2024年上海市中考数学一轮复习：正多边形与圆的有关的证明和计算综合过关检测（解析版）

专题16正多边形与圆的有关的证明和计算综合过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1.一个正多边形的中心角为30。，这个正多边形的边数是（）

A.5B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据正多边形的中心角和为360。和正多边形的中心角相等，列式计

算即可.

【详解】解：正多边形的中心角和为360。，正多边形的中心角是30。，

这个正多边形的边数3=60第°=12.

故选：D.

2.如图，半径为2的。是正六边形ABCDEF的外接圆，则下列说法错误的是（）

A.点。是正六边形ABCDEF的中心B.正六边形ABCDEF的边长是2

C.正六边形ABCDEF的中心角是60°D.正六边形ABCDEF的边心距0M=2出

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的性质，。是正六边形ABCDEF的外接圆可判断选项A,

连接OC,OD,证明OCD是等边三角形可判断B,C；由勾股定理求出可判断D

【详解】解：：。是正六边形ABCDEF的外接圆，

点0是正六边形ABCDEF的中心，故选项A正确，不符合题意；

连接。C,O£>,如图，

ZCOD=-x360°=60°,

6

;OC=OD,

・•・，OCD是等边三角形，

・・.OC=OD=CD=2,

・••正六边形ABCDEF的边长是2,故选项B正确，不符合题意；

・••正六边形ABCDEF的中心角是60。，故选项C正确，不符合题意;

•：OM1CD,

：.CM=DM=-CD=l,

2

,,OM=yIOD2—DM2=-\/22—I2='^3'

；・选项D错误，符合题意；

故选：D.

3.齐齐哈尔市龙沙公园内有一楼亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委员长来齐齐哈尔市视察,

登楼远眺，神清气爽，嫩江水碧波荡漾，齐齐哈尔风光尽收眼底，朱老总即兴挥毫题写了“望江楼”三个大字，

后将其制成黑底金字的长匾悬挂于飞檐之下，得名“望江楼”.我国古代许多楼亭的地基都是正六边形（如图）,

若有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（）

的

22

A.473mB.12Gm2C.24mD.24百m?

【答案】D

【分析】本题主要考查等多边形的性质，等边三角形的判定性质，解题的关键是掌握正多边形中心角相等；

过点。作OCLAB于点C,通过证明OAB为等边三角形，得出OA=AB=4m,AC=^AB=2m,根据勾

股定理可得：OC=VtM2-AC2=2V3m＞则5卸=；AROC=4用(m),即可得出地基的面积=6S,B.

【详解】解：过点。作OCLAB于点C,

ACB

A"

•・,该六边形为正六边形，

360°

/.OA=OB,ZAOB=——=60。，

6

・・・，。钻为等边三角形，

OA=AB=4m,

OCA.AB,

：.AC=-AB=2m,

2

根据勾股定理可得：OC=JoT-3=2gm，

S0As=卜2℃=4石(m)

/.地基的面积=65®=246m2,

故选：D.

4.如图，A、B、C、。为一个正多边形的顶点,。为正多边形的中心，若NAZM=18。，则这个正多边形

的边数为()

A

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接。4,。8,根据圆周角定理得到NAQB=2Z4D3=36。,

即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键.

【详解】解：连接Q4,0B,

,:A、B、C、。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心，

...点A、B、C、O在以点。为圆心，为半径的同一个圆上，

*.•ZADB=18°,

：.ZAOB=2ZADB=36°,

这个正多边形的边数3=60苛°=10,

故选：D.

5.如图，AC是O内接正六边形的一边，点8在弧AC上，且BC是。内接正八边形的一边.此时48是

。内接正”边形的一边，则〃的值是（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】D

【分析】本题考查正多边形和圆的计算.根据中心角的度数=360。+边数，列式计算分别求出NAOC,ZBOC

的度数，则ZAOB=15。，则边数〃=360。+中心角，据此求解即可.

【详解】解：连接。8,

:AC是-O内接正六边形的一边,

/4。。=360。+6=60。

BC是-O内接正八边形的一边，

ZBOC=360°-8=45°

ZAOB=ZAOC-ZBOC=60°-45°=15°

“=360°+15°=24

故选：D.

