《一元二次方程解法》教案

《一元二次方程的解法》教课设计

教课内容

给出配方法的看法，而后运用配方法解一元二次方程．

理解一元二次方程求根公式的推导过程，认识公式法的看法．

3.因式分解的研究及其方法．

教课目标

认识配方法的看法，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

2.经过复习上一节课的解题方法，给出配方法的看法，而后运用配方法解决一些详尽题

目．

会熟练应用公式法解一元二次方程．

4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．

重难点要点

要点：

1.讲清配方法的解题步骤．

2.求根公式的推导和公式法的应用．

应用因式分解法解一元二次方程．难点与要点：

1.把常数项移到方程右侧后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．

一元二次方程求根公式法的推导．

3.将方程化为一般形式后，对方程左边二次三项式的因式分解．

教课过程

一、复习引入

(学生活动)解以下方程：

(1)x2-8x+7=0(2)x2+4x+1=0

老师评论：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完整平方形式，右侧是非负

数，不可以直接开方降次解方程的转变问题，那么这两道题也可以用上边的方法进行解题．

解：(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0

(x-4)2=9

x-4=±3即x1=7，x2=1

(2)x2+4x=-1

x2+4x+22=-1+22

(x+2)2=3即x+2=±3x=3-2，x=-3-212二、研究新知

像上边的解题方法，经过配成完整平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转变成两个一元一次方程来解．

例：解以下方程：

(1)x2＝2(2)4x2－1＝0

解析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x2＝a的

形式，再用直接开平方法解之.

例：解以下方程：

(1)x2+6x+5=0(2)2x2+6x-2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

解析：我们已经介绍了配方法，所以，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一

个含有x的完整平方．

解：(1)移项，得：x2+6x=-5

配方：x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4

由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5

(2)移项，得：2x2+6x=-2

二次项系数化为1，得：x2+3x=-1

23)232325配方x+3x+(=-1+()(x+2)=224由此可得x+3=±5，即x5-3，x5-3221=222=-22(3)去括号，整理得：x2+4x-1=0移项，得x2+4x=1x225配方，得(+)=x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2三、应用拓展

用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6

解析：由于假如睁开(6x72，那么方程就变得很复杂，假如把6x7)看为一个数y+)(+，那么(6x+7)2=y2，其他的3x+4=1(6x+7)+1，x+1=1(6x+7)-1，所以，方程就转变成y的方程，2266像这样的转变，我们把它称为换元法．

解：设6x+7=y

则3x+4=1y+1，x+1=1y-12266

依题意，得：y2(1y+1)(1y-1)=62266

去分母，得：y2(y+1)(y-1)=72

y2(y2-1)=72，y4-y2=72

(y2-1)2=289

4

y2-1=±172

y2=9或y2=-8(舍)

y3∴=±y36x736x4x=-2当=时，+==-3当y=-3时，6x+7=-36x=-10x=-53所以，原方程的根为x1=-2，x2=-533

用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+b=0(a≠0)

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

1．当b2-4ab>0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个不等实数根；

2．当b2-4ab=0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个相等实数根；

3．当b2-4ab<0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)没有实数根．

一般的，式子b2-4ab叫方程ax+bx+b=0(a≠0)根的鉴识式.用字母△表示.即△=b2-4ab.

一元二次方程的鉴识式与根的状况有何关系？(1)当方程有两个不相等的实数根时，b2-4ab>0(2)当方程有两个相等的实数根时，b2-4ab0=(3)当方程没有实数根时，b2-4ab<0你能用公式法解方程2x2-9x=-8吗？解：2x29x801-+=.变形：化已知方程为一般形式；∵a2b9b82ab写出各项系数；=，=-，=.确立系数：用，△=b2-4ab=(-9)2-4×2×8=27>03b2-4ab4计算：的值；．代入：把有关数值代入公式计算；.xbb24ac2a91722917.4917917x14;x2.45．定根：写出原方程的根.

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

1、把方程化成一般形式，并写出a、b的值；

2、求出△=b2-4ab的值；

3、代入求根公式；

4、写出方程的解；

定义：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别

等于0，从而实现降次，这类解法叫做因式分解法．

例：解以下方程

(1)x(x2)x20(2)5x22x1x22x344解：(1)把方程x(x2)x20因式分解得(x2)(x1)0→x20或x10∴x12,x21(2)5x22x1x22x344移项，合并同类项，得4x210→4x2120因式分解，得(2x1)(2x1)0于是得2x10或2x10∴x11,x2122归纳：配方法要先配方，再降次；经过配方法可以退出求根公式，公式法直接利用求根

公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因