江苏省南通市2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若复数z=a+（/_l）i是纯虚数，则实数。的值为（）

A.0B.1C.-1D.±1

2.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

3.已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为（)

A.兀B.C.2兀D.2亚式

4.已知向量a=(-2,4),b=(1,x),若a〃b，则|b|=()

A.与B.V5C.275D.475

5.一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概

率为（）

BC

A。A-I-t1

D.-

2

6.若=则()

711

A.一一B.——C.-D-?

999

7.某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部。的正东方向A处，测得旗杆顶端尸

的仰角为60,在A的南偏西30方向上的8处，测得尸的仰角为45（。，A,8在同一水平

面内），A,B两点间的距离为20m,则旗杆的高度OP约为（g"4，73«1.7）（）

A.10mB.14mC.17mD.20m

8.在锐角三角形ABC中，半?=tanB+tanC,则半的取值范围为()

cosCcosA

二、多选题

9.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.下列命题为真命题的是（）

A.若sin2A+sin28=sin2c,则VABC为直角三角形

B.若asinA=Z?sin3,则VABC为等腰三角形

C.若acosA=6cos3,则VABC为等腰三角形

「什sinAcosBcosC、，

D.若----=——=-----,则VABC为等腰直角二角形

abc

10.已知a,b,c为三条直线，a,/3,7为三个平面.下列命题为真命题的是（）

A.若a_Lc,6_Lc,则abB.若a户=6,则。b

C.若a_Le,au〃,则tz_L/?D.若a_L7,。上y,ac/3=a,则。

11.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2）,2个白色

球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件A="两个球颜色不同”,

3="两个球标号的和为奇数"，C="两个球标号都不小于2”，则（）

A.A与8互斥B.A与C相互独立

C.P（AB）+P（AC）=P（A）D.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

三、填空题

12.样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为.

13.已知向量a，Z?满足欠=2,向量a在8上的投影向量为:匕，则a/=.

14.以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面

体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为^.该多面体的体积为______，其面数为_______.

4

四、解答题

15.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+c2=b2+^2ac.

⑴求&

⑵若c=2A/2（Z,求tanC.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是菱形，24,平面A5C£>,及尸分别是棱

8cAp的中点.

试卷第2页，共4页

p

/勿………加

*//'\Y\/

⑴证明：PCA.BD-,

(2)证明：E尸〃平面PCD.

17.某班学生日睡眠时间(单位：h)的频率分布表如下:

分组[7,7.5)[7.5,8)[8,8.5)[8.5,9]

频数4X20y

频率ab0.40.12

(1)计算该班学生的平均日睡眠时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在［7,7.5)和［8.5,9］的学生中抽取5

人.再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在［7,7.5)的概

率.

18.已知VABC的面积为9,点。在边上，CD=2DB.

4

⑴若cosNBAC=g,AD=DC,

①证明：sinZABD=2sinZBAD；

②求AC;

(2)若AB=3C,求的最小值.

19.如图，等腰梯形A8CD为圆台。。的轴截面，E,尸分别为上下底面圆周上的点，且8,

E,D,尸四点共面.

⑴证明：BFDE.

(2)已知AD=2,BC=4,四棱锥C-BE。尸的体积为3.

①求三棱锥B-ADE的体积；

②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-8R。的正弦值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】根据纯虚数的概念列方程求解.

【详解】根据题意，复数z=a+（/_l）i是纯虚数，

所以a=0且片一IrO,解得a=0.

故选：A

2.D

【分析】利用数字特征的含义求解即可.

【详解】平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，

方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度.

故选：D.

3.B

【分析】根据公式$侧=11包可解.

【详解】根据题意圆锥的母线长/=VFTP=鱼，代入5侧=/即可求得S侧rxlx

V2=V2n-

故选：B.

4.B

【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.

【详解】因为a〃人所以〉宓，即（一2,4）=4（l,x）n（-2,4）=（4以）

f-2=A[A-—2

所以l2'所以。=（1，一2）

所以|切=1仔+（_2）2=6,

故选：B.

5.C

【分析】运用古典概型可解.

【详解】根据题意，设2个苹果分别记为：1和2,3个桃子编号为A,B,C,

从盘中任选两个，可得（1,2）,（1,A）,（1,B）,（1,C）,（2,A）,（2,B）,（2,C）,（A,B）,（A,C）,（B,C）

共10种情况.

