2024年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅰ卷（数学）附试卷分析

2024年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅰ卷（数学）一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}2.若zz-1=1+i,则A.-1-i B.-1+iC.1-i D.1+i3.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=A.-2 B.-1 C.1 D.24.已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)=A.-3m B.-m3C.m3 D.35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为A.23π B.33π C.63π D.93π6.已知函数f(x)=-x2-2ax-A.(-∞,0] B.[-1,0]C.[-1,1] D.[0,+∞)7.当x∈[0,2π]时,曲线y=sinx与y=2sin(3x-π6A.3 B.4 C.6 D.88.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.810.设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)11.设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足:横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则A.a=-2B.点(22,0)在C上C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤4三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A13.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=.

14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2-c2=2ab.(1)求B;(2)若△ABC的面积为3+3,求c.16.(15分)已知A(0,3)和P(3,32)为椭圆C:x2a2+(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.17.(15分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3.(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为427,求AD18.(17分)已知函数f(x)=lnx2−x+ax+b(x-1)(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;(3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2,求b的取值范围.19.(17分)设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列.(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使得数列a1,a2,…,a6是(i,j)-可分数列;(2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)-可分数列;(3)从1,2,…,4m+2中一次任取两个数i和j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列的概率为Pm,证明:Pm>18参考答案1.A2.C3.D4.A5.B6.B7.C8.B9.BC10.ACD11.ABD12.3213.ln214.15.(1)第1步:利用余弦定理求C由余弦定理得cosC=a2+又0<C<π,∴C=π4.第2步:将C代入已知等式求B∴2cosB=sinC=22,∴cosB=12又0<B<π,∴B=π3.(2)第1步:求A由(1)得A=π-B-C=5π12,第2步:利用正弦定理得出a,c的关系由正弦定理asinA=csinC,得a2第3步:利用三角形面积公式求c∴△ABC的面积S=12acsinB=1+34c2×3得c=22.16.(1)第1步:代入A,P坐标求解a,b由题知9b2=19第2步:根据a,b,c的关系求解c,得出C的离心率e∴c=a2-b2=3,∴C(2)第1步:求解|PA||PA|=32+(−第2步:得出点B到直线PA的距离h设点B到直线PA的距离为h,则△ABP的面积为S=12|PA|·h=9,解得h=125第3步:求解点B坐标易知直线PA:x+2y-6=0,设B(x,y),则|x+2解得x=0y=−3或x=−3y=−32第4步:求直线l的方程故l:y=32x-3或y=1217.(1)第1步:证明AD⊥AB由于PA⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD,∴PA⊥AD,又AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴AD⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,∴AD⊥AB.第2步:证明AB⊥BC,得出BC∥AD∵AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,∴BC∥AD,第3步:证明AD∥平面PBC∵AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AD∥平面PBC.(2)第1步:建系,设出点A(a,0,0),写出相关向量的坐标由题意知DC,AD,AP两两垂直,以D为坐标原点,AD所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),设A(a,0,0),a>0,则CD=4−a2,C(0,4−a2,0),P(a,0,2),CD=(0,-4−a2,0),AC=(-a,4−a2第2步:得出平面CPD的一个法向量设平面CPD的法向量为n=(x,y,z),则CD·n=0CP·n=0,即第3步:得出平面ACP的一个法向量设平面ACP的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·CP=0m·AC=0,即ax第4步:根据二面角A-CP-D的正弦值列方程∵二面角A-CP-D的正弦值为427∴余弦值的绝对值为77,故|cos<m,n>|=|m·第5步:得出AD的长又a>0,∴a=3,即AD=3.18.