6.如图是半径为4的。的内接正六边形ABCDEF,则圆心。到边A3的距离是（）

【答案】B

【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理，过点。作加，回于点根据正六边形的性质得出

360011

ZAOB=——=60。,04=08=4,则ZAOM=—4403=30。，进而得出AM=—。4=2,最后根据勾股定理

622

即可求解.

【详解】解：过点。作于点M,

六边形ABCDEF为正六边形，

360°

ZAOB=——=60。,04=03=4,

6

OMVAB,

：.ZAOM=-ZAOB=30°,

2

：.AM=-OA=2,

2

根据勾股定理可得：OM=<0尺—AM?=2网，

故选：B.

7.如图，正八边形ABCDEFG”的边长为2,则该正八边形的面积为（）.

AH

A.8（1+V2）B.4（2+V2）C.40+2后）D.4（1+72）

【答案】A

【分析】本题主要考查了正八边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正

八边形的性质.连接AC、CE、EG、AG,延长A8,过点C作1四于点根据正八边形的性质，

360°

得出四边形ACEG为正方形，求出NC3M=^=45。，证明CBM为等腰直角三角形，求出

O

CM=BM=—BC=—x2=yfl,得出SBC=：X2XV^=后，求出AM=A8+BM=2+8，得出

222

S正方形4CEG=8+40，最后求出结果即可•

【详解】解：连接AC、CE、EG、AG,延长AB,过点C作_L四于点M,如图所示：

,/八边形ABCDEFGH为正八边形,

360°

・・・四边形ACEG为正方形，ZCBM=^=45°,

8

■:CM1AB,

：.ZCMB=90°,

C8M为等腰直角三角形,

CM=BM=—BC=—x2=V2,

22

S/^ABC=万*2xV2=>/2,AAf=AB+BM=2+>/2,

222

•••^mc£G=AC=AM+CM

=6+4夜+2

=8+472,

.••正八边形的面积为:

故选：A.

8.如图摆放的两个正六边形的顶点A,B,C,。在同一个圆上.若AB=4,则该圆的半径为（）

【答案】C

【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得NGEF=60。，NPG£=30。再根据勾股

定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键.

【详解】解：如图，设圆的圆心为点。，即点。为正六边形边的中点，连接3G,过E作砂，3G于点/，

GO=2,

•••正六边形的每个内角都为120。,

NGEF=60°,ZFGE=30°,

在RtAEFG中，EG=4,

：.EF=2,

FG=ylEG2-EF2=>/42-22=2指，

/.BGS,

.*•OB=YJBG2+GO2=2713,

该圆的半径为,

故选：C.

9.如图，正三角形和正方形分别内接于等圆a和a,若正三角形的周长为加，正方形的周长为小则

m与n的关系为)

C.m>nD.不能确定

【答案】A

【分析】本题考查正多边形和圆，设圆的半径为广，分别求出正三角形，正方形的边长，进而求出相，”的值,

即可得出结果.

【详解】解：设等圆。1和。2的半径为,，如图，

。1和

3600360°

4。[8=^-=120°,0|4=0]8=02。=0#=r,/00*=^—=90°,

/.ZOtAB=30°,AB=2AC,£)E=0r,

/.O,C=-r,AB=2AC=2币I=底,

22

m=3-6r=3A/3F,n=4-A/2F=45/2r,

卜国=27＜卜@一=32,

/.3岛＜4岳,

：.m＜n.

故选A.

10.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方

法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.如图，

。。的半径是2,运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计。。的面积，可得z的估计值是（）

A.3.1C.1+6D.2a

【答案】B

【分析】过A作于求得的度数，根据直角三角形的性质得到AM,求出三角形的面

积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论.

本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键.

【详解】如图，是正十二边形的一条边，点。是正十二边形的中心，过A作于

在正十二边形中,

ZA05=360°+12=30°,

,AM=—OA=—

22

/.正十二边形的面积为12x：=3,

3=仔x»,

.,.万=3,

，万的近似值为3,

故选：B.

