2024-2025学年北师大版九年级数学上册专项复习：平行四边形中的最值问题（压轴题）解析版

平行如边形中的最值问题

♦思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每

一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并

非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

♦典例分析

【典例1】如图，菱形4BCD中，AB=4,乙4BC=60。，点P为4）边上任意一点（不包括端点），连结

AC,过点尸作PQII4C边CD点0,点R线段4C上的一点.

（1）若点火为菱形4BCD对角线的交点，PQ为△4CD的中位线，求PR+QR的值；

（2）当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值；

（3）当PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点尸，。的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的最

小值.

【思路点拨】

（1）由菱形的性质可得△ABC,△ACD均为等边三角形，点R为力C的中点，连接PR,QR,利用三角形中

位线定理即可求解;

(2)由题可知△ABC,AXCD,△「£»(?为等边三角形，由菱形性质可知，AB与4D关于4C对称，在4B上,

取点P的对应点P)连接PR,则PR=PR,AP=AP',连接PQ,交AC于点。，过点。作垂直于48的直线交AB

于Po,交CD于Qo,可得△AOP，三△COQ(AAS),可得。A=0C=a4C=2,则点。为力C中点，利用含30°的

直角三角形可得。Po=g，OQ0=V3,由三角形三边关系及垂线段最短可知PR+QR=P'R+QRWP'QW

PoQo=2V3,当P',R,Q三点在同一直线上，且P，与Po重合时取等号，即当点R为4c中点，点P关于4C对

称的点P'与点R坐在直线垂直于力B时，PR+QR有最小值28；

(3)同(2),与4。关于4C对称，在48上，取点P的对应点P,连接P7?,则P7?=PR,连接PQ,交4C

于点0,由(2)可得点。为4C中点，作4。关于CD对称的线段4D,取点P的对应点P",连接QP”,则

QP=QP",由对称可知：/.P"QD=^PQD=60°,则PR+QR+PQ=PR+QR+QP"2PP",当P，，R,Q,

P”在同一条直线上时取等号，此时点R为4C中点，可知aCRQ,为等边三角形，进而即可求解.

【解题过程】

(1)解：•.•四边形48CD是菱形，/.ABC=60°,AB=4,

：./.ABC=ZD=60°,AB=BC=CD=AD=4,则△ABC,△2CD均为等边三角形,

­.AD=AC=CD=4,

・・•点R为菱形4BCD对角线的交点，

.•.点R为AC的中点，

连接PR,QR,

・•・PQ为△4CD的中位线，

.■.PR,QR也为△2CD的中位线，

则PR=|C£)=2,QR=^AD=2,

.-.PR+QR=4；

(2)由(1)可知△4BC,△2CD均为等边三角形,

贝此BAC=AACD=ACAD=ZD=60°,AB=BC=CD=AD=AC=4

■■PQIIAC,

:/DPQ=ZCXD=60°,则△PDQ为等边三角形，

：.PD=QD,贝必P=CQ,

由菱形性质可知，AB与4D关于4c对称，在AB上，取点P的对应点P,连接PR,则PR=PR,AP=AP',

连接PQ,交AC于点0,过点。作垂直于力B的直线交4B于Po，交CD于Qo，

APD

■：AP=CQ,则AP=AP'=CQ,

又•.zaop,=Z_COQ,

△AOP三△COQ（AAS）,

：.OA=OC=\AC=2,则点。为ac中点，

•.ZBAC=Z-ACD=60°,Z-AP0O=/.CQ0O=90°,

：.Z.AOPQ=Z,COQQ=30°,

：.APo=^OA=1,CQ0=l0C=l,由勾股定理可得：0Po=g,OQ0=V3,

-'-PoQo=2V3,

■:P'R=PR,

.-.PR+QR=P'R+QR<P,Q<P0Q0=243,当P',R,Q三点在同一直线上，且P与P0重合时取等号，即:

R与点。重合（点R为4C中点），P'与Po重合时取等号，

综上，当点R为4C中点，点P关于4c对称的点P与点R坐在直线垂直于力B时，PR+QR有最小值2班；

（3）同（2）,4B与2D关于力C对称，在2B上，取点P的对应点P,连接PR,则PR=PR,连接PQ,交力C

于点。，由（2）可得点。为力C中点，

作力。关于CD对称的线段4。，取点P的对应点P",连接QP”,则QP=QP",

P'/0

BC'、4

•••△PDQ为等边三角形，

;/PQD=60°,由对称可知：乙P"QD=乙PQD=60°,

贝|JPR+QR+PQ=P7?+QR+QP"2PP”,当P,R,Q,P”在同一条直线上时取等号,

此时点R为4C中点，

■：Z.P"QD=乙PQD=60°=AADC,贝!jQP"IIAD

・•.PP”过点。（点R）,且P，P"II40,

可知△CRQ,△ARP为等边三角形，CQ=RC=QR=2,QD=PD=PQ=2,AP=AR=PR=2,即P,

R,Q,分别为4D,AC,CD的中点，

止匕时PR+QR+PQ=6,

作图，如下：

作法：取4。的中点为P,作PQII4C交CD于Q；

综上，PR+QR+PQ的最小值为6.

