2024年上海市中考数学一轮复习：特殊的四边形综合检测过关卷（解析版）

专题13特殊的四边形综合过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1.如图，菱形A3CD中，AC交BD于O,OELBC于E,连接OE,若/ABC=120。，则NOED=

（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】根据菱形的性质得到点。为8。的中点，ZCBD=60°,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半得到OE=OD,再由三角形内角和定理得到NODE=30。，则/函）=NODE=30。.

【详解】解：：四边形43co是菱形，AC交8。于。，ZABC=120°,

.,•点。为3。的中点，/CBD=|ZABC=60°,

,?DEA.BC,

：.NDEB=90。,

：.OE=OD=-BD,ZODE=180°-ZDBE-ZBED=30°

2

NOED=NODE=30。,

故选C.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性

质，熟知菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

2.如图，平面直角坐标系中，菱形Q4BC的边Q4在x轴的正半轴上，点8,C在第一象限，若

ZAOC=60°,04=4右，则对角线交点。的坐标为（）

A.（3A/3,3）B.(3,373)C.（3向D.(A/3,3)

【答案】A

【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及图形与坐标，熟练掌握菱形

的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及图形与坐标是解题的关键；过点。作于点E,

由题意易得NAOD=g/AOC=30。，AO=；OA=2若，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可

进行求解.

【详解】解：过点。作DELQ4于点E,

,四边形Q45c是菱形，ZAOC=60°,

：.ZAOD=-ZAOC^30°,

2

,/（9A=4A/3,

Z.AO=‘OA=2后

2

•*-OD=ylo^-AD2=6>

/.DE=-DO=3,

2

•*-OE=yJoif-DE2=373，

/.D（3V3,3）,

故选：A.

3.如图，四边形ABCD为菱形，ZABC=70°,延长3C到E,在NDCE内作射线CM,使

NECM=15°,过点。作。尸，CM,垂足为点/，若DF=3,则3。的长为（）

A.4A/2B.373C.6D.7

【答案】c

【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握菱形对角线互相垂直平分，三角形对

应边相等，是解题的关键.连接AC,交3。于点。，通过证明..8叱..C"(AAS),得出

DF=DO=3,结合菱形的性质，即可解答.

【详解】解：连接AC,交BD于点、O,

•••四边形A3CD为菱形，

AC.LBD,AB//CD,

ZABC=70°,

ZZ)CE=70°,ZADC=70°,

/.ZCDO=-ZADC=35°,

2

ZECM=15°,

：.ZDCM=70°-15°=55°,

•・•DFLCM,

：./CFD=/COD=90。,

：.ZCDM=90°-55°=35°,

在/CDO和VCDM中，

"CDF=NCDO

<ZCFD=ZCOD,

CD=CD

：.CDgCDF(AAS),

DF=DO=3,

：.BD=2DO=6,

4.如图，在平面直角坐标系中，。4=3,将Q4沿y轴向上平移3个单位长度至CB,连接A5,若反比例

函数＞=^（尤＞0）的图象恰好经过点A及BC的中点。，则左值等于（）

X

A.6B.2A/5C.3D.V5

【答案】B

【分析】本题考查反比例函数与几何综合，延长54,交x轴于点E,有轴，根据平移的特点证明

四边形Q4BC为菱形，得到AB=Q4=3,设A®。），则3（。乃+3）,土笞），由A与。都在反比例

函数图象上，建立等式，求得。值，再利用勾股定理求得。值，即可解题.

【详解】解：延长B4,交无轴于点石，由题意知，轴，

Q4沿y轴向上平移3个单位长度至C5,且OA=3,

..BC=OA=3=OCfBC//OA,

二•四边形Q4BC为菱形，

AB=OA=3,

设A（a,b）,贝！|8（4,匕+3）,

C（0,3）,且点。为BC的中点，

.・叱竽,

A与。都在反比例函数图象上，

巴义"=ab,解得人=2,即铉=2,

22

0A=3,

,,,OE=VOA2—AE2=飞寸-2,=布>即a=A/5>

（有,2）即左=2右.

