上海市静安区2025届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

上海市静安区2025届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A. B.C. D.2．1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月生1对小兔子（一雌一雄），而每1对小兔子出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，则有(n＞2)，．设数列{an}满足：an＝，则数列{an}的前36项和为（）A.11 B.12C.13 D.183．已知直线：和：，若，则实数的值为（）A. B.3C.-1或3 D.-14．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（）个奇数A.1012 B.1346C.1348 D.13505．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（）A. B.C. D.6．在正四面体中，点为所在平面上动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线7．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.8．直线与圆相交与A，B两点，则AB的长等于（）A3 B.4C.6 D.19．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（）A.2 B.3C. D.10．曲线与曲线的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等11．倾斜角为45°，在轴上的截距是的直线方程为（）A. B.C. D.12．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程；14．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是___________.15．已知直线与直线平行，则实数m的值为______16．已知点，圆：.若过点的圆的切线只有一条，求这条切线方程____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，求数列的通项公式.18．（12分）某公司从2020年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金x万元，余下资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为万元.（1）用x表示，，并写出与的关系式；.（2）若企业希望经过5年后，使企业剩余资金达3000万元，试确定每年年底扣除的消费资金x的值（精确到万元）.19．（12分）设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W（1）求曲线W的方程；（2）直线与曲线W交于A、B两点，其中O为坐标原点，已知点T的坐标为，记直线TA，TB的斜率分别为，，则是否为定值，若是求出，不是说明理由20．（12分）中，内角、、所对的边为、、，.（1）求角的大小；（2）若、、成等差数列，且，求边长的值.21．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且.（1）求证：；（2）当时，求点A到平面的距离.22．（10分）已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.【详解】由椭圆的方程可得，，设，由，则，即，由P在椭圆上可得，所以，代入可得所以，因为，所以整理可得：，消去得：所以，即所以.故选：B2、B【解析】由奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数可知，数列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n为偶数，其余项都为奇数，再根据an＝，即可求出数列{an}的前36项和【详解】由奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数可知，数列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n为偶数，其余项都为奇数，∴前36项共有12项为偶数，∴数列{an}的前36项和为12×1+24×0＝12.故选：B3、D【解析】利用两直线平行列式求出a值，再验证即可判断作答.【详解】因，则，解得或，当时，与重合，不符合题意，当时，，符合题意，所以实数的值为-1.故选：D4、C【解析】由斐波那契数列的前几项分析该数列的项的奇偶规律，由此确定该数列的前2022项中的奇数的个数.【详解】由已知可得为奇数，为奇数，为偶数，因为，所以为奇数，为奇数，为偶数，…………所以为奇数，为奇数，为偶数，又故该数列的前2022项中共有1348个奇数，故选：C.5、B【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，其中和为偶数的有共种，所以所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.6、B【解析】把条件转化为与圆锥的轴重合，面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与所成角为定值，所以面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹.根据题意，不可能垂直于平面即轨迹不可能为圆.面不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算与平面所成角为，即时，轨迹为抛物线，时，轨迹为椭圆，，所以轨迹为椭圆.故选：B.【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.7、C【解析】求得，由此求得双曲线的渐近线方程.【详解】离心率，则，所以渐近线方程.故选：C8、C【解析】根据弦长公式即可求出【详解】因为圆心到直线的距离为，所以AB的长等于故选：C9、A【解析】设，则，解方程可得结果.【详解】设，则且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故选：A【点睛】关键点点睛：设是解题关键.10、D【解析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，离心率为,焦距为8,曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，短轴长为，离心率为,焦距为,故选：D11、B【解析】先由倾斜角为45°，可得其斜率为1，再由轴上的截距是，可求出直线方程【详解】解：因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为，因为直线在轴上的截距是，所以所求的直线方程为，即，故选：B12、C【解析】由题意画出几何体的图形，把、、、扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，由此能求出球的表面积【详解】把、、、扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，，，是正三角形，，，球的表面积为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）；（2）.【解析】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及求得答案；（2）设出点B的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及求出点B的坐标，进而求出直线BC的方程.【小问1详解】设C点的坐标为，则由题知，即.【小问2详解】设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程则由题知，即，又，则，所以直线BC方程为.14、【解析】根据当时，有，令，得到在上递增，再根据在上的偶函数，得到在上是奇函数，则在上递增，然后由，得到求解【详解】∵当时，有，令，∴，∴在上递增，又∵在上的偶函数∴，∴在上是奇函数∴在上递增，又∵，∴当时，，此时，0＜x＜1，当时，，此时，，∴成立的的取值范围是故答案为：﹒15、【解析】由两直线平行的判定可得求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况.【详解】由题设，，解得，经检验满足题设.故答案为：16、或【解析】由题设知A在圆上，代入圆的方程求出参数a，结合切线的性质及点斜式求切线方程.【详解】因为过的圆的切线只有一条，则在圆上，所以，则，且切线斜率，即，所以切线方程或，整理得或.故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由题设条件，结合等差数列通项公式求基本量d，进而写出通项公式.（2）由（1）得，应用累加法、错位相减法及等比数列前n项和公式求的通项公式.【小问1详解】令公差为d，由得：，解得.所以.【小问2详解】，则，累加整理，得：，①，②②-①得：，又满足上式，故.18、（1）；（2）x=348【解析】(1)根据题意直接得，，进而归纳出；(2)由(1)可得，利用等比数列的求和公式可得，结合即可计算出d的值.【小问1详解】由题意知，，，；【小问2详解】由(1)可得，，则，所以，即，当时，，解得，当时，万元.故该企业每年年底扣除消费资金为348万元时，5年后企业剩余资金为3000万元.19、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根据给定条件结合抛物线定义直接求解作答.(2)联立直线与抛物线方程，借助韦达定理、斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】过点P作直线的垂线，垂足为点N，依题意，，则动点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线W的方程是.【小问2详解】设，，由消去x并整理得：，则，，因，，则，，因此，所以.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值20、（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由三角形的面积公式可求得的值，由已知可得，利用余弦定理可得出关于的等式，即可求得边的长.【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，，则，可得，，，因此，.【小问2详解】解：，可得，因为、、成等差数列，则，由余弦定理可得，解得.21、（1）证明见解析（2）【解析】(1)如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和，再证明即可；(2)利用空间向量的数量积求出平面的法向量，结合求点到面距离的向量法即可得出结果.【小问1详解】证明：如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，故，所以；【小问2详解】当时，，，，，则