答案第1页，共12页

选中的水果品种相同的选法有：（1,2）,（A,B）,（A,C）,（B,C）,有4种.

所以选中的水果品种相同概率为：卡42

故选：C.

6.B

【分析】利用换元法，令尤=I4T-。，＞=2夕-7T£,找到y与x的关系，然后利用诱导公式和

36

倍角公式进行求值即可.

【详解】令x=g-a,cos（|■-“=g,则cosx=g,

7T71

令y=2a-：,贝！|,=彳-2工

o2

所以sin12a-力=siny=sinf-2x\=cos2%=2cos2x-1=-1=-g

故选：B.

7.C

【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解.

【详解】

hhh

如图‘设°尸="米,则3嬴方二米’如嬴式匹

在△0A5中，由题意可得,

由余弦定理可得cosNOAB=

解得〃=106al7米

故选：C.

答案第2页，共12页

8.A

rrcinC'

【分析】利用切化弦的思想以及两角和的公式，等价变形已知条件，求得B=然后*

3cosA

sin卜+R,再一次化简为只有一个三角符号，再求出角A的范围，即可求解.

消元，得到

cosA

0QInA

【详解】因为今W=tan5+tanC,所以

cosC

2sinA_sinBsinC_sinBcosC+cosBsinC_sin（B+C）sinA

cosCcosBcosCcosBcosCcosBcosCcosBcosC

1兀

所以COS3=7,又三角形ABC为锐角三角形，所以3=；,

23

sin|A+—j—sinA+^cosA

所以sinC_sin（A+B）I3J=22「tanA+且

cosAcosAcosAcosA22

„.71

0<A<-0<A<—

2n2兀）兀

又因为三角形ABC为锐角三角形，所以n—<A<一

八2兀4兀62

0<C<-0<A<—

232

所以tanA£

sinC

所以

cosA

故选：A.

9.ABD

【分析】利用正弦定理逐项进行边角互化即可判断.

【详解】对于A,若sin2A+sin28=sin2。，由正弦定理得片=。2,所以。=TT1,所以

VABC为直角三角形，故A正确;

对于B,若asinA=bsin_B,由正弦定理得/=凡所以〃=人，所以VAB。为等腰三角形,

故B正确;

即gsin2A=gsin23,

对于C,若acosA=bcosB,由正弦定理得sinAcosA=sin5cos5，

IT

所以2A=25或2A+23=兀，即A=3或4+3=万，则VABC是等腰或直角三角形，故C

错误;

sinAcosB_cosCcosBcosC

对于D,石,由正弦定理得”,所以

abcsinAsin区sinC

答案第3页，共12页

TTTT

cosB=sinB,cosC=sinC,即B=—,C=一,所以VABC为等腰直角三角形，故D正确；

44

故选：ABD.

10.BCD

【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可

得到结果.

【详解】对于A选项，令aua,bua,若。_1_<7,则一定有a_Lc,b±c,而在同一平面

的6两条直线可以平行，也可以相交，故A错误；

对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确；

对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确；

对于D项，设aY=m,p/=/,过平面7内一点A,分别作AB机，AC±Z,如图所

不，

因为cJLy,aY=m,ABuy,ABIm,所以AB_La,

又因为aua,所以AB_La,同理：ACLa,

又因为ABcAC=A,AB>ACcy,

所以。_L7,故D项正确.

故选：BCD.

11.BC

【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A,由相互独立事件的定义分析B,由古典概型

的计算公式分析C、D,综合可得答案.

【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则

{(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)},

A={(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)},3={(1,2)、(1,4)、(2,3)、(3,4)},

C={(2,3)、(2,4)、(3,4)},

答案第4页，共12页

AB=｛（1,4）、（2,3）｝,AC=｛（2,3）、（2,4）｝,8C=｛（2,3）、（3,4）｝,

4BC=｛（2,3）｝,

4740Q1

所以有尸（A）=k=a，P⑻=N=a，p（c）=-=-.

UDkJJUN（

71711

P（A2）=%=1P（AC）=-=-,P（ABC）=~,

对于A,AB=｛（1,4）、（2,3）｝,事件A、B可以同时发生，则A、2不互斥，A错误；

对于B,P（A）P（C）=P（AC）,A、C相互独立，B正确；

对于C,P（AB）+P（AC）=P（A）,C正确;

对于D,P（ABC）^P（A）P（B）P（C）,D错误.

故选：BC.