二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）

11.如图，在正六边形。LBCDE中，以点。为原点建立平面直角坐标系，边。4落在x轴上.若点A的坐标

为（4,0）,则点8的坐标为.

【答案】（6,2月

【分析】本题考查正多边形，图形和坐标，勾股定理，先根据正六边形得到AB=Q4=4,ZBAF=6O°,然

后再RtAB厂中利用勾勾股定理计算是解题的关键.

【详解】解：过点8作正，x轴于点厂，

•••正六边形。钻CDE,点A的坐标为（4,0）

360°

AAB=OA=4,ZBAF=——=60。，

6

：.ZABF=30°,

：.AF=-AB=-x4=2,

22

•>-BF=^AB2-AF2=742-22=273»OF=OA+AF=4+2=6,

；•点8的坐标为（6,2后），

故答案为：（6,26）.

12.如图，..ABC内接于O,NC=36。，弦A8是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是

A

【分析】如图所示，连接04OB,由圆周角定理得到NAO3=72。，则该多边形的中心角为72。，由此即可

得到答案.

【详解】解：如图所示，连接OAOB,

ZAOB=2ZACB=^T,

.360。

••一J,

72°

,该正多边形是正五边形，

故答案为：5.

【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大.

13.如图，正五边形MCDE内接于O,尸£＞与相切于点。，连接。E并延长，交PD于点P,则立尸的

度数是.

A

P

【答案】18。

【分析】本题考查了圆内接正多边形，切线的性质，直角三角形的特征；连接。。，由圆的内接正多边形的

性质得/DOE=gx360。=72。，由切线的性质得ODLPD,由/P=90。-/OOE即可求解；掌握相关的性

质，作辅助线连半径是解题的关键.

【详解】解：如图，连接O。，

正五边形ABCDE内接于£O,

Z£>OE=1x360°=72°,

尸。与，。相切于点，

ODLPD,

NOD尸=90°,

：.ZP^900-ZDOE

=18°；

故答案：18°.

14.已知。的内接正六边形的边为6.则该圆的边心距为.

【答案】3G

【分析】本题考查了圆内接多边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，画出图形，

证得_。由是等边三角形是解题的关键.

如图，证明OAB是等边三角形，可得C®=AB=6,作于根据垂径定理可得3M=3,然后利

用勾股定理计算出即可.

【详解】解：。的内接正六边形ABCDE尸如图，连接Q4,0B,

：.AB=6,ZAOB=360°4-6=60°,OA=OB,

是等边三角形，

OB=AB=6,

作于贝1]8加=,48=3,

2

OM=yJOB2-BM2=>/62-32=36，

即该圆的边心距为3相，

故答案为：3A/3-

15.图1是微信朋友圈的LOGO图案，它是中心对称图形，图2是其示意图.其作图过程为：取正八边形

ABCDEFGH中心点O,延长OC,AB交于点M,O"为半径作。，再延长正八边形其余七边得到。的

八等分点.若AB=1,贝

图1图2

【答案】V2+1/1+V2

【分析】连接AC,过C作CT_LAM于T,根据在正八边形性质，结合等腰三角形的性质和三角形的

外角性质证得NM=NC4B,则CM=G4,进而MT=AT,证明RtZXCTB等腰直角三角形，求得BT=①

2

即可求解.

【详解】解：连接03,AC,过C作。7，40于7,

M

\G\H7

3600360°

在正八边形ABCOEFGH中，ZBOC=——=45。，ZCBM=——=45。，

88

ZABC=180°-ZCBM=135°,

VAB=BC,OB=OC,

ZCAB=ZACB=1(180°-ZABC)=22.5°,NOCB=NO3C=；(180°-NBOC)=67.5°,

：.ZM=ZOCB-ZCBM=22.5°,贝=

C.CM^CA,

'：CTLAM,

：.MT=AT,

在Rt/SCTB中，AB=1,NCBT=45。,

Rt^CZB等腰直角三角形，则CT=BT,

由勾股定理得CT?+BT2=2BT2=AB2,

BT=—AB=—,则MT=AT=BT+A2=^+1,

222

/.BM^MT+BT^—+\+—^yj2+\,

22

故答案为：A/2+1.