♦学霸必刷

1.（23-24八年级下•江苏泰州•期中）如图，在矩形48CD中，4B=4,BC=10,点£为CD中点，尸、。

为BC边上两个动点，且PQ=2,则四边形力PQE周长的最小值为（）

A.10+2V26B.10+2V13C.12+2V26D.2V26

【思路点拨】

本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，正确做出辅助线确定出P和。点的位置是解答本题

的关键.要使四边形力PQE的周长最小，由于力E与PQ都是定值，只需4P+EQ的值最小即可.为此，先在BC

边上确定点尸、Q的位置，可在4。上截取线段4F=PQ=2,作凡点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一

点即为Q点，过4点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时力P+EQ=EG最小，即四边形4PQE的周

长最小.

【解题过程】

解：在4。上截取线段4F=PQ=2,作F点关于8c的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，过4点作FQ

的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点.则四边形4PQF是平行四边形,

：.PA=FQ=GQ,

•••E为CD边的中点，

.,.DE=EC=2,

：.AE=7AD2+DE2=V102+22=2V26

■：GH=DF=8,EH=EC+CH=2+4=6"=90°,

.■.EG=7GH2+EH2=V82+62=10,

.1四边形4PQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP

=2V26+EQ+2+AP

=2属+EQ+2+QG

=2V26+EG+2

=2V26+2+10

—12+2V26,

故选C.

2.（2024•河南安阳•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.点E在边力D上，且ED=6,

M,N分别是边AB、BC上的动点，P是线段CE上的动点，连接PM,PN,使PM=PN.当PM+PN的值最

小时，线段PC的长为（）

A.2B.2V2C.4D.4夜

【思路点拨】

本题主要考查了矩形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，先证明△CDE是

等腰直角三角形，作点N关于EC的对称点M,则N，在直线CD上，连接PM,则PN=PM,则当P、M、N三

点共线，且MV1CD时，PM+PM有最小值，即PM+PN有最小值，可证明四边形是矩形，得到MV

=AD=8,贝=PM==4,再证明△PCM是等腰直角三角形，即可得到PC==4五.

【解题过程】

解：•••四边形4BCD是矩形，

：.AB=CD=6,ND=90°,

:.DE=CD=6,

.•.△CDE是等腰直角三角形，

:/DCE=45°,

作点N关于EC的对称点则M在直线CD上，连接PM,如图：

：.PM+PN=PM+PN',

.•.当P、M、V三点共线，且MM1CD时，PM+PM有最小值，即PM+PN有最小值,

二四边形4MM。是矩形，

.-.MN'=AD=8,

；.PN'=PM=^MN'=4,

,:乙PNC=90°,乙PCN'=45°,

.•.△PCM是等腰直角三角形，

:.PC=y[2PN'=4VL

故选：D.

3.（23-24九年级上•贵州贵阳•期中）如图，在矩形4BCD中，AD=3,=4,£是CD边上一点，连接

AE,沿4E翻折△4DE,得至连接CF.当CF长度最小时，△CEF的面积是（）

A.7B.JC.|D.2

4D

【思路点拨】

连接2C,如图，根据折叠的性质得到AF=4。，DE=EF,当点2、F、C三点共线时，4F+CF最小，此时

CF的最小值^AF+CF-AF=AC-AD,根据勾股定理得到AC=7AD2+CD2=5,得到CF长度的最小值

=5-3=2,设DE=EF=x,贝。CE=4—x,根据勾股定理得到EF=|根据三角形的面积公式得到△CEF

1QQ

的面积是5x-x2=-.

【解题过程】

解：连接4C,如图，

二

•・•△4DE1沿/E翻折至△AFE,

：.^ADE=/\AFE,

^AF=ADfDE=EF,

vAF+CF>AC,

・•・当点4、F、C三点共线时,AF+CF最小，此时CF的最小值=AF+CF-AF=AC-AD,

•••四边形力BCD是矩形,

・•・"=90°,

-AD=3,CD=4,

•••AC—y/AD2+CD2=5,

•••CF长度的最小值=5—3=2,

设DE=EF=x,贝lJCE=4一%,

vZ-AFE—乙D=90°,

・•・乙CFE=90°,

•・•CE2=EF2+CF2,

・•・(4—%)2=%2+22,

解得，％=|，

3

・•・EF=-

1QQ

CEF的面积是:x|x2=I，

故选：C.

