指对方程与反函数讲义- 高三数学一轮复习

指对方程与反函数

1、理解指数方程、对数方程的概念，掌握简单的指对方程和解法

教学目标2、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；掌握求反函数的基本步骤，并能

理解原函数和反函数之间的内在联系

指数方程和对数方程的解法；理解函数与其反函数的图像和性质关系，能熟练求解已知函数

重点

的反函数

难点复杂的指对方程的解题思想；抽象函数反函数的应用

(一)指对方程及其应用

-知识梳理

1、基本概念：

(1)指数方程：在指数中含有未知数的方程叫指数方程.

(2)对数方程：对数的真数或底数中(或对数符号后面)含有未知数的方程叫对数方程.

2、解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元.

3、方程类型及解法

(1)求解形如=朋"，log"/(x)=logag(x),凉")=例"，的方程；

方法：利用指数函数、对数函数的性质，以及两边取对数的方法，把它们转化为解一个可用初等方法来解

的代数方程.

x

具体如下：①a=c(«>0,«*0,c>0),其解为x=logac；

②〃⑴=ag(x\a>0,aw1),转化为代数方程f(x)=g(x)求解；

@afM=Z?sW(a>0,a^l,Z?>0,Z?*l),转化为代数方程/(x)lga=g(x)lgZ?求解;

④log。x=6(a〉0,awl),其解为无/；

f(x)=g(x)

⑤log。/(X)=logag(x)(a>0,awl)，转化为，/(x)>0求解；

g(x)〉0

(2)求解形如/(优)=0,/(log〃x)=0的方程；

方法：通过换元，令丁=优或y=log.x把它转化为一个可用初等方法解决的简单代数方程/(y)=0,然

后再解一个最简单的指数方程"=y(y>0)或对数方程log0x=y.

/X

【知识补充】在解对数方程时，常要应用对数的运算性质进行恒等变形，通过恒等变形有时会造成增根或失

根，对此，应注意，一是在变形过程中，注意变形后得到的方程是否与原方程同解，特别要注意变形过程中

所应用的对数运算性质，是否满足性质中的条件；二是要注意把求得的结果进行检验.

\____________________________________________________________________/

(3)求解形如x+"=3或x+log.x=3的方程，在初等数学中只能用图像法，即画出函数y=0'或

y=log”x的图像以及直线y=3-x,从函数图像与这一直线有无交点来说明原方程是否有解.

,例题精讲

【例1】解下列方程:

(2)方程2log,25—3log25x=1的解集为

(3)5>1=3,-1

【例2】设数列｛不〃｝满足Ioga%+1=l+logaX〃(a>0,aWl),若％+々+…+Moo=10。，则

玉01+%02+•••+%200=

【例3】(1)关于x的方程H9%—匕3川+6(左—5)=0在区间［0,2］上有解，求上的取值范围.

(2)已知关于％的方程log2(%+3)-logd］?=〃的解在区间(3,8)内,则a的取值范围是.

【例4】若方程4'+(m-3)・2%+m=0有两个不相等的实数根，求实数加的取值范围.

【例5】试确定方程x+旭乂=2的实根的个数.

In----=tanx+2m

【例6】已知x,ye,g),根£尺且加。0,若＜:+x.，贝』_________

2tan：-2mx

1+y1—tany

■【例7】已4叱.「m++2/。“窘呢(2m4+6)=11，则-…--------------

【例8】若在定义域内存在实数%,使得了(%+1)=/(%)+/(1)成立，则称函数/(无)有“漂移点”.

(1)用零点存在定理证明：函数/(无)=/+2、'在［0,1］上有“漂移点”；

(2)若函数g(尤)=/g(=L)在(0,+oo)上有“漂移点”，求实数a的取值范围.

X+1

x

【例9】己知/(%)=log4(4+l)+^eR)是偶函数,

(1)求左的值；

(2)对任意实数。，证明：函数y=/(x)的图像与直线y=最多只有一个交点；

4

(3)设g(%)=log402%-§a),若函数/(%)与g(%)的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

*巩固训练

1、画出函数y=|3'—1|的图像，并利用图像回答：当％为何值时，方程|3*—1|=左无解？有一解？有两

解？

2、已知关于x的方程32x+1+(m-l)(3x+13)3、=0(meR).

(1)当777=4时，解此方程；

(2)若方程在区间(l,log34)上有唯一的实数解，求m的取值范围.

3、已知a>0,awl,试求使方程：2k>g°左)=loga(尤2—片)有解的左的取值范围.

4、(1)若关于x的方程9'+(。+4>3工+4=0有实数解，求实数。的取值范围；

(2)实数。取何值时，方程lg(x—l)+lg(3—x)=lg(l—ax)有一解，两解，无解；

(3)已知不等式lg(20-5/)>lg(a-x)+l的整数解只有1,求实数a的取值范围.

