2024-2025学年度八年级数学上册探索三角形全等的条件（HL）专项练习（含答案）

2024-2025学年度八年级数学上册探索三角形全等的条件（HL）专项练习

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（八年级下•山西晋中•期中）如图，已知431/C,CDL/C,若用“HL”判定Rt^ABC和

全等，则需要添加的条件是（）

A.NB=NDB.ZACB=ACADC.AB=CDD.AD=CB

2.（八年级上•湖北随州•期末）如图，ACLBD^P,AP=CP,添加下列一个条件，能利用“HL”

判定△/AP之△CAP的条件是（）

A.ABHCDB.与/C互余C.BP=DPD.AB=CD

3.（八年级上•河南南阳•阶段练习）如图，在A/L8C和ACDE中，NACB=NCED=90。,AB=CD,

BC=DE,则下列结论不一定成立的是（）

CE=BEC.ABLCDD.NCAB=NECD

4.（八年级上•江西抚州•期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知/C=DF,AB=DE,

则这两个滑梯与地面夹角/ABC与/DFE的度数和是（）

/////////////////////

A.60°B.90°C.120°D.150°

5.（八年级上•湖北十堰•阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度/C与右边滑梯水

平方向的长度。尸相等，若NCA4=32。，贝！JNE7X）=（）

6.（20-21八年级上•天津红桥•期中）如图，中，点。是a1边上一点，DEJLAB于■或E,DFLBC,

&BD=FC,B或DC,N/aM55。，则/瓦圻的度数是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

7.（八年级上•江苏南京•期末）如图，垂足为C,A是EC上一点，且ZC=CD,4B=DE.若

AC=3.5,BD=9,则/E的长为（）

A.2B.2.5C.3D.5.5

8.（八年级上•河北张家口«期中）如图，CDLAD,CB工AB,CD=CB,ZBCD=100°,贝i」NA4C=

A.30°B.40°C.50°D.60°

9.（14-15八年级上•江苏盐城•课后作业）如图，在△力比■中，/年90°,点。在上，BC-BD,DELAB

交AC于点E,△/8C的周长为12,△/龙的周长为6,则%的长为（）

A.3B.4C.5D.6

10.（八年级下•河南平顶山•期中）如图，AJBC的高2。与CE相交于点。，OD=OE,20的延长线

交8c于点”，则图中共有全等的直角三角形（）

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.（八年级上•甘肃平凉•期末）如图，在AABC中，AD,BE分别是3C、/C边上的高，已知NE=8D；

若/。3=60。，则NCBE的度数为.

12.（八年级上•河南南阳•期中）如图，在“BC中，/C=90。，点。在48上，BC=BD,DE，AB交

NC于点E,AABC的周长为12cm,V4DE的周长为6cm,则边3C的长为cm.

13.（八年级上•河北保定•阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度/C与右边滑梯水

平方向的长度。尸相等，两个滑梯的倾斜角N/8C和ZDFE的数量关系是.

14.（八年级上•新疆伊犁•期中）如图，DE工AB于■E,DF工AC于■F,若BD=CD,BE=CF,则下

列结论：®DE=DF；②/。平分N8/C；®AE=AD；@AC-AB=2BE,中正确的是.

15.（八年级上•江苏南通•阶段练习）如图NB=NC=90。，£是5c的中点，OE平分N/OC,NCED=35。,

则ZEAB=.

16.（八年级上•重庆渝中•阶段练习）如图，在四边形48。中，AC,2。为对角线，且/C=/3,

ZACD=Z.ABD,AELBD于点、E.若BD=3,CD=2,则。E的长度为.

AB

17.（18-19七年级下•黑龙江•期末）如图，为。8c的中线，点E在DC的延长线上，连接5E,且

BE=AC,过点B作BHLCD于点H,连接若CE=BH,'的=18,则DH•的长为.

E

18.（七年级下•山西临汾•期末）如图，在。8c中，ADL/C,垂足为为。8c外一点，连接BE,CE,

且/BAD+NBEC=180。.若CD=4,C£=3,则/C的长为.

19.（8分）（八年级上•浙江温州•期中）已知，如图，在AJBC中，。是8c的中点，DEJ.AB于点、E,

DFJ.AC于点、F,且BE=CF.求证：ZB=ZC.完成下面的证明过程.

证明：

DEVAB,DF1AC,

ZBED==90°.

是的中点，

BD=,

又YBEMCF,

RtABDE^m/\CDF

.../B=/C.

20.（8分）（八年级上•内蒙古巴彦淖尔•阶段练习）如图，AD,8C相交于点。，AD=BC,

NC=ND=90°.