4.（23-24九年级下•安徽合肥・期中）如图，在长方形2BCD中，AB=1,BC=2,点尸在线段4D（包括

端点）上运动，以线段8P为边，向右侧作正ABPE,连接EC.下列结论正确的是（）

A.当点尸与点/重合时，CE最小B.当点尸与点。重合时，CE最小

C.当CE最小时，A、E、C三点共线D.当CE最小时，乙PEC=75°

【思路点拨】

以4B为边向右作等边△力BF,连接EF.利用全等三角形的性质证明NBFE=90。，推出点E在射线FE上运动,

且FELBF,设FE交于点。，再证明BF=4B=EF=4P=1,利用等腰三角形的性质，可得结论.

【解题过程】

解：如图，以为边向右作等边△4BF,连接EF.

•・•△BPE是等边三角形，

・•・乙ABF=Z.PBE=60°,BP=BE,BA=BF,

•••Z-ABP=乙FBE,

•••△ABPzAFBE(SAS),

••・乙BAP=乙BFE=90°,AP=BF,

.・•点E在射线FE上运动，且FE1BF,设FE交BC于点。，

贝lUFB。=900-AABF=30°,

当CE_LFE时，CE的长最小，此时CEIIBF,则NFB。=NOCE=30。,

；.尸。=迦,OE=《OC,

EF=FO+OE=^OB+=|fiC=1,

8F=48=EF=AP=1,即：点P为中点

:.乙FBE=乙FEB=4ABp=45°,

••"EC=45°+90°=135。，

•••乙PEC=乙BEC-乙BEP=135°-60°=75°.

综上，当点P为力。中点时，CE的长最小，此时NPEC=75°；

故选：D.

5.（2023・辽宁盘锦•模拟预测）如图，在矩形A8CD中，对角线AC、8D相交于点O,

AAOD=120°,AB=2,点E是BD上一动点，点尸是4E的中点，连接PB、PO,则PB+P。的最小值为

AD

A.V5B.3C.V7D.V13

【思路点拨】

取4B的中点尸，作直线PF,易得PF||BE,作点8关于直线PF的对称点X,连接交直线P尸于点G,连接

0H,得到「。+。”2。"，根据矩形的性质，轴对称的性质结合勾股定理求出。H的长即可.

【解题过程】

解：取48的中点尸，作直线PF,

r点尸是4E的中点，

.-.PF||BE,

作点8关于直线PF的对称点〃，连接交直线PF于点G,连接。H,

：.PB=PH/PGB=90°,

•••四边形ABC。是矩形，AB=2,

...BF=4F=1,02=0C=/c,OB=OD=池,AC=BD,

：.OA=OB,

-AAOD=120°,

：.Z-AOB=180°-Z,AOD=60°,

是等边三角形，

.-.OB=AB=2f乙BFG=A.ABO=60°,

"FBG=30°,

・・.FG==I，乙HBO=90°,

：.BH=2BG=V3,

■■.OH=7BH2+0B2=(V3)2+22=V7,

■■■PO+PH>OH,

■■.PO+PB>47,

■-PO+PB的最小值为V7,

故选：c.

6.（23-24八年级下•河南周口・期中）如图，在菱形4BCD中，E,尸分别是边2D,BC上的动点，P是对角

线2C上的动点，且PEIICD.若AB=4,<8=45。，贝l」PE+&PF的最小值是（）

【思路点拨】

本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质和平行线的性质可得48==4AEP=45°,过P作

PMlAD^M,贝|PE=«PM,PE+y/2PF=V2（PM+PF）,当P、M、F三点共线且与4。垂直时PE+迎PF

最小，最小值为菱形的高，求解即可.

【解题过程】

过P作于M,过4作2N1BC于M,

：.Z-B—乙D=45°,

-PEWCD,

；/D=AAEP=45°,

.-.EM=PM,PE=yjEM2+PM2=立PM,

..PE+V2PF=42PM+V2PF=V2（PM+PF）,

.•.当P、M、F三点共线且与AD垂直时PE+最小，最小值为菱形的高2N,

,"=45。，，

■.AN=BN,

■,■AB=4,AN2+BN2=AB2,

.-.2AN2=42

.-.AN=2V2,

即PE+&PF的最小值是2vL

故选：D.

7.（22-23八年级下•山东泰安•期末）如图，菱形4BCD的边长为4,且=60°,E是BC的中点，P为BD

上一点且aPCE的周长最小，则4PCE的周长的最小值为（）

A.2上+2B.V7+1C.2V3+2D.2夕+1

【思路点拨】

由菱形的性质可得点力与点C关于BD对称，连接AE交BD于点P,连接PC,则aPCE的周长

=PC+PE+CE=AE+CE,此时APCE的周长最小，过点E作EG14B交力B的延长线于G,由菱形的性质

和=60。可得NE8G=60。，从而可得BG=1,EG=遍,最后由勾股定理计算得出4E=2近，即可

得出答案.