故选：B.

5.如图，在平行四边形A3CD中以点A为圆心，A3为半径画弧交AO于点R连结成,

分别以点8和点尸为圆心、以适当长为半径作圆弧交于点G,连接AG并延长交BC于点E.若

BF=12,AB=1Q,则AE的长为（）

A.18B.16C.12D.20

【答案】B

【分析】连接EB，设AE与跳'相交于点"，证明四边形是菱形，根据菱形的性质得到

BH=FH=；BF=6,AE=2AH,AH±BF,由勾股定理求出AH=8,即可得到AE的长.

【详解】解：连接所，设AE与的相交于点X,

由作图可知，AB=AF=\O,AE平分4AD,

ZBAE=ZDAE,

:四边形ABCD是平行四边形,

BE//AD,

：.ZAEB=ZDAE,

/.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE=1O,

：.AF=BE,

,/BE//AF,

.••四边形回历是平行四边形，

,?AB=AF=1O

四边形卯是菱形，

/.BH=FH=-BF=6,AE=2AH,AH±BF,

2一,

•*-AH=y]AB2-BH2=V102-62=8»

，AE^2AH=16,

故选：B

【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、勾股定理、等角对等边等知识，证明

四边形43即是菱形是解题的关键.

6.如图，在RtA3C中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,。为AB的中点，AE//CD,CE//AB,则

四边形ADCE的对角线ED的长为（）

A.—B.3C.4D.5

5

【答案】B

【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理根据AE〃CD,CE//AB,

可得四边形必石为平行四边形，根据/ACB=90。，。为A8的中点，则CO=gA8=A£>,则平行四边形

ADCE为菱形,由NACB=90。，AC=4,AB=5,可得3C=3,证明四边形BCED是平行四边形，即可

求解.

【详解】解：AE//CD,CE//AB,

四边形AZJCE为平行四边形，

X-.ZACB=90°,。为AB的中点，

CD=-AB=AD,

2

平行四边形ADCE为菱形，

?.DE1AC,

：.DE//BC

又EC//BD

四边形3c即是平行四边形，

ZACB=90°,AC=4,AB=5,

BC=3,

:.ED=BC=3.

7.如图，在YA3CD中，BE平分/A3C交AD于点E,点尸，G分别是BE,C£＞的中点.若AB=3,

BC=5,则尸G的长为()

A.2.5B.3C.3.5D.4

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质得到AD〃3C,结合角平分线可得/ABE=NCBE,利用等角对等边求出

AD=BC=5,DE=2,最后根据梯形的中位线定理可得结果.

【详解】解：在YABCD中，AD//BC,

贝|JNAEB=NCBE,

BE平分NABC,

：.ZABE=ZCBE,

/.ZABE=ZAEB,

/.AB=AE=3,

*.•AD=BC=5,

：.DE=5-3=2,

••,点F,G分别是BE,CO的中点，

/.FG=^(DE+BC)=3.5,

故选C.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，梯形的中位线，等角对等边，关键是将平行四边形的性质和角平分

线相结合得出=

8.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC=3cm,ZA=60°,BD平分/ABC,则梯形的周长

()cm.

Dy______C

A.12B.15C.18D.21

【答案】B

【分析】根据等腰梯形的性质求出NABC=NA=60。，求出NCD3=NABO=NCBO=30。，根据等腰三角

形的判定得出DC=BC,求出AB=2AT>,即可求出答案.

【详解】解：四边形ABCD是等腰梯形，DC//ABfZA=60。，

.\ZCBA=ZA=60°,

QBD平分NCA4,

/CBD=ZABD=30。

AB//CD,

:.ZCDB=ZABD=30°

:.ZCDB=ZCBD=30°,

DC=BC=3cm

ZA=60°,ZABD=30°,

:.ZADB=90°,

AB=2AD=6cm,

•,・梯形ABCD的周长为AD+OC+3C+AZ)=3+3+3+6=15cm

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定，含30。角的直角三角形的性质，三角形内角和

定理的应用，能求出=和。C=3C是解此题的关键.