【点睛】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定

理等知识，熟练掌握正多边形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键.

16.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆

的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.如

图，。的半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计O的面积，可得万的估计值为

(结果保留根号)

【答案】

22

【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算.过A作于求得NAQB的度数，

根据直角三角形的性质得到A",求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可

得到结论.

【详解】解：如图，A3是正六边形的一条边，点。是正六边形的中心，过A作AMLOB于M,

在正六边形中，

ZAOB=360°4-6=60°,贝4M=30。，

:.OM=^OB=^-,AM=^OA2-OM2=—,

222

:.SAOB=-OB-AM=-xlx^-=^-,

f2224

・・・正六边形的面积为6x走,

42

:.—y/3=l2x万,

2

/.7V=—5/3,

2

・”的近似值为I百，

故选：B.

17.如图，正六边形ABCD跖内接于。，点P在弦AC上，若（。的半径为2,则阴影部分的面积是

F

【答案】2石

【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定.连接ED,FC,AD,证明四边形ACD/

是矩形，推出阴影部分的面积为矩形ACDP的一半，据此求解即可.

【详解】解：如图所示，连接尸D,FC,AD,

依题意可知，AF//CD,AF=CD,

.,•四边形ACDF是平行四边形，

ZFED=ZAFE=120°,FE=ED,

ZEFD=30°,ZAFD=90°,

四边形ACDP是矩形，

/.阴影部分的面积为矩形ACDF的一半，

二FC与AD经过点0,

AZCOD=60°,ACAD=30°,ZACD=90°,

/.AD=4,CD=2,AC=2y/3,

阴影部分的面积为=1x2x26=2g,

2

故答案为：2百.

18.如图，已知在矩形ABCD内有一个等边二ABE,点E在8上，若石的内切圆半径为2,则矩形ABCD

的外接圆半径为.

【答案】V21

【分析】设点。为的内切圆的圆心，连接。尸、OB、0E,则OP=2,O尸人相，

根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质分别求得AB=gPE=6,

根据矩形的性质和圆周角定理求得AD=PE=6,9为矩形ABCD的外接圆的直径,利用勾股定理求得BD

即可.

【详解】解：如图，设点。为的内切圆的圆心，连接。P、OB、OE,

则OP=2,OP1AB,

—ABE为等边三角形，

.•.点E、。、P共线，即PEJ.AB,ZBEP=ZPBO=30°,

；.OB=2OP=4,AP=BP=—OB=273,

2

/.AB=4A/3,贝!]PE=6,

:四边形A5c。是矩形，PEA.AB,

：.AD=PE=6,ZR4D=90°,

连接BD,则2。为矩形A3CD的外接圆的直径，

在RtAABD中，BD=yjAD2+AB2=2721，

矩形A3CD的外接圆的半径为V21，

故答案为：V21

【点睛】本题考查三角形的内切圆性质、矩形的性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、

圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

19.如图，正六边形ABCDEF的边长为4cm,以一个顶点A为圆心，AE为半径作一个扇形，则图中阴影

扇形的面积为.

【答案】27r

【分析】过/作/于点由正多边形的性质得=/=/=但至吧-=120。，

6

AF=EF=AB=BC,进而利用三线合一及勾股定理得AM=，4片/=依—方=2。AE=2AM=

，再利用扇形的面积公式即可求解。

【详解】解：过/作于点M,如图所示：

:六边形ABCDE尸是正六边形，AB=2,

62x180

：.ZF=ZBAF=ZB=（-）=120°,AF=EF=AB=BC,

6

1QQ91Of）?

：.NFAE=NAEF=NBAC=NBCA=—:-------=30?,ME=AM

2

/.ZCAE=120。-30°-30°=60°,FM^-AF=2

2

•・AM=\JAF2—MF2=A/42—22=2^3'

・•・==

60x/rx（2港）

777TF2

=2^-cm2，

360360

故答案为2万.