【解题过程】

解：,•・四边形48CD是菱形，

•••点4与点C关于BD对称，

如图，连接4E交BD于点P,连接PC,

D

则PE+PC=PE+PA=AE,

••.APCE的周长=PC+PE+CE^AE+CE,此时△PCE的周长最小，

・•・E是BC的中点，菱形力BCD的边长为4,

BE=CE=2,

过点E作EG1ZB交48的延长线于G,

・・•四边形/BCD为菱形，边长为4,

­.AD||BC,AB=4,

・♦・乙EBG=4BAD=60°,

EG1AB,

・•・乙EGB=90°,

:•乙EBG+乙BEG=90°,

••・乙BEG=30°,

•••BG=^BE=1,EG=y/BE2—BG2=V22—l2=V3,

:.AG=AB+BG=4+1=5,

2

AE=VXG2+EG=J52+（遮）2=2V7,

PCE的周长的最小值=AE+CE=2y[7+2,

故选：A.

8.（23・24九年级上•安徽合肥•开学考试）如图，在菱形ABCO中，48=4,E是43边上一点，且

ZX=AEDF=60°,有下列结论：①△DEF是等边三角形；②乙ADE=4BEF；③△BEF周长的最小值

为4+2仃；④ZiBEF面积的最大值为8.其中正确结论有（）

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】

根据等边三角形与菱形的性质解答即可.

【详解】解：连接

・.•菱形中，=60°,

・•・△4DB与△CD8是等边三角形，

・•・乙DBE=ZC=60°,BD=DC,

-Z.EDF=60°,：.Z,BDE=2CDF,

(乙DBE=zf

在ABOE和△COF中，［BD=CD,

V^BDE=乙CDF

・•.△DBE=△OCF(ASA),

.-.DE=DF,乙BDE=4CDF,BE=CF,

.­.Z.EDF=(BDC=60°,

・•.△OEF是等边三角形，故①正确；

"DEF=60°,：./-AED+乙BEF=120°,

•.^AED+Z.ADE=180°-N/=120°,

：.Z-AED+乙BEF=Z.AED+Z-ADE,

^^.ADE=Z.BEF,故②正确；

△BEF的周长=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

•••等边三角形△DEF的边长最小时，△BEF的周长最小，

当DEI时，DE最小=28，

△周长的最小值为4+26，故③正确；

•.•菱形4BCD边长为4,/.BAD=60°；

△48。与△BCD为正三角形，

:.△BDFwAADE,

：.AE=BF,

'：AB=4,

：.BE+BF=4,

过F作交48延长线于点H,设BE=%,贝/尸=4一%,

；/BHC=90°,

•.•四边形ABC。是菱形，

=乙4=60°,

在RS8FH中，由勾股定理得：尸”=孚（4一支），

△BEF的面积=.F"=3•孚（4—%）=—等+后=一同（x—2）2+W,

当x=2时，

△BE尸的面积最大值为：—fx（2—2A+遍=遮，

故④正确；

综上正确的有①②③④共4个，

故选：D.

9.（2024•安徽合肥•一模）如图，正方形2BCD的边长为4,点E,尸分别在边DC,BC上，且4E平分NCAD,

DE=CF,连接DF,分别交4E,2C于点G,点M.P是线段力G上的一个动点，过点P作PN14C,垂足为N,

A.2V2—1B.2V2C.2V3D.2V3+1

【思路点拨】

本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、角平行线的定义，线段垂直平分线的判定与性质、

勾股定理，连接8。与4C交于点。，交4G于点连接HM,PD,证明△40E三△OtT(SAS),得到

乙4GM=90。，^AGM=AAGD,进而可证明△4GM三△AGD(ASA),得到GM=GD,推导出力E是线段DM

的垂直平分线，得到=由两点之间线段最短可得，当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，进而

由PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO,求出即可求解，确定出点P与点H重合时，PM+PN的值最

小是解题的关键.

【解题过程】

解：如图，连接BD与2C交于点。，交4G于点H,连接HM,PD,

AD

BFC

•・•四边形/BCD为正方形，

'.AD=DC=BC,Z-ADC=乙DCB=90°,

•••DE=CF,Z.ADE=乙DCF,AD=DC,

.•・△4DEwZ\DCF(SAS),

：.Z-DAE=乙CDF,

-Z.CDF+Z.ADG=90°,

：./LDAE+/-ADG=90°,

：.Z-AGD=90°,

・•.乙4GM=90°,

：.Z.AGM=Z-AGD,

•・・/E平分NC4。，

：.Z.MAG=Z.DAG,

'：AG—AG,

・•.△AGM=△4GD(ASA),

・•・GM=GD,

.ME是线段DM的垂直平分线，

.-.HM=HD,

当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，

此时PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO,

即PM4-PN的最小值是D。的长，

•••正方形4BCD的边长为4,

.-.BD=V42+42=4V2,

:.D0=|B£）=2A/2

.■.PM+PN的最小值为2vL

故选：B.