5、若关于x的方程lg(ax)1g(62)=4的所有解都大于1,求实数。的取值范围.

(二)反函数及其应用

-知识梳理

1、反函数的表达形式：r'(x)

2、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一对应确定的函数才有反函数;

3、定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若y=/(x)与y=/T(x)互

为反函数，函数y=/(x)的定义域为A、值域为3,则/"T(x)]=x(xe3),=x(xeA)；

4、单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y=x对称.

5、求反函数的一般方法：

(1)由y=/(x)解出x=/T(y)；

(2)将x=/T(y)中的互换位置，得y=/T(x)；

(3)求y=/(x)的值域得y=f~\x)的定义域.

/例题精讲

【例10】已知函数/(x)=(x-a)|x|存在反函数，则实数。=

【例11](1)已知/(%)=<

,(-1<%<0)

(2)函数/(二)=2(xw0),求尸申；

【例12](1)设/(x)=个j，、=8(幻的图像与丁=/1(彳+1)的图像关于直线,=%对称，则

g(U)=；

(2)设定义域为7?的函数/(x),g(x)都有反函数，并且函数/(x+1)和gi(x-2)的图像关于直线y=x对

称，若g(5)=2005,那么〃6)=.

【例12](1)已知函数y=/(x)是奇函数，且当时，/(x)=log2(x+l).若函数y=g(x)是y=/(x)的

反函数，则g(-3)=.

(2)设/T(x)为—生cosx+工，XG(O,泪的反函数，则y=/(尤)+/T(x)的最大值为________.

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【例13]已知再是函数/(%)=jdog21―2020的一个零点，/是函数/(%)=无々"一？。?。的一个零点，

则为・42的值为()

A.4040B.20202C.2020D.1

【例14】对区间I上有定义的函数g(x),记g(/)={y|y=g(x),xw/},已知定义域为[0,3]的函数

丁=/(%)有反函数丁=/一|(%)，且尸(。1))=[1,2),ri((2,4])=[0,l),若方程/(%)—%=0有解%,则

/-------

【例15】已知函数f(x)=dax+2(a<0),其反函数为了一上工)

(1)若点尸(6,-1)在反函数/T(X)的图像上，求。的值

(2)如果点(m,n)(mn)是函数f(x)=4ax+2{a<0)与其反函数/~'(x)图像上的公共点，求。的取值

范围

、/巩固训练

2、’x<°的反函数是广1。)，则广|"-(2)]=

1、已知函数/(x)=

2x+1,x.0

2、定义在(0,+oo)上的函数y=/(x)的反函数为>=广匕)，若g(x)=,一，苍，°为奇函数，则尸(龙)=2的

f(x),x>0

解为__________

3、己知函数y=/(无)存在反函数y=尸⑴，若函数y=f(x)+2'的图象经过点(1,6),则函数

y=f~\x)+log2龙的图象必经过点.

4、己知函数/(x)=/g(x+l),g(尤)是以2为周期的偶函数，且当喷1k1时，有g(x)=/(x),则函数

y=g(x)(xe[1,2])的反函数是y=.

5、已知函数/(x)=优(a>。且a/1)满足/(2)>/⑶，若y=广十的是y=/(%)的反函数，则关于x的

不等式厂'(1--)>1的解集是

6、已知函数彳尤2-从，(*“，。>0,6>o)与其反函数有交点，则下列结论正确的是()

A.a=bB.a<bC.a>bD.a与6的大小关系不确定

7、设(Z,6分别是关于x的方程log2(x-l)+x-5=0和2*+x-4=0的根，则。+/=

8、给出下列命题：

(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；

(2)函数/(x)在区间[a,加上存在反函数的充要条件是在区间[a,口上是单调函数；

(3)函数/(X)在定义域。上的反函数为f\x),则对于任意的/e。都有/(/T(/))=/-(/(%))=%

成立；

其中正确的命题为()

A.(1)B.(1)(2)C.(1)(3)D.(1)(2)(3)

实战演练

一、填空题

1、已知/(x)=4-Jx+1),贝1J(1)的值等于

2、方程logjx-3）+log2（x+4）=3的解为.

3、已知函数/（工卜？、—a2、的反函数是7'T（x）,/T（X）在定义域上是奇函数，则正实数。=

4、方程log3（3*-1）•log313'T_「=2的解集为。

5、如果函数/（x）=|lg|3x-1||在定义域的某个子区间（左-1■+1）上不存在反函数，则人的取值范围是

6、函数/（x）=f,的值域是｛1,4,9｝且函数/（%）存在反函数,这样的/（%）共有个.

二、选择题

7、关于x的方程（；/+。-2=0有解，则。的取值范围是（）

A.0<6Z<1B.\<a<2C.a>\D.a>2

8、已知函数y（x）=±L的反函数图象的对称中心是（-1,3）,则实数。的值是（）

x—a—1

A.2B.3C.-3D.-4

9、已知/gx