(1)第1步:求函数f(x)的定义域f(x)的定义域为(0,2),第2步:求解f'(x)若b=0,则f(x)=lnx2−x+ax,f'(x)=2−xx·(2-x)+x(2-第3步:根据f'(x)≥0求a的最小值当x∈(0,2)时,x(2-x)∈(0,1],f'(x)min=2+a≥0,则a≥-2,故a的最小值为-2.(2)第1步:求解f(2-x)与f(x)的关系式f(2-x)=ln2−xx+a(2-x)+b(1-x)3=-lnx2−x-ax-b(x-1)3+2a=-f(x第2步:得出曲线y=f(x)的对称中心故曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称.(3)第1步:求a的值由题知f(1)=a=-2,第2步:求解f'(x)并变形整理此时f(x)=lnx2−x-2x+b(x-1)3f'(x)=2−xx·(2-x)+x(2-x)2-2+3b(x-1)2=2x(2-x)-2+3b第3步:分类讨论,研究f(x)的单调性,并判断是否符合题意记g(x)=2x(2-x)+3b,x∈(0,2),易知g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,g当b≥-23时,g(x)≥0,f'(x)≥0,f(x又f(1)=-2,故符合题意.当b<-23时,g(1)<0,g(x)=2x(2-x)令g(x)=0,得x=1±1+2因为b<-23,所以1+23b∈(0,1),故1+1+2所以当x∈(1,1+1+23b)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(1,1+1+23b)上单调递减,故f第4步:得出b的取值范围综上,b的取值范围为[-23,+∞).19.(1)(1,2),(1,6),(5,6).(2)第1步:分析当m=3时的分组情况当m=3时,删去a2,a13,其余项可分为以下3组:a1,a4,a7,a10为第1组,a3,a6,a9,a12为第2组,a5,a8,a11,a14为第3组,第2步:分析当m>3时的分组情况,得结论当m>3时,删去a2,a13,其余项可分为以下m组:a1,a4,a7,a10为第1组,a3,a6,a9,a12为第2组,a5,a8,a11,a14为第3组,a15,a16,a17,a18为第4组,a19,a20,a21,a22为第5组,……,a4m-1,a4m,a4m+1,a4m+2为第m组,可知每组的4个数都能构成等差数列,故数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)-可分数列.(3)第1步:证明1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)-可分数列,并求出方法数易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列⇒1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)-可分数列,其中p,q∈{0,1,…,m}.当0≤p≤q≤m时,删去4p+1,4q+2,其余项从小到大,每4项分为1组,可知每组的4个数都能构成等差数列,故数列1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)-可分数列,可分为(1,2,3,4),…,(4p-3,4p-2,4p-1,4p),…,(4(q+1)-1,4(q+1),4(q+1)+1,4(q+1)+2),…,(4m-1,4m,4m+1,4m+2).p,q的可能取值方法数为Cm+12+m+1=第2步:证明1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)-可分数列,并求出方法数易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可分数列⇒1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)-可分数列,其中p,q∈{0,1,…,m}.当q-p>1时,删去4p+2,4q+1,将1~4p与4q+3~4m+2从小到大,每4项分为1组,可知每组的4个数成等差数列.考虑4p+1,4p+3,4p+4,…,4q,4q+2是否可分,等同于考虑1,3,4,…,4t,4t+2是否可分,其中t=q-p>1,可分为(1,t+1,2t+1,3t+1),(3,t+3,2t+3,3t+3),(4,t+4,2t+4,3t+4),…,(t,2t,3t,4t),(t+2,2t+2,3t+2,4t+2),每组4个数都能构成等差数列.故数列1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)-可分数列,p,q且q-p>1的可能取值方法数为Cm+12-m=第3步:证明Pm>1从而Pm≥(m2024年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅰ卷（数学）试卷分析一、试卷结构与题型特点本次数学试卷在结构上保持了传统的高考数学试卷模式，包括选择题、填空题和解答题三大部分。题型设计上，注重了对学生数学基础知识的全面考察，同时融入了创新元素，旨在培养学生的数学思维和解题能力。1.选择题：本部分题目数量适中，难度分布合理，既包含了基础概念的理解与应用，也涉及了一些需要逻辑推理和计算能力的题目。多选题的赋分方式得到了优化，使得学生在选择时更加谨慎，有利于全面考察学生的知识点掌握情况。2.填空题：填空题主要考察学生的基础运算能力和对知识点的准确理解。部分题目设计巧妙，需要学生具备一定的灵活应变能力和解题技巧。3.解答题：解答题部分仍然是试卷的重点和难点。题目设计注重了对学生综合能力的考察，包括逻辑推理、代数运算、几何证明等多个方面。部分题目结合了实际情境，增加了题目的趣味性和挑战性。二、试题难度与区分度本次数学试卷整体难度适中，但区分度较高。基础题、中档题和难题的比例分配合理，既保证了大部分学生能够完成基础题和中档题，也为优秀学生提供了展示自己能力的机会。1.基础题：主要考察学生对数学基础知识的掌握情况，难度不大，但覆盖面广。这类题目在试卷中占据了较大比例，有助于学生树立信心，为后续的中档题和难题打下坚实的基础。2.中档题：在基础题的基础上增加了难度，需要学生具备较好的逻辑思维和运算能力。这类题目能够较好地反映学生的数学素养和综合能力。3.难题：难度较高，主要考察学生的创新