10.（22-23八年级下•江苏无锡•期末）如图，£为正方形ABC。中BC边上的一点，且48=12,BE=4,

M.N分别为边CD、4B上的动点，且始终保持MN1AE,则4M+NE的最小值为（）

A.8B.8V3C.8V5D.12

【思路点拨】

由勾股定理可求4E的长，由“ASA”可证△A8E三可得£）H=力5=4祗，通过证明四边形NEGM是

平行四边形，可得NE=MG,MN=EG=AE=4V10,由AM+NE=4M+MG,可得当点力,点点G

三点共线时，4M+NE的最小值为4G,由勾股定理即可求解.

【解题过程】

解：过点。作DHIIMN,交AB于点过点E作EGIIMN,过点M作MGIINE,直线EG、MG交于点G,连接

AG,如图,

•・•四边形/BCD是正方形，

：.AB||CD,CB=/.BAD=90°,

-AB=12,BE=4,

-AE=7AB2+BE2="44+16=4V10,

•・・DH||MN,AB\\CDf

・•・四边形OHNM是平行四边形,

・・.DH=MN,

-MNlAEfDH||MN,EG11MN,

：.DHLAE,/ElEG,

：./LBAE+AAHD=90°=乙AHD+乙ADH,^AEG=90°,

：.^LBAE=2LADH,

(^BAE=Z.ADH

在△/BE和中，｛AB=AD

l乙B=乙BAD

△ABE=△DAH(ASA),

:.DH—AE—4410,

.•.MN=DH=AE=4V10，

-EGWMN,MGWNE,

・•・四边形NEGM是平行四边形，

・・.NE=MG,MN=EG=AE=4V10,

,-.AM+NE=AM+MG>AG,

・•・当点4,点M,点G三点共线时，ZM+NE的最小值为ZG,

・・・/G=VEG2+AE2=8V5.

故选：c.

11.（23-24九年级上•江苏无锡・期末）正方形4BCD,BEFG如图放置，AB=6,AG,CE相交于点尸，0为

4。边上一点，且DQ:4Q=l:2,贝叶Q的最大值为（）

A.3V2+3B.3V2+V10C.7D.V53

【思路点拨】

如图，连接力C,取4C的中点。，连接0Q,延长4D至E,使DE=2,连接CE,0P,利用等腰直角三角形性

质可得4C=内。=6近，由DQ:4Q=1:2,可得DQ=2,AQ=4,利用勾股定理可得CE=271万，再由

三角形中位线定理可得。Q=V1U,再证得△力BG三△CBE（SAS）,进而得出。P是△4CE的中线，即

OP-3V2,由PQWOP+OQ=3鱼+06，即可求得答案.

【解题过程】

解：如图，连接AC,取力C的中点O,连接0Q,延长2D至E,使DE=2,连接CE,0P,

•.•四边形ABC。、BEFG是正方形，AB=6,

：.AD=CD=AB=BC=6,BG=BE,4ADC=4ABe=乙CBE=90°,

.'.AC=y/2AD=6V^,

'：DQ\AQ=1:2,

；.DQ=3。=2,AQ=，£)=4,

・・・QE=DQ+DE=2+2=4,

.・・/Q=QE,即0是TIE的中点，

又,••点O是/C的中点，

・・.0Q=1CF,

•:乙CDE=90°,

・・.CE='CD?+DE2=462+22=2V10,

••.OQ==V10,

(AB=BC

在△ABG和△CBE中，\/-ABC=/-CBE=^Q,

IBG=BE

：.AABG=ACBE(SAS),

：.Z-BAG=乙BCE,

MBCE+Z.CEB=90°,

：,/,BAG+乙CEB=90°,

：.^APC=乙BAG+乙CEB=90°,

••,点O是AC的中点,

.-.OP==3V2,

在△OPQ中，PQ<OP+OQ=3y/2+V10,

•・•PQ的最大值为3«+VTU,

故选：B.

12.(2023・江苏宿迁•一模)如图，已知四边形ZBCD中，AD\\BC,Z4=90°,AB=BC=4,AD=2,点

E,F分别是边4D,8c上的两个动点，且4E=CF,过点8作BG1EF于G,连接CG,贝UCG的最小值是

()

A.2V10-V2B.V10+V2C.V10D.V10-V2

【思路点拨】

过点C作CM1BC,交2D延长线于连接BM,交EF于O,则构造的四边形2BCM为正方形，由ASA可证

△MEO=ABFO,得出OM=OB,则。是正方形ZBCM的中心，由正方形的性质得出=4五，0B=2

V2,取。B中点N,连接NC、NG,过点N作NHJ.BC于H,由勾股定理求出CN=怖，由直角三角形的中

线性质得出NG=^08=VL由三角形三边关系得CGNCN—NG=可一VL则当C、G、N三点共线时,

CG最小，即可得出结果.