9.如图，ABC中，E,F分别是AB,AC的中点，点。在E厂上，延长A£>交3C于N,BD1AN,

AB=6,BC=8,贝1］。歹=()

【答案】C

【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中

位线等于第三边的一半是解题的关键.根据三角形中位线的性质得到跖=：BC=4,然后根据直角三角形

的性质得到。石=342=3,进而求解即可.

【详解】；E,尸分别是A3,AC的中点，BC=8,

：.EF=-BC=4,

2

VBD1AN,AB=6,

：.DE=-AB=3,

2

DF=EF-DE=4-3=1.

故选：C.

10.如图，在Rt^ABC中，?B90?,AB=BC,AC=4,D,尸分别是AB,BC边的中点，DE/AC于

点、E.连接£F,则的长为（）

A.2B.3C.2A/2D.75

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先根据等边对等角得

至IJ/A=NC=45。，再由勾股定理得到A3=2近，由线段中点的定义和三角形中位线定理得到=血，

DF=2,AC//DF,再由£>£'/4。得到/">£=45。=/4,DE1DF，由此求出DE=1,即可利用勾

股定理求出EF的长，证明。尸是RtaABC的中位线是解题的关键.

【详解】解：：在RCABC中，?B90?,AB=BC,

：.ZA=ZC=45°,

AC=4,

：.AB=BC=—AC=2y/2,

2

D,/分别是AB3c边的中点，

DR是Rt^ABC的中位线，AD=-AB=y/2,

2

ADF^-AC^2,AC//DF,

2

,?DEJ.AC,

：.ZADE=45°=ZA,DEIDF，

AE=DE=—AD=l,

2

EF=^DE2+DF2=逐，

故选：D.

二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）

11.如图，长方形A3C。中，AB=3,3c=4,点E是3C边上一点，连接AE,把Z3沿折叠，使点

B落在点E处.当a笈为直角三角形时，BE的长为.

【分析】解：①如图，当NCB'E=9O。时，由勾股定理得4。="1笈+%2=5,设BE=x,由折叠的性

质可得：AB，=AB=3,B'E=BE=x,由勾股定理夕炉十台它=CE?,即可求解；②如图，当

NCEB，=90。时，由折叠性质可得：ZAB'E=ZABE=90°,

B'E=BE,从而可证四边形为正方形，即可求解.

【详解】解：①如图，当NCB，E=9O。时，

四边形A3CD是矩形,

.-.ZB=90°,

:.AC=yjAB2+BC2

=A/32+42

=5

设3E=x,

由折叠可得：AB'=AB=3,

B'E=BE=x,

:.B'C=AC-AB',

=5—3=2,

CE=4-x,

在RtB'CE中，

B'E2+B'C2=CE2,

22

X+2=(4一元

3

解得：x=；,

:.NBEB'=9U°,

由折叠性质可得：

ZAB'E=ZABE=90°,

B'E=BE,

/.四边形ABEB'为正方形,

:.BE=BE=AB=3,

3

故物的长为二或3；

2

...3

故答案：•或3.

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，勾股定理，根据直角三角形的不同

直角顶点进行分类讨论是解题的关键.

12.如图，矩形AO3C的两边。8分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点C的坐标为(-6,4),点。

为中点，反比例函数(左)的图象经过点。，交于点、连接、、则

ACy=5#0BCE,OEODOE,。。石的

面积为.

【答案】9

【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质等等，先根据矩形的性质得到

A(-6,0),B(0,4),则AC=O8=4,BC=OA=6,再由点。为AC中点，得到8=2,£>(-6,2),由此求

出反比例函数解析式，进而求出现-3,4),则CE=3E=3,再根据显ODE=S梯形OBC。一^/\CDE—^AOBJ进行求

解即可.

