高考总复习理数（人教版）第11章概率随机变量及其分布列第2节古典概型

第二节古典概型考点高考试题考查内容核心素养古典概型2013·新课标全国卷Ⅱ·T14·5分利用组合知识求基本事件的件数，利用古典概型概率公式求概率数学运算命题分析古典概型是高考常考知识，一般是运用计数原理或排列组合求出基本事件总数，然后利用古典概型的概率公式求概率，一般以选择题形式出现，有时候也出在解答题中，难度不大.(对应学生用书P145)1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2．古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.3．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).提醒：1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)基本事件的概率都是eq\f(1,n)，若某个事件A包括的结果有m个，则P(A)＝eq\f(m,n).()(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，那么事件A的概率为eq\f(cardA,cardI).()(5)当事件A、B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为偶数的基本事件个数为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选C任取三个数和为偶数共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6个，选C．3．(教材习题改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________.解析：设红球为A1，A2，A3，黄球为B1，B2，共有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2,10个，其中不同色的有6个，P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)4．(2018·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________.解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲乙，甲丙，乙丙三种可能，则甲被选中的概率为eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)(对应学生用书P145)基本事件及事件的构成[明技法]古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)，(2,1)相同．[提能力]【典例】有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具底面出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具底面出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“底面出现点数之和大于3”(3)事件“底面出现点数相等”．解：(1)利用枚举法，共有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)16种情况．(2)事件“底面出现点数之和大于3”的有(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共13种情况(3)事件“底面出现点数相等”的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)共4种情况．[刷好题]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求写出所有基本事件；(2)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率．解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．(2)设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9).简单的古典概型问题[明技法]求古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．[提能力]【典例】(1)(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,20)解析：选C从1,2,3,4,5中任取3个数有10个基本事件，构成勾股数的只有3,4,5一组，故概率为eq\f(1,10).(2)(2017·山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A．eq\f(5,18) B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9) D．eq\f(7,9)解析：选C方法一∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝eq\f(5,9)×eq\f(4,8)＝eq\f(5,18)，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,8)＝eq\f(5,18).∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝eq\f(5,18)＋eq\f(5,18)＝eq\f(5,9).故选C．方法二依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝eq\f(5×4,C\o\al(2,9))＝eq\f(5,9).故选C．[刷好题]1．掷两枚均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A．eq\f(1,18) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)解析：选B掷两枚骰子的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，其中点数之和为5的基本事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，所以所求概率为eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).2．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)较复杂的古典概型问题[明技法]求解复杂古典概型的答题模板[提能力]【典例】有7名歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7名歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4种，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).[刷好题](2015·山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机