【解题过程】

解：过点。作CMLBC,交40延长线于连接BM,交EF于O,如图所示：

・"CM=90。,

-ADWBC,乙4=90°,

：.Z-ABC4-=180°,

­./.ABC=90°.

-Z.ABC=^A=乙BCM=90°,

・•・四边形48cM为矩形.

-AB=BC,

・・.四边形ZBCM为正方形，

.-.AM=BC.

-ADWBC,

：.Z.EMO=乙FBO,乙MEO=乙BFO,

-AE=CF,

.'.EM=BF,

又・.•乙EMO=^FBO,乙MEO=^BFO,

・•・AMEONABFO,

・・.OM=OB,

・•.O是正方形4BCM的中心.

••,AB=BC=4,

.-.BM=4V2,OB=2V2,

取。B中点N,连接NC、NG,过点N作NH18C于〃，

•:BN=10B=V2,

.-.NH=BH=1,

.-.CH=4—1=3,

在Rt中，由勾股定理得：CN=7cH2+NH2=V32+12=怖,

在RtaBG。中，N是。B的中点，

.-.NG=|05=V2.

■：CG>CN-NG=V10-V2,

当C、G、N三点共线时，CG最小为：V10-V2.

故答案为：V10-V2.

13.（22-23九年级下•江苏宿迁•期中）如图，在正方形2BCD中，E为BC边上一动点（点E,8不重合），AAEP

是等腰直角三角形，^AEP=90°,连接OP.若力B=1时，则△4DP周长的最小值为（）

A.3B.V5C.V5+1D.V7+1

【思路点拨】

如图所示，在48上取一点G使得BG=BE,连接EG,CP,由正方形的性质得到AB=BC=AD=CD=1,

ZB=^BCD=90°,证明△力GE三△ECP得至ljNECP=N4GE=135。，进而推出点尸在直线CP上运动；如

图所示，作点。关于直线CP的对称点R连接CF,AF,PF,则DP=FP,CF=CD=1,/DCP=NFCP=45。,

即NDCF=90。，即可证明8、C、尸三点共线，进一步推出当4、P、F三点共线时，△AOP的周长有最小值,

最小值为4尸+1，由勾股定理得4尸=而，则△力DP的周长最小值为代+L

【解题过程】

解：如图所示，在4B上取一点G使得BG=BE,连接EG,CP,

•・•四边形是正方形，

：.AB=BC=AD=CD=1,LB=乙BCD=90°,

,：Z-AEP=90°,

：,Z.BAE+/-BEA=90°=^BEA+(CEP,

：.Z-GAE=乙CEP,

-BG=BE,

"BGE=乙BEG=45°,

・・.4GE=90°,

-AB-BG=BC-BE,

.,.AG=EC,

又・.・ZE=EP,

△AGE=△ECP(SAS),

,"ECP=乙AGE=135°,

・•・(DCP=45°,

•••点尸在直线CP上运动，

如图所示，作点。关于直线CP的对称点尸，连接CF,AF,PF,

:.DP=FP,CF=CD=1,/.DCP=Z.FCP=45°,即/DCF=90。，

.-.^DCF+^BCD=180°,即B、C、尸三点共线,

△4DP的周长=AD+DP+AP=1+DP+AP=AP+PF+1,

・•・当人P、F三点共线时，△ADP的周长有最小值，最小值为AF+1,

在Rt△力BC中，由勾股定理得4F=7AB2+BF2=712+(1+1)2=V5,

△4DP的周长最小值为遥+1,

故选C.

14.（2024・四川成都一模）如图,在矩形2BCD中，BC=2AB,点M,N为直线AD上的两个动点，且

NMBN=30。,将线段BM关于BN翻折得线段BM',连接CM'.当线段CM'的长度最小时，NMM'C的度数为

【思路点拨】

将线段BA绕点2顺时针旋转60。后点/落在点E,连接BE,得到△ABM三△EBMQ再由当CM1E尸时，

CM有最小值，可得aEBG与aMCG均为30。、60。、90。直角三角形，再证明△2BM为等腰直角三角形，

△是等边三角形，进而得到=N4MB=60。，最后当CMUEF于〃时，CM，有最小值，由此可

以求出乙MMC=AEM'C-乙EM'M=90°-15°=75°.