【详解】解：：四边形AO3C是矩形，c(-6,4),

AA(-6,0),3(0,4),

AC=OB=4,BC=OA=6,

:点。为AC中点，

ACD=AD=|AC=2,0(-6,2),

把。(一6,2)代入y=幺化W0)中得：2=—(k丰0),

x—6

k=—12,

12

反比例函数解析式为＞=-一，

X

12

在＞=----中，当y=4时，%=-3,

x

・・・E(-3,4),

JCE=BE=3,

•・S/\ODE=S梯形OBC£)-S4CDE~~S^OBE

2+4,1八c1」

------x6—x2x3—x4x3

222

=9,

故答案为：9.

13.如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心恰好在反比例函数y=8（%/0,尤<0）上，若矩形ABCD的面

X

【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，设矩形ABCD的对称中心的坐标为

km2k

m,—，根据矩形对称中心为对角线的中点可得点A的坐标为,则点C的坐标为据此

m2m

求出A£=二，BC=-m,再根据矩形的面积为8得到t〃•二=8,解方程即可得到答案.

mm

【详解】解：设矩形ABCD的对称中心的坐标为［加；）,则点A的坐标为m2k

2m

点c的坐标为［■|科。］,

2k

AB=—,BC=—m,

m

...矩形ABCD的面积为8,

ABBC=8,

.一“生=8,

m

.M=T,

故答案为：-4.

14.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为（-8,0）,直线经过点3（-8,6）,

C（0,6）,将四边形Q4BC绕点0按顺时针方向旋转«g（0<«<180°）得到四边形OA'B'C,此时直线

OA\直线B'C'分别与直线8c相交于尸、Q.在四边形OIBC旋转过程中，若2尸=。。，则点P的横坐

标为.

【答案】（-9一或（-二,6）

24

【分析】根据0<aW180。，分两种情况，根据三角形的面积公式，勾股定理，求解即可.

【详解】解：因为0<aW180。，所以分两种情况讨论：

（1）如图1,当点P在点3左侧时，

过。作于“，连接02,则。〃=OC'=OC,

：.SPOQ=^PQOC,SPOQ=^OPQH,

：.PQ=OP,

设=

BP=[BQ,

：.BQ=2x,OP=PQ=BQ+BP=3x,

在Rt△尸CO中，（8+尤>+6?=（3尤>,

解得不=1+|后，尤2=1-（不符实际，舍去）・

PC=BC+BP=9+-46,

2

.1(一9-3后,6).

(2)如图2,当点尸在点3右侧时,

:.OP=PQ-BP=PQ=xfPC=8-x.

25

在RtZXPCO中，(8-X)2+62=X2,解得x=一.

4

257

...PC=BC-BP=8——=-,

44

7

'''g(—7,6).

4

所以点P(-9-g",6)或(-7,6).

24

【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程，坐标与图形、旋转的性质等知识，分类讨

论和数形结合是解题的关键.

15.在矩形A3CD中，对角线AC、即相交于点O,AE平分NBAD交BC于点、E,ZCAE=15°,连接

0E,①△OOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③NAOE=150。；④5AA在=5秘庭.则结论中正

确的有_______

【答案】①②/②①

【分析】判断出ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出

ZACB=30°,再判断出ABO,△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出

OB=AB,再求出=可判断②，由等腰三角形性质求出NBOE=75。，再根据

ZAOE=ZAOB+ZBOE=135°,可判断③；由AO=C。结合面积公式可得S3=S9，由等边三角形和等

腰三角形可知BEKCE,进而可知SABOE/SACOE,则SABOENS—OE,可判断④；即可求解.

