂直平分线的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得，且中点为，∴垂直平分线的斜率，故垂直平分线方程为，∵，则△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△的欧拉线的方程为.故选：D6、A【解析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数满足，可得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.7、B【解析】将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】由直线可得，所以，设倾斜角为，则因为所以故选：B8、A【解析】根据等差数列性质可得方程组，求得公差.【详解】等差数列中,,，由通项公式可得解得故选：A9、D【解析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案【详解】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线A：，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误B：，将0代入，此时导数为，不为，故B错误；C：，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错误；D：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故D正确；故选：D.10、D【解析】设，由，得到四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设，则，，，因为，所以，则四边形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故选：D11、A【解析】利用作差法即可比较M与N的大小﹒【详解】因为，又，所以，即故选：A12、C【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.【详解】设直角边长，斜边，则线段的长度大于的长度的概率.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】根据，，得到，利用累加法和等差数列求和公式求出，再利用裂项抵消法进行求和.【详解】因为，，，，，以上个式子累加，得，则；因为，所以.故答案为：，.14、【解析】易得函数为奇函数，则不等式即为不等式，利用导数判断函数得单调性，再根据函数得单调性解不等式即可.【详解】解：函数得定义域为R，因为，所以函数为奇函数，则不等式即为不等式，，所以函数在R上是增函数，所以，解得，即不等式的解集为.故答案为：.15、684【解析】利用累加法可求得的值.【详解】当且时，，所以，.故答案为：.16、【解析】首先构造二面角的平面角，如图，再分别在和中求解.【详解】作，且，连结，，，，平面且，四边形时平行四边形，，平面，平面，中，,中，.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）2735.【解析】(1)利用给定的递推公式结合“当时，”计算推理作答.(2)插入所有项构成数列，，再确定数列的前50项中含有数列和的项数计算作答.【小问1详解】依题意，，当时，，两式相减得：，则有，而，即，所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列.【小问2详解】由(1)知，，即，插入的所有项构成数列，，数列中前插入数列的项数为：，而前插入数列的项数为45，因此，数列的前50项中包含数列前9项，数列前41项，所以.18、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由已知条件可得，，则，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）如图，过点作，交直线于点，连接，可证得平面，从而是与平面所成的角，然后在求解即可【详解】（1）证明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如图，过点作，交直线于点，连接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是与平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直线与平面所成的角的正弦值是【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点作，交直线于点，连接，然后结合条件可证得是与平面所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题19、（1）；（2）.【解析】（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C的大小.（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求最大值.【小问1详解】由，得，即，由余弦定理得：，又，所以【小问2详解】由（1）知：，则，设△ABC外接圆半径为R，则，当时，取得最大值为20、（1），；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）利用数列为等比数列，将已知的等式利用首项和公比表示，得到一个方程组，求解即可得到首项和公比，结合等比数列的通项公式即可求出；将已知的等式变形，得到数列为等差数列，利用等差数列通项公式求出，再结合数列的第项与前项和之间的关系进行求解，即可得到；（2）先利用等比数列求和公式求出，从而得到的表达式，然后利用裂项相消求和法求出，假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，利用等比中项、等差中项以及进行化简变形，得到假设不成立，故可得到答案【详解】（1）因为数列为等比数列，设首项为，公比为，由题意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因为，所以，所以，所以，由，可得，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，故，则，当时，，当时，也适合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，则有，所以，则，即，因为，所以，即，所以，所以，则，所以，则，所以，即，所以，这与已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21、（1）表格见解析，有（2）【解析】（1）根据统计图计算填表即可；（2）根据古典概型计算公式计算即可.【小问1详解】根据统计图可得：每天在线学习数学的时长不超过1小时数学成绩不超过120分的有人，每天在线学习数学的时长不超过1小时数学成绩超过120分的有人，每天在线学习数学的时长超过1小时数学成绩不超过120分的有人，每天在线学习数学的时长超过1小时数学成绩超过120分的有人，可得列联表如下：数学成绩不超过120分数学成绩超过