12.11

【分析】根据百分数的定义就可求得第40百分位数.

【详解】首先对数据从小到大进行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8个数据

8x40%=3.2,

所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11,

故答案为：11.

13.2

【分析】首先利用投影向量的定义求出^cos9，9=1,再利用数量积的定义求出°力即可.

【详解】由已知向量a在6上的投影向量为京，则Hc°s（a，»（=m，

又因为即卜|=2,所以Wcos（a,6）=l.

【分析】根据正四棱锥的侧面与底面所成的角为求出正四棱锥的高，从而求体积.

【详解】根据题意，如图，以棱长为2的正方体的一个面为底面的正四棱锥尸-ABC。,

答案第5页，共12页

p

取底面中心0,C£>中点E,

因为尸O_L平面ABC。，CDu平面ABCD,所以CD_LPO,

又CD工PE,PO2£=匕尸0,「£<=平面尸0£,

jr

所以CD,平面POE,则/PEO=—,

4

所以〃=PO=1,

从而该多面体的体积为V=2x2x2+6x^x2x2xl=16,

考虑到四棱锥的侧面夹角为m其面数为4x寸6=12.

故答案为：16；12.

71

15.(1)B=-

⑵一2

【分析】⑴根据余弦定理得到cosB=走，得到8=}

24

(2)设a=t,c=2&,代入4+/="+后。，求出8=百，再由余弦定理得到cosC,进

而得到正弦和正切.

【详解](1)tz2+c2=Z?2+\/2aca2+c2-b2=y/2ac，

t,r_/+c?—Z??y[^ac5/2

故cos5=--------------=-——=—，

laclac2

7T

因为BE(0,冗)，所以3=a；

(2)设。=G。=2&才，代入储+。2=。2中，

〃+8/=02+".2万，故廿=55，解得后，

./<-+Z?2~^+5/一8/

由余弦定理得cosC=--------------=---------广—=--，

2ab2t-yj5t5

答案第6页，共12页

则sinC=Vl-cos2C=2,,

2A/5

,,八sinC5-

故tanC=--=^-=r=-2.

cosCsj5

-T

16.⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)连接AC,即交于点。，由已知证明8。工平面上4C,又PCu平面PAC,即

可证明3。，PC；

(2)连接OE,QF,证明出平面EFO〃平面尸8,结合面面平行的性质即可证明.

【详解】(1)连接ACBD交于点0,由四边形ABCD是菱形得AC1BD,

因为PA_L平面A58,BDu平面A2CD,

所以24_L3D,

因为取，&0，ACJ.BD,PAAC=A,PAACu平面PAC,

所以平面PAC,又尸Cu平面PAC,

所以BDLPC.

(2)连接。瓦。厂，

因为四边形ABCD是菱形，所以点。为AC,中点，

又瓦厂分别是棱A尸的中点，

再以F0HPCQEHCD,

因为PCu平面PCD,F0t^-^PCD,

所以FOII平面PCD,同理可得E0II平面PCD,

因为E0,F。u平面£FO,且EOCFO=。，

所以平面£FO〃平面PCD,又£Fu平面EFO,

所以所〃平面PCD.

答案第7页，共12页

17.(l)8.03h

呜

【分析】(1)先求出的值，再求平均数；

(2)由比例分配的分层随机抽样方法，分别从［7,7.5)和［8.5,9］两组的学生中抽取2人，3

人，再由古典概率求解.

【详解】(1)因为容量“=20+0.4=50,

所以y=50*0.12=6x=50-(4+20+6)=20,

所以该班学生的平均日睡眠时间为4x(7.25x4+7.75x20+8.25x20+8.75x6)

$x(29+155+165+52.5)=8.03(h)；

(2)由(1)知，该班日睡眠时间在［7,7.5)和［8.5,9］频率比为2:3,

由比例分配的分层随机抽样方法，分别从［7,7.5)和［8.5,9］两组的学生中抽取2人，3人，

记［7,7.5)中抽取的2人为a,b,［8.5,9］中抽取的3人为G4,e,

设“2人中至少有1人的睡眠时间在［7,7.5)”为事件A,

则Q={(a,6),(a,c),(a,e),(b,c)(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},

A={(a,c),(a,d),(a,e),(b,d)(b,d),(b,e)},

7

所以A发生的概率P(A)=而，

7

所以2人中至少有1人的日睡眠时间在［7,7.5)的概率为5.