【详解】解：TAE1平分NB4O,

・•・ZBAE=ZDAE=45°,

：.ZAEB=45°,

・•・一•£是等腰直角三角形，

***AB=BE,

ZC4E=15°,

ZACE=ZAEB-ZCAE=45°-15°=30°,

440=90。—30。=60。，

•・•矩形ABC。中：OA=OB=OC=OD,

・・・_ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；

：.OB=AB,ZABO=ZAOB=60°f

OB=BE,

△BOE是等腰三角形，故②正确；

•/Z.OBE=ZABC-ZABO=90°-60°=30°=ZACB,

：.ZBOE=1(180°-30°)=75°,

ZAOE=ZAOB+ZBOE=60°+75°=135°,故③错误；

,/AO=CO,

••0AOE-0COE，

•・•ABO是等边三角形，ABO石是等腰三角形，设。4=1,

AC=2fAB=BO=BE=1,BC=6，则。石=3。一区石=6—1,

；・BEwCE,但△BOE,CO上分别以班，CE为底的三角形，高相等，

,,S△RCE。S^COE，则S/^BOE。S—OE，故④不正确；

故答案为：①②.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性

质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键.

16.把两个长为4,宽为2的全等矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，则AF=.

G

【答案】2屈

【分析】根据全等的矩形的对角线相等得出AC=CF,根据勾股定理得出AC,进而证明△4ZF是等腰直

角三角形，根据勾股定理进行计算即可求解.

【详解】解：在RtZkABC中，AB=2,BC=4,ZABC=9Q°,

AC=Y/AB2+BC2=2y[5>

四边形A3CD,E/GC为全等的矩形，

:.AB=CE,ZB=ZE=90°,BC=EF,

在一ABC和中，

AB=CE

,NB=NE=90°,

BC=EF

(SAS),

:.ZACB=ZCFE,AC=CF=2卡,

.点B、C、E共线，

ZACB+ZACF+ZECF=180°,

ZACF=180°-(ZACB+NECF)=180°-(ZECF+NCFE)=90°,

△ACF是等腰直角三角形，

AF=>JAC2+CF2=2710，

故答案为：2回.

【点睛】本题主要考查矩形的性质以及等腰直角三角形的判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全

等三角形的判定.

17.如图，在矩形A3CD中，AB=4,AD=4日将AD边绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°)得到

AD',连接班>',CD'.若BD'=CD,则班>'的长为

D'

【答案】4s

【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一.过点OC作Z/F，3c交AD于点E,

根据等腰三角形的性质得AE=2«,结合勾股定理即可求解.

【详解】解：过点M作。'尸J_3C交AD于点E,

•*.DFLAD,

VBD'=CD',AD=4yf3,

：.AE=BF=LBC=LAD=2也,

22

,/AD边绕点A逆时针旋转a(0°<«<90°)得到AD',

：.AD'=AD=4A/3,

**•D'E=J(4厨-仅/丁=$,

D-F=4+6=10,

•*.BD'=加+(2@?=4近,

故答案为：4币.

18.如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形CEFG,当AB的对

应边EF恰好经过点。时，连接BE,则5E=.

【分析】本题主要考查旋转的性质，矩形的判定与性质以及勾股定理，作于H,EQL3C于

Q,利用勾股定理求出即可解决问题.

【详解】解：如图，作EHLCD于H,EQJ_8C于。，

:四边形ABCD是矩形，

ACD=AB=5,ZBCD=90°,

由旋转得，CE=BC=3,

在RtAECD中，

VZCED=90°,CD=5.CE=3,

•*-DE=ylCD2-CE2=752-32=4，

-CEDE=-CDHE,

22

,/ZEQC=ZQCH=ACHE=90°,

四边形EQCH是矩形，

123

・・・BQ=3--=-,

223M

在Rt—BE。中,BE=^BQ+EQ=

5

故答案为：^A/10.

19.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CO边的中点，点尸、。为BC边上两个动点，且

PQ=2,当BP=—时，四边形APQE的周长最小.

【答案】4

【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，要使四边形APQE的周长最小，由于AE

与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可.为此，先在3C边上确定点P、。的位置，可在AD上截取线

^AF=DE=2,作/点关于3c的对称点G,连接EG与BC交于一点即为。点，过A点作尸。的平行线

交3c于一点，即为尸点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交。C的延长线于X

点，那么先证明/GEH=45。，再由CQ=EC即可求出BP的长度.