【解题过程】

解：将线段B力绕点3顺时针旋转60。后点/落在点E,连接BE,设EM交BC于G点，如下图所示：

AMD

F

在矩形/8C0中，2LA=Z.ABC=90°,AD=BC,

根据折叠可知，=60°,BM=BM',

：.^LABM=2ABE一乙MBE=60°-乙MBE,

乙EBM，=乙MBM，一乙MBE=60°-乙MBE,

：.Z-ABM=乙EBM',

-BA=BE,BM=BM',

・•.△ABM=△EBM'(SAS),

：.AM=EM',Z,E=£.A=90°,

MEBG=90°-60°=30°,

=乙EBG+乙BEG=90°+30°=120°,

"EGC=120°,

=乙EGB=180°-120°=60°,

・•・点M在EF上，

•・・垂线段最短，

・••当CMUEF时，CM，有最小值，

.•.△£186与4M£6均为30。、60。、90。直角三角形，

设EG=x,BC=2y,

则BG=2EG=2%,CG=BC-BG=2y-2x,GM'=^CG=y-x,

.'.EM'=EG+GM'=x+(y—%)=y=

-：BC=2AB,

：.AB=匏C,

.-.EM'=AB,

・・.4M=EM',

.t.AB=AM,

・•・△/BM为等腰直角三角形，

：,Z.EM'B="MB=45°,

-Z-MBM'=60°,BM=MB

・•.△MBM是等边三角形，

=60°,

.•ZEM'M=/-BM'M-Z.EM'B=60°-45°=15°,

.•ZMM'C=Z.EM'C-£.EM/M=90°-15°=75°,

故答案为：75.

15.（22-23九年级上•山西运城・期中）如图,在矩形ABC。中,E是BC上一动点，△ABE沿AE折叠后得到△AFE,

点/在矩形/BCD内部，延长/F交CD于点G,AB=6,AD=8.当点£是8。的中点时，线段GC的长

；点后在运动过程中，当ACFE的周长最小时，CE的长为

图2

【思路点拨】

第一填空，连接GE,根据中点性质以及翻折性质可以求出BE=EF=EC,然后利用“HL”证明△GFE和

△GCE全等，得到“=CG,设“=x,表示出4G、DG,然后在RtaADG中，利用勾股定理列式进行计算

即可得解；第二填空，连接4C,根据勾股定理求出AC=10,根据EF=BE,得到EF+CE=BC=8,得到

C产值最小时，△0石尸的周长最小，推出点尸在4C上时，CF取得最小值，为CF=4C—4F=4,设

CE=y,得到EF=8—y,根据NCFE=90°,运用勾股定理求得y=5.

【解题过程】

图1

•.•在矩形4BCD中，NB=NC=ND=90。，DC=AB=6,BC=AD=8,E是BC的中点,

.-.BE=EC=4,

由折叠知，/-EFA==90°,AF=AB=6,EF=BE=4,

.-.EF=EC,/.EFG=NC=90°,

在Rt△GFE和Rt△GCE中，

(EG=EG

\EF=EC'

.-.Rt△GFEmRt△GCE(HL),

.-.GF=GC,

设GF=GC=x,

则4G=6+x,DG—6—x,

•.•在Rt△4DG中，AD2+DG2=AG2

.-.82+(6-%)2=(6+x)2,

解得久号，

即GC=*

故答案为：*

如图2,连接4C,贝！MC=7AD2+CD2=10,

：.EF+CE=BE+CE=BC=8,

二当CF值最小时，的周长最小，

当点尸在AC上时，CF值最小，此时，CF=AC-AF=4,

设CE=y,则EF=8—y,

■：/.AFE=90°,

:ZCFE=180°-Z.AFE=90°,

：.CF2+EF2=CE2,

.-.42+(8—y)2—y2,

解得y=5,

即CE=5.

故答案为：5.

16.(22-23八年级下•陕西西安•期末)如图，矩形ABCD中，AB=2®4。=8,E、尸分别为2D、BC上

两个动点，且NEFC=60。，连接4尸，CE,当AF+EF+CE最小时，BF的长为.

BFC

【思路点拨】

作EH1BC,可以求得EF的长度，再过A作4GIIEF,且力G=EF,连接EG,则四边形AGEF为平行四边形,

AF=EG,贝!JAF+EF+CE最小，就是EG+EC最小，求解即可.

【解题过程】

解：作EH1BC,如下图：

四边形48HE和四边形CDEH为矩形，

则4B=CD=EH=2V3,AE=BH

在Rt△£1///中，Z.EFH=60°,Z.EHF=90°,EH=2曲

.-.Z.FEH=30。

设FH=%,贝UEF=2%,由勾股定理可得：x2+(2V3)=(2%)2

解得x=2,即FH=2,FF=4

.■.AF+EF+CE最小，就是4F+EC最小，

过4作AGIIEF,且4G=EF,连接EG,GC,如下图：

则四边形4GEF为平行四边形，AF=EG,

则4F+EC最小，就是EG+EC最小，

由三角形三边关系可得，EG+EC>GC,

即当G、E、C三点共线时，EG+EC最小，如下图:

.-.ECWAF

又•MEIICF

四边形AFCE为平行四边形，

.-.AF=CE,AE=CF=BH

；.BF=CH

：.BF+CH+FH=2BF+FH=BC,即28尸+2=8

解得：BF=3

故答案为：3

17.（23-24八年级下•北京东城•期中）如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,点M是边BC的中

点，点N是边CD上一点，点P是对角线BD上一点，贝IJPM+PN的最小值为.