18.(1)证明见解析，AC=4"

⑵4

BD

【分析】(1)①在中，由正弦定理可得从而得证;

sinZABDsin/BAD

2

②在中，利用三角函数恒等变换可得所以SLgS…6,在AC。中，由

2

S.rD=-xADxACxsma=—ACx^-=6,可解问题；

ACD21617

答案第8页，共12页

2]-2414

(2)由=+两边平方的A»=§C2+562+§6CCOS/BAC,再借助余弦定理

412cosZBAC

和三角形面积公式,将上式表示为AD=----------------------------1------------------,化简利用基本

sinABACcosABACsinABAC

不等式求最值.

【详解】(1)①因为CD=2DS,AD=DC,所以AZ)=2D5,

BD

在△板）中，由正弦定理可得

sinZABDsinZBAD

An

所以sinZABD=----xsin/BAD=2sin/BAD

BD

4

②设NBAC=0,则cos0=—j

因为0<9<兀，所以sin6=Vl^cos^e=w，

设NC=a,因为AT>=OC,所以NC=NC4D=a,

在Z\ABD中，/B=TI—0—a,/BAD=3—cc,

由①知sinZABD=2sin/BAD,

所以sin(6+a)=2sin(6-a),

所以sin，cosa+cos0sina=2sinSeosa-2cos6sina,

整理得cosa=4sin。，又因为siYc+cos2a=1,0<。<兀，

诉”•炳4M

所以sma=-----,coscr=--------，

1717

2

因为CD=2DB,所以SACD=§S钻0=6,

在-ACD中，因为AD=OC,NC=a,

所以AC=2A£)cosa,所以A£)="0=^-AC,

2cosa8

贝IS=—xADxACxsina=AC?x-g,

A4。rn。21617

所以AC=4A/6；

(2)记VABC的内角为A,氏C,所对边为。也c,

因为CD=2D6,

。QQ1

所以A£>=AC+CD=AC+—C5=AC+—(A3—AC)=—A3+—AC,

33、733

_«2414

所以AD=-c2+-kr+-becosABAC,

999

在VABC中，因为AB=3C,

答案第9页，共12页

所以由余弦定理可得c*2=c2+b2-2bccosABAC,

整理得2ccosABAC=b,c=---------------

2cosABAC

11Q

因为SARC=—besinABAC=9,所以力c=-------------

由2sinABAC

所以廿=36cosN8AC_b-_9

-sinABAC'_4cos2ZBAC~cosZBACsinABAC'

所以

2

A2412cosZBAC4+12cosABAC

-sinZBACcosABACsinABAC~sinABACcosABAC

_dsir?NB4C+16cos2NBACsinABAC4cos

-------------+---------------->16,

sinABACcosABACcosABACsinZBAC

当且仅当sinABAC=35cosABAC=-时取等号，

55

所以A£>的最小值为4.

21

【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由平面向量得Ar>=]AB+]AC,两边平方的

__.2414

22

AD=-c+-b+-bccosZBACf再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为

4八412cosZBAC

AD=------------------1-----------,利用三角函数恒等变换化简,并利用基本不等式

sinABACcosABACsinZBAC

求最值.

19.（1）证明见解析

⑵①；；②

23

【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明；

（2）①将圆台。。।的母线延长交于一点P,连接PE,延长PE交底面于点。，连接2。，C0,

可推得“BD尸=2SABDE，从而得匕求得结论；

②在等腰梯形A2CD中，过点。作边BC的垂线DG,垂足为G,可证/DCG为母线与下底

面所成角，由tan/DCG=OG可知，要使"CG最小，只要£>G最小即可，进而求得DG的

最小值，即可求得结论.

【详解】（1）证明：在圆台。。1中，平面ADE〃平面BfC,

因为平面BEDF-平面ADE=DE,平面BEDF'平面BFC=BF,

所以BF//DE；

答案第10页，共12页

（2）①将圆台。。1的母线延长交于一点尸，连接尸E,延长PE交底面于点。，连接BQ,C。,

在圆台。。1中，平面ADE〃平面B/C,

因为平面尸CQ平面4）£=小，平面尸CQ平面BR?=CQ,所以ED//CQ,

又由（1）可知BF//ED,所以8尸〃CQ,

又CFLBF,BQLCQ,BF,CF,BQ,CQu平面8/C,

所以BQ〃CF,所以四边形3PCQ为平行四边形，所