【详解】解：如图，在AD上截取线段尸。=2,作/点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一

点即为。点，过A点作尸。的平行线交8C于一点，即为尸点，过G点作3C的平行线交OC的延长线于反

点.

•：GH=DF=6,E〃=2+4=6,ZH=90°,

/GEH=45。,

：.ZCEQ=45°,

设=则CQ=5C_BP_PQ=8_x_2=6_x,

在△CQE中，VZQCE=90°,ZCEQ=45°,

:.CQ=EC,

6—x=2,

解得x=4.

故答案为：4.

20.如图，点A是反比例函数y='(x>o)的图象上任意一点，AB〃x轴交反比例函数y=—(无<0)的图象

xX

于点5,以为边作平行四边形ABCD,其中C、。在X轴上，若平行四边形ABCD的面积为H,则女的

【分析】过点3作风轴，过点A作轴，可证得3cM空ADN(AAS),得出S=S矩畴皿,=11,

然后根据左的几何意义求解.

【详解】解：过点3作轴，过点A作4V_Lx轴，则ZBMC=Z4M)=90。，

：.BC//AD,BC=AD,

:.ZBCM=ZADN,

在二5。0和△A£)N中

ZBMC=ZAND

</BCM=ZADN,

BC=AD

BCM"AZW(AAS),

•♦S,ABCD=S矩形A&W2V=11,

又S短彩ABMN="+5，

:.k+5=ll,

:.k=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了反比例函数%的几何含义，平行四边形的性质.需要我们熟练掌握把已知图形转化为

模型图形（与左相关的矩形或三角形）的能力.

三、解答题（本题共3题，共40分）

21（12分）.已知梯形ABCD中，AD^BC,AB^AD=DC,点、E、尸分别是对角线AC、3。的中

点.求证：四边形ADEF为等腰梯形.

【答案】证明见解析

【分析】由题意得到四边形ABCD为等腰梯形，得到对角线相等，再由点E、P分别是对角线AC、BD

的中点，等量代换得到叱=AE,利用三线合一得到AF垂直于8。，DE垂直于AC,利用HL得到

Rt_ADF与RNDAE全等,利用全等三角形对应角、对应边相等得到/。钻=NAZ*,AF=DE,再利用

SSS得到/MFE与DEF全等，利用全等三角形对应角相等得到Z4£F=NDFE,进而得到AD与EF平

行，AF与OE不平行，即四边形&回为梯形，再利用对角线相等的梯形为等腰梯形即可得证.

【详解】证明：：梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,

四边形ABCD是等腰梯形，

AC=BD,

二,点E、F分别是对角线AC、3。的中点，

11

/.DF=-BD,AE=-AC,

22

；•DF=AE,

•••AB=AO=OC,点E、尸分别是对角线AC、的中点，

/.AF±BD,DE.LAC,

在&.ADF和RtVDAE中,

DF=AE

AD=DA

：.△ADFdDAE(HL),

/•ZADF=ZDAE,AF=DE,

在△AFE和_DEF中,

AF=DE

•/\AE=DF,

FE=EF

：.AAFE^ADEF(SSS),

：.ZAEF=ZDFE,

设对角线交于点O,

：.ZAOD=180°-ZDAE-ZADF=180°-2ZDAE,

ZEOF=180°~ZAEF-ZDFE=180°-2ZAEF,

*.•ZAOD=ZEOF,

：■ZDAE=ZAEF,

：.EF//AD,

•/AF±BD,DEJ.AC,

：.ZDAF和/ADE都是锐角，

AF与DE不平行，

二四边形ADEF为梯形，

又•:DF=AE,

.••四边形ADEF为等腰梯形.

FE

【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，梯形的判

定以及平行线的判定等知识.熟练掌握等腰梯形的判定方法是解本题的关键.

22（14分）.综合与实践

问题情境:

在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形ABCD(如图1),其中AB=2,连接对角线AC,且

ZZMC=30°,要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动.

