龙岩一中2025届高三上学期第一次月考数学试卷解析版

第1页/共17页龙岩一中2025届高三上学期第一次月考数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由并集的概念即可求解.【详解】由，得.故选：A.2.设，为实数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调可判大小，但要注意对数函数的定义域是正数.【详解】当成立时，由对数函数的单调性可得，即，再根据指数函数的单调性可得：，所以是的充分条件；当成立时，根据指数函数的单调性可得：，但由于，为实数，所以不能推出，所以是的不必要条件；故选：A.3.已知，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根据对数的运算及，，，即可得出，，，然后根据对数函数的单调性即可得出，，的大小关系．【详解】，，．故选：A．4.声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（）A.120dB B.100dB C.80dB D.60dB【答案】D【解析】【分析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出和，算出，可计算出.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，由题意可得，解得，因为，所以，所以，所以一般说话时声音的等级约为60dB.故选：D5.已知为正实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值【详解】因为，则，由于，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故选：C6.设函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数，当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递减，不等式，即，等价于，解得或，所以不等式的解集为.故选：C7.已知函数是R上的偶函数，且，当时，，函数f（x）在区间的零点个数为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根据的对称轴和对称中心，结合函数的图象即可判断的零点个数.【详解】因为函数是R上的偶函数，所以，所以关于直线对称，因为，x=2时，由，当时，，故，又关于直线对称，所以，由对称性可得在上的大致图象如下图所示，则在区间的零点个数为9.故选：C.8.已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由为奇函数，结合导数运算可得，由为奇函数，可得，整理可得，进而分析可得，即可得结果.【详解】因为为奇函数，则，即，两边求导得，则，可知关于直线对称，又因为为奇函数，则，即，可知关于点1,0对称，令x=1，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8为的周期，可知，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由题意可知，，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确.【详解】由题可知，，又，所以，D错误；因为，有．所以A正确；由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；又因为，，所以，故，B正确；由于，，所以，C正确.故选：ABC．10.设函数，则（）A.当时，有三个零点B.当时，无极值点C.，使在上是减函数D.图象对称中心的横坐标不变【答案】BD【解析】【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为R判断C；求出图象的对称中心判断D.【详解】对于A，当时，，求导得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；对于B，，当时，，即恒成立，函数在R上单调递增，无极值点，B正确；对于C，要使在R上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为R，C错误；对于D，由，得图象对称中心坐标为，D正确.故选：BD11.已知函数的定义域为，则（）A B.C.是偶函数 D.【答案】ABD【解析】【分析】A.令求解判断；B.分别令，求解判断；C.令利用函数奇偶性定义判断；D.令求解判断.【详解】令，得，A正确.令，得，所以.令，得，所以，B正确.令，得，所以是奇函数，C错误.令，得，所以D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则__________．【答案】##0.5【解析】【分析】令便可得到函数图象恒过点，将点代入幂函数中，解得的解析式，然后计算的值.【详解】函数中，令，解得，此时，所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得，所以，.故答案为：.13.若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______.【答案】【解析】【分析】对于根据导数的几何意义可得在处的切线是；对于：，结合导数的几何意义列式求解即可.【详解】对于：，可得，当，则，可知曲线在处的切线是；对于：，可得，令得，由切点在曲线上得.故答案为：.14.表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．【答案】2【解析】【分析】设，因，可得，借助于基本不等式可得，验证等号成立的条件，即得.【详解】设，则，，，因，则得．又因，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2．故答案为：2.【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件.四、解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数为偶函数，（1）求a的值及函数的值域；（2）若命题“”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先根据函数是偶函数求出参数，再结合基本不等式求出值域；（2）先应用不等式恒成立化简不等式，再设新参数结合（1）的范围求出自变量范围，再应用导数求出最值即可求参.【小问1详解】∵为偶函数，，，，即对恒成立，．（当且仅当时取等）故值域为．【小问2详解】若命题“”为假命题，则命题“”为真命题，，令，当且仅当时等号成立；则．对恒成立，即对恒成立．，故原式子又等价于对恒成立．令，则，则在上单调递增．故，．故m的取值范围为．16.某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x台，需另投入生产成本万元.当年产量不足25台时，；当年产量不小于25台时，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.（1）求k的值；（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）（3）20台，200万元【解析】【分析】（1）将代入即可求解，（2）根据销售额减去成本，即可得利润，（3）利用二次函数的性质以及基本不等式可分别求得相应范围上的最大值，进而比较求解.【小问1详解】当，代入，得；【小问2详解】由题意可得：当时，，当时，所以年利润（万元）关于年产量x（台）的函数关系式为：；【小问3详解】由（1）得时，，此时（台）时，（万元）当时，，当且仅当，即时等号成立，（万元）而，故（台）时，利润最大，最大利润是200万元，综上所述：年产量为20台时，该企业所获利润最大，最大利润是200万元.17.已知函数．（1）当时，求的单调区间和极值；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为；极大值为，无极小值；（2）【解析】【分析】（1）将代入，利用导数的正负与原函数的增减关系，确定函数的单调区间，即可得答案；（2）由题意可得即恒成立，设，利用导数求出的最大值即可．【小问1详解】当时，，，令，则，故在上单调递减，而，因此0是在上的唯一零点，即0是在上的唯一零点，当变化时，，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减所以的单调递增区间为，递减区间为；所以的极大值为，无极小值；【小问2详解】由题意知，即，即，设，则，令，解得，当，，单调递增，当，，单调递减，所以，所以．所以的取值范围为．18.已知函数（）.（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在(0,+∞)上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解；（2）由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解.【详解】（1）的定义域为(0,+∞)，∵在(0,+∞)上单调递增，∴在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，又，当且仅当时等号成立，∴；（2）由题意，∵有两个极值点，∴为方程的两个不相等的实数根，由韦达定理得，，∵，∴，又，解得，∴，设（），则，∴在上为减函数，又，，∴，即的取值范围为.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.19.设集合或，中元素，，定义：．若为的元子集，对，都存在，使得，则称为的元最优子集．（1）若，且，试写出两个不同的；（2）当时，集合，证明：为的2元最优子集；（3）当时，是否存在2元最优子集，若存在，求出一个最优子集，若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据给定定义直接写出即可.（2）任取，确定存在的，使得，代入计算证得.（3）先考虑的情况，证明不存在最优子集即可推理