2022-2023学年北京海淀区高三（上）期中数学试题及答案

2022北京海淀高三（上）期中数学2022．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集U=xx，集合A=x2x，则（）（A）2]（）(0,2)（D）(−,2)（）(−,2]（2）在同一个坐标系中，函数y=logax与y=ax(a0且a的图象可能是（）（3a,b形的边长均为，则ab=（）A4B．42C．4D．42====（4n和等比数列b满足1122248nb的公比为（）n（A）2（）2−（）4（D）4（5）已知实数a,b满足ab，则下列不等式中正确的是（）（A）|ab（）a|b|（）a2abDabb（）235（与角均以Oxyxsin==，则cos=（）4453535（A）−（）（）−（D）5（f(x)f(x)的图象向上平移1个单位长度，得到图象1f(x)的图象上1所有点的横坐标变为原来的CC与Cf(x)2122中符合题意的是（）x1（D）f(x)=（A）f(x)=log1x（）f(x)=log2x（）f(x)=2x22（8）已知函数f(x)ae=x+be−(ab0)x，则"a+b=0""f(x)为奇函数的（（）必要而不充分条件）（A）充分而不必要条件（）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9P是ABC内部或边上的一个动点，且=xAB+yAC，则xy的最大值是（）1412（A）（）（）1（D）2（10）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第12间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下n99长度总和大于，则n的最小值为（）100（参考数据：0.477）（A）9（）10（）（D）12第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（）若复数z1，则z=____．=−1（12）函数f(x)=+x的定义域是．x−1（13）已知向量a=，b=(x,tx+．若存在实数x，使得a与b的方向相同，则t的一个取值为____．π6（f(x)=sinx+0)和g(x)=2(x+)−sin(x+)=2π6____；g=____．−2++xaxx（15）已知函数f(x)=ax,x1.（1a=1时，f(x)的极值点个数为____；（2f(x)恰有两个极值点，则a的取值范围是____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．（16（本小题13===已知等差数列n的前n项和为S(n，且23，S525．n（Ⅰ）求a的通项公式；nnb的首项为qn的每一项都是n中的项．若b=a(k,mN*)，求mk的式子表示）条件②：q=2；km条件①：q=1；条件③：q=3．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分．（17（本小题14已知函数f(x)=2sinxx+2cos2x−1．π（Ⅰ）求f−的值；4（Ⅱ）求f(x)的最小正周期；π2（Ⅲ）求f(x)在区间上的最大值和最小值．（18（本小题141已知函值f(x)=x3−x．23（Ⅰ）求f(x)的单调区间；43（Ⅱ）若f(x)在区间(m]上的取值范围是−,0，求m的取值范围．（191412的观测站A和B,B处观测该动物种群，如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得=30，=60，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得==,B,C,D在同一平面内）（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求点C,D之问的距离．（2015已知函数f(n)iex−=asx．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）当a=1时，证明：函数y=f(x)−2在区间π)上有且仅有一个零点；（Ⅲ）若对任意x[0,π]，不等式f(x)2−x恒成立，求a的取值范围．（21（本小题15对于一个m行n列的数表mn(m，用i,j表示数表中第i行第j列的数，i,ji=,;j=pt)：．对于给定的正整数t，若数表mn满足以下两个条件，则称数表mn具有性质①j=1，m,j=0(j=②i−i+i,2−i1,2（Ⅰ）以下给出数表1和数表．；+．（ⅰ）数表1是否具有性质p(2)？说明理由；t2具有性质pt)t（Ⅱ）是否存在数表m2023具有性质p(6)？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；（Ⅲ）给定偶数n(n，对每一个tft)．求ft)的最大值．，将集合mmn具有性质pt中的最小元素记为海淀区2022—2023学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题题目12345678910D答案BACBADBCA二、填空题（）5（12）的实数均可1（142；1或1（152；三、解答题（1613n}的公差为d，因为a=S=25,25a+d=1所以5451+d=25.21=解得d=所以n=2n−1.