数学单元测试：第一章立体几何初步

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章测评BENZHANGCEPING(时间90分钟，满分100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列说法中正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体各条棱长都相等D．棱柱的各条棱都相等2空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(）A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面BDC3下面几何体的轴截面一定是圆面的是（)A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台4下列说法正确的是（)A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点5如果正六棱柱的底面是边长为a的正六边形，棱柱的高也等于a，那么,经过不相邻侧棱的截面的最大面积为（)A．a2B。eq\r(3）a2C．2a2D．2eq\r(3）a26一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面与底面的面积之比为1∶eq\r（2）,则此棱锥的一条侧棱被分成的两段的长度之比为(）A．1∶eq\r(2）B．1∶2C．1∶（eq\r（4,2）－1)D．1∶(eq\r（2）＋1)7用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下根据三视图回答此立体模型共有正方体的个数为（)A．4B．5C．6D．78正四棱台两底面边长分别为a,b，侧面积等于两个底面积的和,那么它的高为(）A.eq\f(ab,a＋b）B.eq\f（a＋b,ab）C。eq\f（a2b2,a2＋b2)D。eq\f(a2＋b2,a2b2)9两相同的正四棱锥组成如下图所示的几何体,可放在棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有（)A．1个B．2个C．3个D．无穷多个10有一容积为1立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积是（）A.eq\f(1,2)B.eq\f(7，8)C。eq\f(11,12)D.eq\f（47，48)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．12如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、DD1的中点，则过D、E、F三点的截面截正方体所得截面形状是________．13李师傅用铁皮做10节同样大小的圆柱形通风管，每节长80cm，底面直径20cm，一共需要铁皮________．14三棱锥A—BCD是长方体木料的一角，现欲从顶点A沿着底面BCD的垂线方向钻孔，则出口位置是三角形BCD的______（填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心"）．15下列说法正确的是________．①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16(9分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.17（10分)已知：如图,直线l∩平面α＝M，直线l在平面α上的射影是直线m，直线aα,并且a⊥m，求证：a⊥l。18(10分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示．墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD—EFGH。右上图、右下图分别是该标识墩的主视图和俯视图．主视图俯视图（1)请画出该安全标识墩的左视图；(2）求该安全标识墩的体积；(3)证明直线BD⊥平面PEG.19(11分）已知：棱锥V—ABC的底面积是64cm2，平行于底面的截面面积是4cm2,棱锥顶点V在截面和底面上的射影分别是O1、O，过O1O的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．参考答案1解析：根据棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱长相等，但是侧棱和底面内的棱长不一定相等，而正方体的所有棱长都相等．答案:C2答案:D3解析:圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、三角形、等腰梯形，而球的轴截面是圆面．答案：C4解析：不共线的三点确定一个平面,所以A错误；四边形的四个顶点不一定共面,所以B错误；假设两个平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点,那么这两个平面重合，所以D错误；两条平行直线确定一个平面,梯形的一组对边平行，则梯形一定是平面图形，所以C正确．