以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题:

图1图2备用图

猜想证明：

(1)如图2,“奋勇”小组将△ADC绕点。旋转得到ADC,当点C'落到对角线AC上时，AC'与AD交

于点F.试猜想线段CC与47的数量关系，并加以证明；

(2)“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取AC'的中点E,连接AE,DE,试判断四边形AEDC'的形

状，并说明理由；

深入探究：

(3)在△ADC绕点。旋转的过程中，当OC'〃AC时，求点A与点A之间的距离，请你思考此问题，直接

写出答案.

【答案】(1)CC'=AC,理由见解析；(2)菱形，理由见解析；(3)6或2也

【分析】(1)首先根据矩形的性质得到NADC=90。，然后利用ZZMC=30。得到。C=[AC,然后证明出

ZXDCC是等边三角形，得到CC'=OC=：AC,即可证明出CC'=AC；

(2)首先由△OCC是等边三角形得到NCDC'=60。，然后结合旋转的性质得到AC'，A。，然后证明出

DE=^A'C,然后由ACLAD得到AD与EC互相平分，证明出四边形AEDC'是菱形；

(3)根据题意分两种情况：当点C'在AD上方时，连接A4，，首先由DC'〃AC得到

ZC'DA=ZDAC=30°,然后结合旋转的性质得到/D4'A==30。，证明出点A,C,A三点共

线，然后得至ljA4'=AC'+AC'=2+4=6；当点C'在线段AD下方时，首先由AC和旋转的性质得到

uWW是等边三角形，然后利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）CC'=AC,

证明：：四边形ABCD是矩形，

ZADC=90°,

又,:ZZMC=30°,

ADC=-AC,ZACD=90°-30°=60°,

2

由旋转可得，DC=DC,

△DCC是等边三角形，

CC'=DC=-AC,

2

：.CC'=AC；

（2）四边形A£DC'是菱形.

理由：由（1）得△DCC是等边三角形，

ZCDC=60°,

由旋转得NA'=NA4C=30。，NA'D4=NCDC'=60。，ZA'DC=ZADC=90°,AC=AC,

：.ZAFD=1SQ0-ZA-ZADA=90°,

ACAD,

又,:AC=CC=DC,

：.AF=DF,

NA'DC'=90°，点E是线段AC'的中点，

DE=-A'C,

2

XVDC=-AC,AC=AC,DC=DC,

2

DE=DC,

又,:AC±AD,

：.FE=FC,

/.AD与EC'互相平分，

四边形AEDC'是平行四边形，

又：AC'_LAD,

平行四边形AEDC'是菱形；

(3)如图所示，当点C'在AD上方时，连接A4"

A'

'：DC'//AC,

ZCDA=ZDAC=30°,

由旋转可得，AD=HO,ZADC=ZA'DC'=90°,ZC'AD=ZDAC=30°,

：.ZADA=ZADC+ZA!DC=120°,

：.ZDAA'=ZDA'A=1(180°-ZADA')=30°,

NCA'O=NZMC=30°,

ZDArA=ZDArC'=30°,

，点A,C,A三点共线，

ZC'AD=ZC'DA=30°,

：.C'A=C'D=2,AC=AC=4,

：.A4'=AC+AC=2+4=6；

如图所示，当点C'在线段AO下方时，

A'

由旋转可得，ZADC^ZADC^90°,AD^AD,

*.•DC'//AC,

ZAED=ZADC=90°,

*/ZZMC=30°,

ZADE=90°—30°=60°,

..AIM'是等边三角形，

•*-AA=AD=AC1-DC-=V42-22=273•

综上所述，当。C，〃AC时，点A与点A，之间的距离为6或2百.

【点睛】本题属于四边形旋转综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋

转的性质的综合应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的

关键.

23（14分）.在平面内,旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位

置图形的一种变换.

图①图②

图③

【问题提出】

（1）如图①，在Rt中，点O为斜边AB上的一点，AD=2,BD=1,且四边形。ECT是正方形，

小明运用图形旋转的方法，将AD所绕点。逆时针