【思路点拨】

本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理的应用，菱形的面积，解此题的关键是能确定出

当QN1CD时有最小值.作M关于BC的对称点0,连接NQ,交BD于P,连接PM,则PM+PN=QN,要

使PM+PN的值最小，则当QN1CD时，QN有最小值，则连接4C,求出CP、BP,根据勾股定理求出CD长,

再根据等面积法即可得出答案.

【解题过程】

解：作M关于BD的对称点0,连接NQ,交BD于P,连接PM,

:.PQ=PM,

：.PM+PN=PQ+PN=QN

要使PM+PN的值最小，即QN要最小,

四边形4BCD是菱形，

■.AC1BD,乙QBP=4MBP,

又•••”（？,M是边BC的中点，

即。在48上，且为中点，

•・•AB||CD

・••当QN_LCD时，QN有最小值，

・・・四边形/BCD是菱形，

11

.・・CP=-AC=3DP=-BD=4

2f2

CD=JBP2+CP2=5

1

S菱形ABCD=~^AC•BD=QN.CD

1

-x6x8=5QN

24

•­-QN-

PM+PN的值最小为餐，

故答案为：

18.（23-24八年级下•江苏南京•阶段练习）如图，四边形4BCD为平行四边形，延长4。到点E,使

DE=AD,且BE1DC,若△ADB是边长为3的等边三角形，点P、M、N分别在线段2£、BC、CE上运动,

则PM+PN的最小值为.

E

【思路点拨】

根据四边形4BCD为平行四边形，得到SB=CD/B||=BC/D||BC,结合BE1DC,得到

NEBA=90。，根据△4DB是边长为3的等边三角形，得到4。=DB=4B/4=60。，得到四边形ABCD是

菱形，结合DE=4。得到4。=DB=AB=ED=BC,得到四边形BCED是菱形，作点M关于直线BE得对称

点Q,则。一定在BD上，根据垂线段最短，过点。作QG1EC于点G,交BE于点R,当尸与R重合，点N

与点G重合时，PM+PN取得最小值，即菱形8CED的高，过点C作CF1B。于点尸，计算CF即可，本题考

查了菱形的判定和性质，线段和最小，垂线段最短，正确构造最短线段是解题的关键.

【解题过程】

,四边形力BCD为平行四边形，

.-.AB=CD.AB||CD,AD=BC,AD||BC,

'.'BE1DC,

：,/LEBA=90°,

•・・△/DB是边长为3的等边三角形，

：,AD=DB=AB=3,乙4=60°,

・•・四边形是菱形，

•，AD=DB=AB=BC=3/BCD=60°

・•.△是边长为3的等边三角形，

-DE=AD

.-.AD=DB=AB=ED=BC,

二.四边形BCED是菱形，

作点加关于直线BE得对称点Q,则。一定在BD上，根据垂线段最短，过点0作QG1EC于点G,交BE于

点R,当尸与R重合，点N与点G重合时，PM+PN取得最小值，即菱形8CE0的高，

E

-.DF=|SD=

：.CF=y/CD2-DF2=竽

故PM+PN的最小值为竽,

故答案为：苧.

19.（2024・四川成都•二模）如图，在菱形力BCD中,/.BAD=120°,CD=4,M,N分别是边4B/D的动

点，满足4M=DN,连接CM、CN,£是边CM上的动点，尸是CM上靠近C的四等分点，连接2E、BE、

NF,当ACFN面积最小时，^BE+/1E的最小值为.

【思路点拨】

连接MN/C,取BE的中点G,连接MG,得到△MCN是等边三角形，进而判断当△CFN面积最小时,

CN1BD,根据E为MC上的动点，当E,M重合时，最小，进而可得匏E+4E的最小值.

【解题过程】

解:如图，连接MN/C,取BE的中点G,连接MG,

V四边形4BCD是菱形，4BAD=120°,

•••AB=AD=CD,LBAC=ADAC=^ADC=60°,

•••△ABC,△ACC是等边三角形

•••AC=DC^ADC=60°

•・•AM=DN

・•.△AMC=△DNC(SAS)

•・•CM=CN/DCN=/.ACM

•••乙MCN=A.MCA+乙ACN

=乙DCN+乙ACN=Z-ACD=60°,

・•.△CMN为等边三角形，

・・•点F是CM上靠近点C的四等分点，

_1

•••SMFN=0ACMN

・•.△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小

V3?

•••S^CMN—>CM

・•・当CM最小时，^CMN的面积最小

二当CM_L48时，CM最小

•••△ZBC是等边三角形，CM1AB

MA=MB

・•.AE=