甘肃省兰州2024-2025学年高三9月诊断考试试卷+数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.题号答案ABCBDAB三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．)5,5,四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)b2+c2−a2=24,SΔABC=12.(1)求tanA;(2)若D在边BC上且BD=2DC,AC=25,求AD的长.解析：(1)因为b2+c2−a2=24,SΔABC=12,所以b2+c2−a2=2SΔABC=bcSinA.所以SinA,得2cOSA=SinA即tanA=2.因为tanA=2,所以OS2A=1,解得SinA=±因为tanA=2>0,且A为三角形的内角,所以SinA=,cOSA=又因为SΔABC=bcSinA==12,所以c=6.因为BD2DC,∴AD=3AB+2=(A2+(A16.（本题15分）已知函数fx是定义在R上的奇函数,且当x>0时,fx=−x2+2x.(1)求函数fx的解析式;(2)若函数gx=fx+m在R上有三个零点,求m的取值范围.解析：(1)令x<0,则−x>0,又fx是定义在R上的奇函数,所以可得fx=−f−x=−[−−x2+2−x]=x2+2x，−x2+2xx⩾0x2+2x,x<0.又f0=0,故函数f−x2+2xx⩾0x2+2x,x<0.(2)根据题意作出fx的图象如下图所示:f−1=−1,f1=1,若函数gx=fx+m在R上有三个零点,即方程fx+m=0有三个不等所以函数fx与y=−m有三个不同的交点,由图可知当−1<−m<1,即−1<m<1时,函数fx与y=−m有三个不同的交点,即函数gx有三个零点.故m的取值范围是(−1,1).17.（本题15分）已知在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AD//BC,AD⊥DC,若PA=AD=2,DC=22,点M为PD的中点,点N为PC的四等分点(靠近点P).(1)求证:平面AMN⊥平面PCD;(2)求点P到平面AMN的距离.解析：(1)在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,则PA⊥CD,又AD⊥CD,因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,因为AM⊂平面PAD,所以AM⊥CD,因为AP=AD,点M为PD中点,所以AM⊥PD,因为CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,所以AM⊥平面PCD,因为AM⊂平面AMN,所以平面AMN⊥平面PCD(2)由(1)知CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,则CD⊥PD,因为PA⊥AD,PA=AD=2,DC=22,点M为PD的中点,所以PD=22,PM=2,PC=PD2+CD2=8+8=4,因为点N为PC的四等分点(靠近点P).所以PN=1,因为PD=CD,CD⊥PD,所以∠CPM=45∘MN=PN2+PM2−2PN∙PMcos45∘=18.（本题17分）甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛,赛程如下面的框图所示,其中编号为i的方框表示第i场比赛,方框中是进行该场比赛的两名棋手,第i场比赛的胜者称为“胜者i”,负者称为“负者i”,第6场为决赛,获胜的人是冠军,已知甲每场比赛获胜的概率均为,而乙,丙、丁相互之间胜负的可能性相同.(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率;(2)求甲获得冠军的概率;解析：(1)乙连负两场,即乙在第1场、第4场均负,1胜3胜6胜;1负4胜5胜6胜;19.（本题17分）已知抛物线E:y=x2,过点T(1,2)的直线与E交于A,B两点,设E在点A,B处的切线分别为l1和l2,l1与l2的交点为P.(1)若点A的坐标为(一1,1),求ΔOAB的面积(0为坐标原点);(2)证明:点P在定直线上.联立方程+3=0,整理得:2x2−x−3=0.设A(x1,x,Bx2,x),则x1+x2=,x1x2=−2.设直线AB与y轴的交点为D,则D0,32.(2)由y=x2,得y'=2x.l1的方程为:y=2x1(x−x1)+x,整理得:y=2x1x−x.同理可得l2的方程为:y=2x2x−x.设pxp,yp,,联立方程,解得.因为点T(1,2)在抛物线内部,可知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x−1