河北省临西县实验中学2025届高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

河北省临西县实验中学2025届高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（）A. B.C. D.2．离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是A. B.或C. D.或3．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A.得分在之间的共有40人B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5C.这100名参赛者得分的中位数为65D.可求得4．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（）A B.C. D.5．已知数列满足且，则（）A.是等差数列 B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列6．椭圆的（）A.焦点在x轴上，长轴长为2 B.焦点在y轴上，长轴长为2C.焦点在x轴上，长轴长为 D.焦点在y轴上，长轴长为7．甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（）种不同情况.A.6 B.8C.10 D.128．已知集合，，则中元素的个数为（）A.3 B.2C.1 D.09．在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（）A. B.C. D.10．已知三棱柱中，，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则（）A. B.C. D.11．设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（）A.越大，双曲线开口越小 B.越小，双曲线开口越大C.越大，双曲线开口越大 D.越小，双曲线开口越大12．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设、分别是椭圆的左、右焦点．若是该椭圆上的一个动点，则的最大值为_____14．已知数列满足，且，则______，数列的通项_____15．过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______16．已知等差数列是首项为的递增数列，若，，则满足条件的数列的一个通项公式为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的焦点为，且该椭圆过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求的值18．（12分）根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在点O（0，0），半径r＝3（2）圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）19．（12分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：（1）求的值，并估计这名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的名学生中，第三组和第五组各有名的概率20．（12分）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为（1）求及；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和21．（12分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.22．（10分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，则，解得，即.根据椭圆的定义可知，，当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，由且，得，因此椭圆C的短轴的最小值为.故选：B.2、B【解析】试题解析：当焦点在x轴上：当焦点在y轴上：考点：本题考查椭圆的标准方程点评：解决本题的关键是焦点位置不同方程不同3、C【解析】根据给定的频率分布直方图，结合直方图的性质，逐项计算，即可求解.【详解】由频率分布直方图，可得A中，得分在之间共有人，所以A正确；B中，从100名参赛者中随机选取1人，其得分在中的概率为，所以B正确；D中，由频率分布直方图的性质，可得，解得，所以D正确.C中，前2个小矩形面积之和为0.4，前3个小矩形面积之和为0.7，所以中位数在[60，70]，这100名参赛者得分的中位数为，所以C不正确；故选：C.4、C【解析】分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】在椭圆中，，，，如下图所示：因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，，为等边三角形，则，即，因此，.故选：C.5、D【解析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.【详解】由，可得，所以，又由，，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，，，，所以不是等差数列；不等于常数，所以不是等比数列.故选：D.6、B【解析】把椭圆方程化为标准方程可判断焦点位置和求出长轴长.【详解】椭圆化为标准方程为，所以，且，所以椭圆焦点在轴上，，长轴长为.故选：B.7、C【解析】由题可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分类讨论可得答案.【详解】若甲是最后一名，则其他三人没有限制，4人排名即为，若甲是第三名，4人的排名为，所以4人的排名有种情况.故选：C8、B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.9、B【解析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.【详解】如下图，正方体中如：中任意2条所在的直线都是异面直线，∴这样的3条直线共有8种情况，∴任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为.故选：B.10、A【解析】在三棱柱中，，转化为结合已知条件计算即可.【详解】在三棱柱中，满足，且，则，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则，由向量的减法运算得，.故选：A【点睛】关键点点睛：在三棱柱中，，由向量的减法运算得，再展开利用数量积运算.11、C【解析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解.【详解】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误；对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误；对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确；对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误.故选：C.12、A【解析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果.【详解】解：由，，成等差数列，可得，则，，，可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.则，，则的最大值可能为.由，，可得.因为，，，即，所以，则，当且仅当时，，符合题意，故的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】设，写出、的坐标，利用向量数量积的坐标表示有，根据椭圆的有界性即可求的最大值.【详解】由题意知：，，若，∴，，∴，而，则，而，∴当时，.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的坐标表示及椭圆的有界性求最值.14、①.②.【解析】判断出是等差数列，由此求得，利用累加法求得.【详解】依题意，则，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，，当时，，，也符合上式，所以.故答案为：；15、【解析】当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可.【详解】解：根据题意可知：当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.圆心到直线的距离为四边形面积的最小值为故答案为：16、，答案不唯一【解析】由，，可得，进而解得，然后写出通项公式即可.【详解】设数列的公差为d，由题可得，因为，，所以有，解得，只要公差d满足即可，然后根据等差数列的通项公式写出即可，我们可以取，此时.故答案为：，答案不唯一.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程（2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值【小问1详解】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，因为所以，即，又因为c=2，所以，又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以该椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：因为，所以，即，又，所以，即.18、（1）x2+y2＝9（2）x2+y2＝25【解析】（1）直接根据圆心坐标和半径，即可得到答案；（2）利用两点间的距离公式，求出圆的半径，即可得到答案；【小问1详解】根据题意，圆心在点O（0，0），半径r＝3，则要求圆的方程为x2+y2＝9；【小问2详解】圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4），要求圆的半径r＝＝5，则要求圆的方程为x2+y2＝25；19、（1）；这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟（2）【解析】（1）由频率分布直方图频率之和为，建立方程求解即可；设中位数为，利用频率分布直方图中位数定义列出方程即可求解；（2）频率分布直方图频率得到第三组和第五组的人数，从而列出所有样本点，再根据题意利用古典概率模型求解即可.【小问1详解】根据频率分布直方图可得：，解得．设中位数为，由题意得，解得所以这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟【小问2详解】由频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为，所以分层抽样抽出的人中，第三组和第五组的人数分别为人和人，第三组的名学生记为，，，，第五组的名学生记为，，所以从名学生中抽取名的样本空间，共15个样本点，记事件“名中学生，第三组和第五组各名”则，共有个样本点，所以这名学生中，两组各有名的概率20、（1）；（2）【解析】(1)先根据已知求出，再求及.(2)先根据已知得到，再利用分组求和求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以；==.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和求法，考查分组求和和等比数列的求和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.21、（1）（2）【解析】（1）由条件可得，，然后可得答案；（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方