(1)求证：/\ACB^ABDA；

(2)若N4BC=28。，求/。。的度数.

21.（10分）（八年级下•陕西咸阳•阶段练习）如图，已知“3C,乙4c3=108。，点。在边3C的延长

线上，连接N48C的平分线交/。于点E,过点£作垂足为H,且/C£H=54。.

（1）求/ZCE的度数；

（2）请判断ZE是否平分NC/尸，并说明理由.

22.（10分）（八年级上•河北邢台•阶段练习）如图，在中，NCAB=90。，在3C的上方作ABOC,

使BD=CD,且/8。。=90。，AC与BD交于点、E,连接

（1）若。平分N8C。，求证：CE=2AB.

（2）求/D/C的度数.

D

23.（10分）（21-22八年级上•山东聊城•期末）如图，在中/力反?=45°,于点〃点£为

皿上的一点，且贷4C,延长巫'交然于点户，连接物.

（1）求证：△BEMAACD；

S

（2）若刀小0,FB=b,求瞪"的值.（用含a,6的式子表示）

、AFBD

24.（12分）（20-21七年级下•辽宁朝阳•期末）己知：两个等腰直角三角板△力"和（/C=8C,DC

=CE,NACB=/DCE=9Q°）如图所示摆放，连接/£、劭交于点0.而与加交于点四BD与AC交于点、N.

（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断/£与初有何关系并说明理由;

（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即/C=2C）,在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2

中四对全等的直角三角形.

图1图2

参考答案：

1.D

【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出/"C=/Z)CN=90。，根据图

形可知/C是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等

三角形的判定定理是解题的关键.

【详解】解：AB1AC,CDVAC,

：.ABAC=ZDCA=90°,

在RtZX/BC和RtACDA中,

[AC=CA

[AD=CB'

：.RtA^C^RtACD^(HL),

故选：D.

2.D

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“HL”是解答本题的关键.根据“HL”所需的

条件分析即可.

【详解】解：:/C工3。，

，NAPB=ZCPD=90°,

,?AP=CP,

要利用“HL”判定△/AP之的条件是AB=CD.

故选D.

3.B

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础

题.

首先证明△NBC也推出CE=/C,/D=/5,ZCAB=ZECD,由/D+/OCE=90。，推出

ZB+ZDCE=90°,推出CD_L43,即可——判断.

【详解】解：在比A4BC和用ACDE中，

[AB^CD

\BC^DE

:NABC@CDE,

:.CE=AC,ZD=ZB,ZCAB=ZECD,

QND+NDCE=90。,

/.NB+NDCE=90。,

/.CD1AB,

故A、C、D正确，

故选：B.

4.B

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用HL证明

RtZ\45C名/得到N2=N3,Zl=Z4,由N3+/4=90°可得45C+/DFE=90。.

【详解】解：由题意得，NBAC=NEDF=90。,

VBC=EF,AC=DF,

：.mAABC^RtAADEF(HL),

・・・/2=/3,Z1=Z4,

•.*Z3+Z4=90°,

Z2+Z4=90°,BPZABC+ZDFE=90°.

/////////////////////

5.B

【分析】先根据HL证明RtZUBCgRtZVMT"再根据全等三角形的性质得出NCA4=/Q£尸=32。，最后

根据直角三角形两锐角互余即可求解.

【详解】解：在RtZk/BC和RtADEF中，

BC=EF

AC=DF

.・.RtA^BC^RtAD£F(HL),

J/CBA=/DEF=32。,

：.ZEFD=90°-ZDEF=58°,

故选：B.

【点拨】本题主要考查了用HL证明三角形全等，解题的关键掌握有一条直角和斜边相等的两个直角三角

形全等.

6.D

【分析】证明及△外叵以△颂(HL),由全等三角形的性质得出N,尸。=N瓦厉=25°,即可得出答案.

【详解】解：，：ZAFD=155°,

:・/DFC=25°,

■:DFIBC,DE1AB,

:・/FDC=/DEB=9G°，

CF=BD

在Rt丛FDC和RtADEB中，

CD=BE

:.Rt丛FDCWRt丛DEB(HL),

：.ZDFC=ZEDB=25°,

：.ZEDF=180°-ZBDE-ZFDC=180°-25°-90°=65°.

故选：D.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

7.A

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到

RMEOCgRt△胡C(HL),求出相关线段长度，由图中线段关系表示出口=EC-/C=5C-4C,代值求

解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键.