答案：C5解析：首先要分析经过不相邻侧棱的截面的情况．其中面积最大的截面面积显然为a·2a＝2a2.答案：C6解析：如图,∵eq\f（S截，S底)＝（eq\f(A1B1,AB））2，∴eq\f(A1B1，AB)＝eq\f(1,\r(4,2）），而eq\f(A1B1,AB）＝eq\f（SA1,SA)＝eq\f（1,\r(4，2)），eq\f(SA1，SA－SA1）＝eq\f(1，\r（4,2)－1),即eq\f（SA1,A1A）＝eq\f（1,\r（4,2)－1)，∴侧棱被分成两段的长度之比为1∶(eq\r（4,2）－1）．答案:C7解析:依三视图，可知立体模型的直观图为，所以共有5个正方体．答案:B8解析：设高为h，斜高为h1，因为侧面积为S侧＝4×eq\f(1，2)(a＋b)×h1＝2（a＋b）h1，上下底面积之和为a2＋b2，∴2（a＋b)h1＝a2＋b2，所以，h1＝eq\f(a2＋b2,2（a＋b)),故h＝eq\r（h\o\al(2,1）－[\f(1,2）（b－a）］2）＝eq\r（\f（（a2＋b2）2－(b2－a2）2,4（a＋b）2）)＝eq\f(ab,a＋b).答案：A9解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心是正四棱锥底面正方形ABCD的中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积,问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种．因为正方形的内接正方形的大小不一样，所以如图所示可知有无数个．答案:D10解析:当水平面调整为如图△EB1C时容器的容积最大，最大容积为V＝1－eq\f（1，3)×eq\f（1,2)×eq\f(1,2）×1×1＝eq\f(11，12）。答案：C11解析：如图所示:圆M的面积为3π,则半径MB＝eq\r(3）。设球半径为R，则（eq\f(R,2））2＋(eq\r(3））2＝R2，得R2＝4.∴S球＝4πR2＝16π.答案：16π12解析:取A1B1中点G，则截面应为DD1GE，易证为矩形．答案:矩形13解析：所做的每个柱体的底面半径为10cm，高为80cm，故每个柱体的侧面积为2π·10·80＝1600π（cm2），故总共需要的铁皮面积为1600π×10＝16000π(cm2）.答案：16000πcm214解析：如图所示，出口的位置为O点，连接AO，则AO⊥平面BCD，所以AO⊥CD。又由已知易知BA⊥平面ACD，所以AB⊥CD，所以CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，连接BO并延长交CD于点E，则BE⊥CD，同理可证得DC⊥BC，CO⊥BD,所以O点位置是三角形BCD的垂心．答案:垂心15解析：根据棱柱的概念能判断侧棱和底面垂直的就是直棱柱，否则就不是，可以逐个进行验证．答案:②④16分析：证明直线与平面平行可以利用三角形中位线找出平行线即可．证明:如图，设CB1与C1B的交点为E，连接DE,∵D是AB的中点，E是BC1的中点,∴DE∥AC1.∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.17分析：转化为证明直线a垂直于直线l和m确定的平面均可．证明：如图所示，设斜足为M，在直线l上取异于点M的一点P，过P作PA⊥α于点A,连接MA,则直线MA就是直线m.∵PA⊥α，aα。∴PA⊥a。又∵a⊥m,m平面PMA，PA平面PMA，m∩PA＝A，∴a⊥平面PMA。又∵l平面PMA，∴a⊥l。18分析：本题主要考查组合体的三视图，体积以及线面位置关系等基础知识．考查空间想象能力．解：（1)左视图同主视图，如下图所示．(2）该安全标识墩的体积为V＝VP—EFGH＋VABCD—EFGH＝eq\f(1，3)×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3）．(3)证明：如图，连结EG，HF及BD,EG与HF相交于点O，连结PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF。又EG⊥HF,∴HF⊥平面PEG.又BD∥HF，∴BD⊥平面PEG.19分析：顶点到已知截面的距离h1与原棱锥高h的关系,可由已知截面面积与底面积的量的关系得到，从而各截面对应的高与原棱锥的高的关系可以求出，再运用一般棱锥截面性质可以求得各截面面积．证明：设棱锥的高为h，其顶点到已知截面的距离VO1＝h1，O1O的三等分点为O2、O3，由已知得eq\f(h\o\al（2，1）,h2）＝eq\f（4,64），∴eq\f(h1,h)＝eq\f(1,4），∴h1＝eq\f（1，4)h，∴O1O＝VO－VO1＝h－eq\f（1,4)h＝eq\f(3，4)h，而O1O2＝O2O3＝O3O，则O1O2＝O2O3＝O3O＝eq\f(1，3)·eq\f(3，4)h＝eq\f(1，4）h。∴VO2＝eq\f(1，4)h＋eq\f（1，4