（Ⅱ）选择条件③.因为1=q=3，所以nn1=−.因为a=b,mk即m−1=k−1.3k1+1得m=.2因为kN*,k1为奇数，k1+1为偶数，所以mN*.3k1+1可得m=.2（1714f(−)=2sin(−)cos(−)+2cos2(−)−14424422=2(−=1.)+)2−1222（Ⅱ）f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+).42所以f(x)的最小正周期为T==.25（Ⅲ）因为0x,2x+,2444当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值，428所以f(x)在区间]上的最大值为f()=2；28当2x+=，即x=时，f(x)取得最小值，442所以f(x)在区间]上的最小值为f()=1.22（1814f(x)的定义域为R.fx)=x2−2x，令fx)=0，x=x=2.12x(,00)20fx)f(x)++极大值极小值由表可得，f(x)的单调递增区间为(,)；单调递减区间为.44（Ⅱ）由函数解析式及（Ⅰ）可知f(=−,f(0)=f(2)=−,f=0.334①当m(时，x(mf(x)−，不符合题意；34②当m[2,3]时，f(x)在区间[]上的取值范围是[−,0]，符合题意；3③当m3时，由f(x)在区间)上单调递增可知f()f=0，不符合题意.综合上述，m（1914中，，sinsin==,所以=.ADAB由正弦定理：=，得=，sin45sin602sin45sin6023所以，AD=AB=12=46(km).22316+2sin=sin75=sin(45+)=所以的面积为(+)=,22241216+2△ABD=sin=1246=36+123(km).224（Ⅱ）由，==,=,=63.得在△ACD中由余弦定理，得CD=+−2ADcosCAD=363+166−263462222=60.2所以，CD=215(km).即点C,D之间的距离为215km.（2015a2时，=f(x)=ex−2sinx，则f=1.fx)=ex−2cosx，则f=1.曲线f(x)在f处的切线方程为y=−x+1.（Ⅱ）当a1时，记=g(x)=f(x)−2=ex−x−2，则gx)=ex−x.当x时，exe0=cosx1,所以gx)g0=.所以g(x)在)上单调递增.因为g1g()e20=−=−,所以函数yf(x)2在区间上有且仅有一个零点.=−（Ⅲ）设(x)=f()+x−2=ex−ax+x−2.则hx)=ex−ax−x.设s(x)=ex−ax−x.则sx)=ex−x+ax.因为当x]时，exe0=cosx,所以当a0时，x]时，sx)0，所以hx)在区间]上单调递增().*h=1−a0，h)=e+a0,（1a1时，且hx)在区间]上单调递增，所以存在唯一x(0,)，使得hx)=0.00当xx)时，hx)0，0所以(x)在区间(0,0)上单调递减.可得h(0)h(0)=0，所以与题意不符.（2a1时,=(x)=ex−x+x−2.hx)=ex−x−x由()可知：hx)在区间]上单调递增,*所以当x]时，hx)h=0.所以(x)在区间]上单调递增.所以()符合题意.区间]上恒成立.（3a1时,(x)=ex−ax+x−2ex−x+x−2.]上恒成立由（）可知，此时(x)0在区间.综上所述，实数a的取值范围是(.（21151不具有性质p.理由：|2,1a||a−+−a|a−a=12.+2,23,22,33,3（ⅱ）存在.t3时，数表具有性质=2pt).（Ⅱ）不存在数表A具有性质p.m2023假设存在m使得数表A具有性质p，则m2023|i−i|+|i,2−i1,2|+.即在这两行中，有6列的数不同，设其中有k列是第i行的数为1i1行的数为，+0则有6k列是第i行的数为−0i+1行的数为1.所以，从第i行到第i1行，一共增加了+6−k个，的个数的奇偶性不变分11.7所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同.与数表A第一行有2023个，最后一行有0个1矛盾.m2023所以，不存在具有性质p的数表A.m2023（Ⅲ）ft)的最大值的为n+1.定义m1行列的数表B−n：(mn其第i行第j列为i,j|i,jij=−|，i=.则i,j，且i,j=0表示i,j,ij两数相同，i,j1表示=a,a两数不同.i,jij因为数表mn的第1行确定，所以给定数表(mn后，数表mn唯一确定.①先证ft)n1+.n我们按照如下方式，构造数表nn：对于第2s1行和第2s行，s=−，2令2s1,2s12s1,2s==0，b=2s,2s=1，2s,2s1且在这两行其余的n2列中，任选相同的−t−1列都为，其他列都为0.1于是可得到具有性质pt)的数表A如下：(n1)n第1列第2列第3列第4列第n列第n列第1行111101……11第3行0000101111第5行…………第n行000000即对于每个t，当m=n+1时，都存在数表mn具有性质pt).所以ft)n+1.②再证t=n−1时，ft)n+1.=+++记iii,2ai=.i,n因为t=n−1是奇数，所以Si与Si+1的奇偶性不相同(i=因为S=S=0，).1m所以m是奇数.我们考虑(mn的第i行和i1行，因为tn1，所以这两行中都有+