【详解】解：・・・/。=3.5,

CD=AC=3.5f

•/ECLBD,

ZECD=ZBCA,

在RLEDC和RUBAC中，

(AC=CD

\AB=ED

RMEQC也Rt△胡C(HL),

/.EC=BC,

•/BC=BD-CD=BD-AC=9-3.5=5.5f

:.EA=EC—AC=BC—AC=5.5—3.5=2,

故选：A.

8.B

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形中两个锐角互余，根据条件证明出两个直角

三角形全等是解题的关键.

【详解】解：CB工AB,

ZADC=ZABC=90°,

在Rt^ADC和Rt^ABC中,

[CD=CB

\AC=AC"

RtAADC注RtAABC（HL）,

:"ACD=/ACB,

=100°,

/.AACB=-/BCD」x100。=50。，

22

/.ABAC=90°-ZACB=90°-50°=40°.

故选：B.

9.A

【分析】先根据角平分线的性质得到"=员；再证明A方△应感兄看△应T得至11〃£=能接着利用三角形周

长和等线段代换得至！MOMC+ZAflZ和49+〃?=6,所以6+2%=12,从而得到灰的长.

【详解】解：连接典

■:DELAB

・・・/瓦庐90°,

在RtABED和Rt4BEC中,

\BE=BE

[BD=BC'

:.RtABED^RtABEC(HL),

：.DE=CE,

•・・△//的周长为12,

：.AB+AC+BC=129

BP月。=12,

〈△Z庞的周长为6,

：.AD+DE+AE=^,

即AD+EC+AE=&,

：.AD+AC=6,

•••6+280=12,

:.BC=3.

故选：A.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握HL证明全等是解答此题的关键.

10.D

【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键.

^ADO^AEO,^DOC^EOB^COM^BOM^ACM^ABM^ADB^AEC^BCE^CBD,利用全等三

角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证.

【详解】解："DO知AEO,

2OCaEOBqCOMaBOMQACMWABMQADBWAECQBCE均CBD.理由如下：

在与△/£(?中，NADO=NAEO=9。。,

fOA=OA

\OD=OE'

:.AADOOAEO(HL),

.・.ZDAO=ZEAO,AD=AE,

在△DOC与△£05中,

/ODC=/OEB=90。

<OD=OE

/DOC=/EOB

：.^DOC^EOB(ASA),

：.DC=EB,OC=OB,

：・DC+AD=EB+AE,^AC=AB,

/DAO=/EAO,

：.AMLBC,CM=BM.

在△GW与力切中，N0MC=N0MB=9G。,

fOC=OB

\OM=OM，

：.ACOM^ABOM(HL).

在与中，NAMC=NAMB=90。,

fAC=AB

[AM=AM，

:"ACMAABM(HL).

在△4D8与△4EC中，

'AD=AE

<ZDAB=ZEAC,

AB=AC

：."DB知AEC(SAS).

在JCE与ACBD中,/BEC=NCDB=90。,

{BC=CB

[BE=CD

：.^BCE^CBD(HL).

故选：D

11.30。/30度

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证△力助g△BD4即可求解.

【详解】解：・.・/。、BE分别是BC、/C边上的高，

・•・/AEB=ABDA=90°

ZCAB=60°,

：.ZEBA=30°

•・•AE=BD,AB=BA

：.RtMEBmRtABDA(HL)

：.ZDBA=ZEAB=60°,

・・・ZCBE=/DBA-ZEBA=30°

故答案为：30°

12.3

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，连接5E,利用HL证明Rt△劭CgRt△助。

得到=,根据三角形周长公式推出NO+4C=6cm,再由8。+80+4。+4。=12©111,可得5。=3(™.

【详解】解：如图所示，连接取，

,：DE1AB,ZC=90°,

・•・ZC=/BDE=90°,

在RLEBC和RtAEBD中,

[BC=BD

[BE=BE'

Rt△或。物RtZ\£5O(HL),

：.CE=DE,

・・•的周长为12cm,V/OE的周长为6cm,

AB+AC+BC=12cm,AD+DE+AE=6cm,

AD+AE+CE=6cm,即AD+4C=6cm,

•・・BC+BD+AD+AC=12cm,

2BC+6cm=12cm,

BC=3cm,

故答案为：3.

c

E

BDA

13.NABC+NDFE=90。

【分析】由条件信息可得，“3C与必跖均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根

据全等三角形的对应角相等，不难求解.

【详解】解：ZABC+NDFE=90°,证明如下：

由题意可得："3C与")所均是直角三角形，S.BC=EF,AC=DF.

