【课件】北师大版八年级下册113等腰三角形的判定与反证法课件（23张）

第一章三角形的证明1.1.3等腰三角形的判定与反证法

问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？等腰三角形的两底角相等(简写成‘‘等边对等角”)．

等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成

‘‘三线合一”)问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？

题设：一个三角形是等腰三角形

结论：相等的两边所对应的角相等思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明.知识点1等腰三角形的判定ABC如图，位于海上B,C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？已知：如图，在△ABC中,∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?CAB做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？AB=AC你能验证你的结论吗？在△ABD与△ACD中，∠1=∠2，∴△ABD

≌△ACD（AAS）.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).

等腰三角形的判定定理：在△ABC中，∵∠B=∠C,

应用格式：

∴AB=AC(等角对等边).

ACB【归纳小结】ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角对等边）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中.

如图,下列推理正确吗?

【跟踪训练】例1已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.ABCDE证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,∴AE=DE(等角对等边）,∴△AED是等腰三角形.【例题解析】例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.证明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.∴△ADE为等腰三角形.想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.ABC知识点2

反证法CAB

如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时,AB与AC要么相等,要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C,但已知条件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.小明是这样想的:你能理解他的推理过程吗?

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．【归纳小结】用反证法证题的一般步骤1.假设:先假设命题的结论不成立;2.

归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与

定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果;3.

结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.例3用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．【例题解析】证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．等腰三角形的判定等角对等边有两个角相等的三角形是等腰三角形反证法先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.1.（通化·中考）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°【解析】因为“必有一个内角小于或等于60°”的反面是“没有一个内角小于或等于60°”，即“每一个内角都大于60°”.CE21ABCD36°③如果AD=4cm，则2.已知:如图,∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,①∠1=

,∠2=

；②图中有

个等腰三角形；BC=

cm；72°36°34

个等腰三角形.④如果过点D作DE∥BC,交AB于点E,则图中有53.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.

求证：△OBC为等腰三角形.ABCDEO证明:∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=.∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，4.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.l1l2l3P经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行假设不成立l3与l2不相交l3∥l2l1∥l2假设____________,那么_________.这与“_____