【点睛】本题主要考查勾股定理、正多边形的性质、30度直角三角形的性质，扇形面积计算及正多边形的

性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键.

20.刘微是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利出圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算

圆周率.如图，多边形A44…4是，。的内接正“边形.已知。的半径为广，乙41。42的度数为a,点。

到勺距离为d,的面积为s.下面推断中,

360°

①当”变化时，a随”的变化而变化，a与“满足函数关系1=—.②无论〃，r为何值，总有=万户.③

n

若"为定值，当「变化时，S随r的变化而变化，S与r满足二次函数关系.其中正确的是.（填序

号）.

【答案】①③/③①

【分析】分别表示出a与〃、d与八S与r的关系式，进而判定得出结论.

360°

【详解】解：①当”变化时，a随"的变化而变化，a与〃满足函数关系1=—,①正确；

③如图,

«为定值,

,1

=3=r-sin—«

2

/.S=-A,A,-d=r-sin—a-r-cos—tz=sin—a•cos—a-r2,

2s22(22)

.•.S与r满足二次函数关系.③正确;

故答案为：①③.

【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，解直角三角形，正比例函数，反比例函数，二次函数的定义等

知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识.

三、解答题(本题共3题，共40分)

21(12分).如图，是。的直径，E,C是。上两点，且EC=3C，连接AE，AC.过点C作

交AE的延长线于点。.

(1)判定直线CO与；O的位置关系，并说明理由；

(2)连接BE和OC交于点/，若AB=4,ABAC=30°,

①求证：四边形是矩形；

②求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)直线CD与。相切，理由见解析

(2)①证明见解析；②28一女

23

【分析】本题考查圆的切线，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，扇形的面积，熟练掌握以上知识

是解题关键.

(1)先证明/SAC=NACO,即可得出A。OC,由AD_LC。可得OC_LCE>,从而得出0C是］。的半径；

(2)①证明/血>=/。=/9。=90。即可得证；

②图中阴影部分的面积=§横形0sLs扇形双，分别求出梯形的面积和扇形的面积即可解答.

【详解】(1)解：直线8与：。相切，

理由：连接0C,

D

EC=BC，

\?CAD?BAC,

OA=OC,

,\ZBAC=ZACO,

.\ZCAD=ZACO,

:.AD//OC,

ADVCD,

:.OC1CD,

oc是。的半径，

「.CD是O的切线；

(2)证明：EC=BC，

：.OC上CE,BF=EF,

AB是：。的直径，

.\ZAEB=90°,

/./FED=ND=ZEFC=90°,

四边形是矩形；

解：如图，连接班＞、OE,

ACOE=ZBOC=2Z5L4C=60°,

在Rt^O跖中，OE=-AB=2,

2

ZOEF=900-ZCOE=30°,

/.OF=-OE=1,

2

:.CF=OC-OE=l=DE,

.\EF=yjOE2-OF2=y/3=CD^

i3Q

..S梯形OCDE=^（OE+OC^CD=,

_60KX22_2TI

扇形-36o-y'

・•・图中阴影部分的面积=S梯…-Si=浮-?

22（14分）.如图，A3是＜。的直径，射线8（7交（。于点。，点E是劣弧AD的中点，连接BE,DE,OE,

过点E作EF上3c于点R延长EE交54的延长线交于点G.

(1)证明：G尸是；。的切线;

⑵若EF=26，BD=4,求：。的半径;

(3)在(2)的基础上，求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析

(2)。的半径为4；

⑶S阴影=84一丁.

【分析】(1)根据角平分线的定义和等边对等角证明Nl=N3,推出OE//BF，再由EF1,得到OE1GF,

即可证明G尸是：O的切线；

(2)过点。作处于证明四边形％™是矩形，得至ljEF=0M=26，可由垂径定理和勾股定

理求解即可；

(3)先解直角三角形得到，EOG=/OBM=60。，求出EG=4g,再根据§阴影=SMEG-S扇形人庭进行求解

即可.

【详解】(1)证明：如图,

:点E是劣弧AD的中点,

.-.Z1=Z2,

OB=OE,

.-.Z2=Z3

.•/=/3,

OE//BF,