在RtA4BC和RtADEF中,

\BC=EF

[AC=DF'

RtA4BC丝RUZ)£F(HL),

：.ZABC=ZDEF,

ZDEF+ZDFE=90°,

：.NABC+NDFE=90°.

故答案为：ZABC+ZDFE=90°

【点拨】此题考查了全等三角形的应用.做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是

解题关键.

14.①②④

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质.利用HL证明RtZXBEZ)也RtACFD全等，根据全等三角形

对应边相等可得。E=DF,再证明R3/ED也及△4ED(HL),判断出平分/A4C,可得34F,再

根据图形即可得到AC-AB=2BE.

【详解】解：*/DE1AB,DF1AC

NE=ADFC=90°,

又,：BD=CD,BE=CF,

：.RtA^D^RtACFD(HL),

：.DE=DF,①正确，符合题意；

又；/E=NDFC=9Q°,AD=AD,

RtA^£Z>^RtA^ro(HL),

：.AE=AF,NEAD=/FAD,即4D平分/A4C,②正确，符合题意；

：.AC-AB=BE+CF=2BE,④正确，符合题意；

在中，Z£=90°,：.AD>AE,③错误，不符合题意；

综上所述，正确的是①②④.

故答案为：①②④.

15.35°

【分析】过点后作垂足为凡由三角形的内角和定理求得/CDE=55。，由角平分线的定义可

知284=110。，由平行线的判定定理可知73〃CD,由平行线的性质可求得=70。，由角平分线

的性质可知EF=EC,则EF=BE,根据HL可证明Rt"EF丝Rt^AEB,从而得到ZEAB=g/DAB=35°.

【详解】解：过点£作£尸上AD,垂足为尸.

VZC=90°,ZCED=35°,

：.ZCDE=55°.

DE平分//OC,

NEDF=55。.

：.ZCD^=110°.

•/Z5=ZC=90°,

AB//CD.

ACDA+ADAB=\^°.

ZDAB=70°.

DE平分NCDA,EF1AD,ECLDC,

：.EF=EC.

是BC的中点，

EF=BE.

在Rt“EF和RLAEB中，

jEF=BE

\AE=AE'

/.RLAEF=^t^AEB.

：.ZEAF=ZEAB.

：.ZEAB=-ZDAB=-x70°=35°.

22

故选答案为35。.

【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形的

内角和定理等知识点，由角平分线的性质证得斯=£。是解题的关键.

［分析】过点4作/歹_L交CD的延长线于点F,根据AAS证明AAFCdAEB,得至I」AF=AE,CF=BE,

再根据HL证明得至！尸=Z)E,最后根据线段的和差即可求解.

【详解】解：过点/作力少工⑺交。。的延长线于点凡

FD

NZ尸。=90。，

•/AEA.BD,

ZAFC=ZAED=ZAEB=90°,

在厂。和aZEg中,

ZAFC=ZAEB=90°

ZABE=ZACD

AC=AB

.•.小厂C会A4E5（AAS）,

：・AF=AE,CF=BE,

在Rt△/尸Z）和RtAAED中,

AF=AE

AD=AD

,Vi^AFD=Rt"EZ）（HL）,

/.DF=DE,

♦：CF=CD+DF,BE=BD-DE,CF=BE,

:.CD+DF=BD-DE,

2DE=BD—CD,

•:BD=3,CD=2,

IDE=1,

.­.DE=~,

2

故答案为：!

2

【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键.

17.3

【分析】

过点A作N尸J_£尸于点尸，证明"DF均BDH（AAS）,RsC/尸之RtAEB//（HL）,得出BH=HD+DF=2DH,

再由CD为AABC的中线及8〃，。，根据弘初的面积列出关于他的方程，求解即可.

【详解】

解：如图，过点A作/尸，斯于点尸

.­.AD=BD,NAFD=ZBHD=90P

又■;ZADF=NBDH

:AADF知BDH(AAS)

:.AF=BH,FD=HD

■■■在RtACAF和RtAEBH中

{AF=BH

[AC=BE

RtAG4F^RtA£57/(HL)

EH=CF

:.EH-CH=CF-CH,EC=HF

•;BH=EC,EC=HF=HD+DF,HD=DF

:.BH=HD+DF=2DH

•.•CD为443c的中线，BHLCD

...SADBZH7ZDJ=—2S4AIBSH=-2x18=9

又S=-HD-HB=-HDx2HD

：.-HDx2HD=9

2

解得：HD=3

故答案为：3.

【点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题.

18.5

【分析】如图，过3作BFLCE的延长线于尸，证明A/BD且厂(AAS),则/。=即，BD=BF,证

明RMBC。空RM2C尸(HL),则CF=CD=4,EF=CF-CE=1,AD=\,根据NC=/D+CZ),计算求

解即可.

【详解】解：如图，过B作2厂，CE的延长线于尸，

ABAD+NBEC=180°,ZBEF+ZBEC=180°,

ZBAD=ZBEF,

ABAD=NBEF,ZADB=NEFB=90°,AB=BE,

:."BD%EBF(AAS),

：.AD=EF,BD=BF,

,/BD=BF,BC=BC,

：.RtAfiCZ>^RtAJ8CF(HL),

CF=CD=4,

：.EF=CF-CE=l,AD=1,

：.AC=AD+CD=5,

故答案为：5.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质.解题的关键在于明确线段之间的数量关系.

19.ZCFD,CD,(HL)

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明RtAH加且Rt^CCHHL),得出48=/C即可.证

明三角形全等是解题的关键.

【详解】解：•••/?£DF1AC,

:.NBED=NCFD=90。

•.•。是8C的中点，

BD=CD

又；BE=CF,

Rt^BDE^RUCDF(HL)

.­.zs=zc.

20.(1)见详解

(2)ZC4O=34°

【分析】(1)由“HL”可证之火床3。/；

(2)由全等三角形的性质可得4B4D=NN8C=28。，即可求解.

【详解】(1)证明：：/C=/D=90。，

△/C3和△瓦)/都是直角三角形，

在Rt^ACB和Rt^BDA中，

AD=BC,AB=BA,

\AD=BC

[AB=BA

：.Rt&ACBmRtABDA(HL)；

(2)在比△力CB中，

ZABC=28°,

.\ZCAB=90o-28°=62°,

由(1)可知△4C5之△5ZX4,

/./BAD=ZABC=28°,

/.ZCAO=/CAB-ABAD=62°-28°=34°.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△NCBg△瓦切是本题的关键.

21.(1)ZACE=36°

(2)/E平分NC4/，理由见解析

【分析】(1)由平角的定义可求解//CD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解N£S=36。，进而

可求解；(2)过点E分别作产于点M,EN1AC于点、N,根据角平分线的性质可证得=EN,

进而可证明结论.

【详解】(1)・・・/ZC5=108。，

.■/CD=180。—108。=72。.

QEH1BD,

ZCHE=90°.

•・・/CEH=54。,

ZECH=90°-54°=36°f

・•.ZACE=72。-36。=36。；

(2)AE平分NCAF

理由：如图，过点E分别作石尸于点"，ENtAC于点、N

•••BE平分ZABC

/FBE=ZDBE

EM±BF.EH1BD.EN1AC

ACHE=ZENA=/EMB=90°

在AEMB和AEHB中

ZCHE=ZEMB=90°

<BE=EB

NFBE=NDBE

:.^EMB^EHB(AAS)

.­.EM=EH

■：ZACE=ZECH=36°

二同理可得：EN=EH

EM=EN

在ANAE和AMAE中，

'EM=EN

NEMA=ZENA=90P

AE=EA

:.^NAE^MAE(HL)

ZAEN=ZAEM

【点拨】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题

的关键.

22.(1)见解析

(2)45°

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质，

(1)延长A4,CD交于点、F,由题意得乌尸，有4B=AF,由垂直得ND8尸=ZDCE,证得

ABDF为CDE,有3尸=CE即可证明结论；

(2)过点。分别作尸于点N,。河//。于点初，有4DBN出ADCM,得到Z)N=Z)M,可得

△DAN空xDAM,即可求得角度.

【详解】（1）证明：延长氏4,CD交于点F,如图,

•;/BCA=NFCA,CA=CA,ZCAB=ZCAF=90°f

.•.△CAB^ACAF(ASA),

/.AB=AF,

BF=2AB.

•/ZDBF+ZF=90°,ZDCE+ZF=90°,

:.ZDBF=ZDCE.

-ZBDF=ZCDE=90°,BD=CD,

:.^BDF^CDE(ASA),

BF=CE,

:.CE=2AB.

(2)解：过点。分别作于点N,于点如图,

ZDNB=ZDMC=90°.

•;/DBN=/DCM,BD=CD,

..△DBNADCM(AAS),

:.DN=DM,

DA=DA,

:・ADAN^AD^M(HL),

ADAC=ZDAF=-ZFAC=45°.

2

23.(1)见解析

(2)=|

、江BD0

【分析】(1)利用N84D=N4BC=45。得8。=/。，又BE=AC,ZADB=