2024-2025学年北师大版数学八年级上册 第1章 勾股定理 同步练习

北师大版数学八年级上册第1章勾股定理2024-2025学年同步练习

一.选择题（共9小题）

1.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）

A.2,4,6B.1,V3-2C.1,V2-V3D.3,4,5

2.一直角三角形两直角边长分别为4和3,则斜边长为（）

A.8B.7C.6D.5

3.如图，在5X6的正方形网格中，点A,B在格点上，且每个小正方形的边长都是1,则线段A3的长为（）

4.在△ABC中a,b,c分别是NA、ZB,/C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A.a：b-.c=5：12：13B.a：b：c=1：V2：V3

C.ZA：ZB：/C=3：4：5D.ZA+ZB=ZC

5.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地A8=2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感

应门就会自动打开.一个身高L6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时（2C=1.2米），感应门

自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（）

感应军，名

/

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

6.如图，在RtZsABC中，ZACB=90a,AC=6,BC=8,。是斜边的高，则的长为（）

cB

AB

-T-fC5D.10

7.如果三角形的三边分别为我，巡，2,那么这个三角形的最大角的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.等边三角形的边长为4,则该三角形的面积为（）

A.473B.73C.2MD.3

9.如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3cm,AC=5cm,将△ABC沿。E折叠，使点C与点A重合，则AE的

282

二.填空题（共9小题）

10.一直角三角形斜边上的中线等于5,一直角边长是6,则另一直角边长是.

11.已知一个直角三角形的两边长分别为5、12,则这个直角三角形第三边长的平方为.

12.如图，矩形ABC。中，AB=3,AD^l,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于

点M,则点M表示的数为.

DC

-1012M

13.将一副三角板按如图所示摆放成四边形A2CD,发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知

AD=3A/2，则AB的长为.

14.如图，圆柱形容器高为16°相，底面周长为24cm,在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在

杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为.

-----人

15.如图，在小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C在格点上，。是4B与网格线的交点，则CD的长

16.如图，正方形ABC。的边长为2,其面积标记为Si,以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的

一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,…，按照此规律继续下去，则&022的值

为.

S,

17.将矩形纸片ABCD折叠，如图所示，已知AD^lOcm,AG=HB=8cm,EF//GI//HJ//CB,EG=EH=GH=

4cm,则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是cm.

A~GH-B

18.已知《52+122=13,从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为5、12,计算结果为

斜边13,同理计算值，(。>0)可以看成直角边分别为纵8,结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解

决问题：已知。+6=15(a>0,b>0),计算22+g+{b2+25的最小值为-

三.解答题(共2小题)

19.如图，在△ABC中，。是边上一点，AD=U,AC=13,CD=5.

(1)求证：ADXBC；

(2)若AB=15,求BC的长.

20.如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向800千米的B处，以50千米/时的速度向北偏西60°的8尸方

向移动，距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域.

(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；

(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?

北师大版数学八年级上册第1章勾股定理2024-2025学年同步练习

参考答案与试题解析

选择题（共9小题）

1.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）

A.2,4,6B.1,弧,2C.1,近,V3D.3,4,5

【解答】解：A、V22+42#62,

.1.2,4,6不是一组勾股数，选项不符合题意；

8、：愿不是整数，

••.1,我，2不是一组勾股数，选项不符合题意；

c、,:如、愿不是整数，

•••1，V2.我不是一组勾股数，选项不符合题意；

D、V32+42=52,

.1.3,4,5是一组勾股数，选项符合题意；

故选：D.

2.一直角三角形两直角边长分别为4和3,则斜边长为（）

A.8B.7C.6D.5

【解答】解：由勾股定理得，斜边长=衣帝=5/元=5,

故选：D.

B在格点上，且每个小正方形的边长都是1,则线段的长为（)

C.5D.7

【解答】解：根据题意，利用勾股定理有郎=7?^=5。

故选：C.

4.在△A3C中mb,c分别是NA、NB,NC的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）

=

A.a：b：c=5：12：13B.a：b：cI：V2：V3

C.ZA：ZB：ZC=3：4：5D.ZA+ZB=ZC

【解答】解：A.设。=54，b=12k,c=13左，

（5k）2+（12左）2=（13左）2,

.".<r+b1=c1,

故AABC是直角三角形；

B.设。=左，b—y[2,kic=J"§A,

,:必+（近k）2=（遂左）2,

.".a2+b2=c1,

故AABC是直角三角形；

C.VZA：ZB：NC=3：4：5,

；./C=75°,

.二△ABC不是直角三角形；

B.VZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.-.ZC=90°,故△ABC是直角三角形；

故选：C.

5.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB=2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感

应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应门

自动打开，则人头顶离感应器的距离A。等于（）

B.1.3米C.1.5米D.2米

【解答】解：如图，过点。作。ELA2于点E,

：A8=2.1米，8E=CZ）=L6米，EO=BC=L2米,

J.AE^AB-B£=2.1-1.6=0.5（米）.

在RtZxADE中，由勾股定理得到：AD=VAE2+DE252+l.2^=1.3（米），

故选：B.

6.，AC=6,BC=8,CD是斜边的高，则CD的长为（）

C.5D.10

55

【解答】解：・・・在RtzXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

•*,A3={62+82=10，

△ABC的面积为工X6X8=2X10XC。，

22

.-.cz）=21.

5

故选：A.

7.如果三角形的三边分别为正,遍，2,那么这个三角形的最大角的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：•••三角形的三边分别为正,巫,2,

222

•-2+（V2）=（V6）-

.••该三角形是直角三角形，

.♦.这个三角形的最大角的度数为90°,

故选：D.

8.等边三角形的边长为4,则该三角形的面积为（）

A.4«B.MC.2«D.3

【解答】解：•••等边三角形三线合一，

为8C的中点，BD=DC=2,

在中，AB=4,BD=2,

；•A£>=VAB2-BD2=2A/3'

：.等边△ABC的面积为LC・AD=」X4X2VS=4、R.

22

故选：A.

B

D

9.如图，在Rt/kABC中，NB=90°,AB=3cm,AC=5cm,将△ABC沿0E折叠，使点。与点A重合，则AE的

7

C25D.—cm

82

【解答】解：设AE=%5,由翻折变换的性质可知，EC=xcm,

VZB=90°，AB=3cm,AC=5cm,

•'•BC=VAC2-AB2=4CTJ>

:・BE=BC-CE=(4-x)cm,

在RtzMBE中，AEL=AB1+BET,BPx2=32+(4-x)2,

解得，x=—,

8

故选：c.

二.填空题（共9小题）

10.一直角三角形斜边上的中线等于5,一直角边长是6,则另一直角边长是8

【解答】解：：直角三角形斜边上的中线等于5,

,斜边长为10.

:一直角边长是6,

.•.另一■直角边长=4102-62=8•

故答案为：8.

11.己知一个直角三角形的两边长分别为5、12,则这个直角三角形第三边长的平方为169或119.

【解答】解：当两直角边的长是5、12时，则斜边长的平方是：52+122=169,

当12为斜边时，则另一条直角边的平方是：122-52=119,

故答案为：169或119.

12.如图，矩形中，AB=3,AD^l,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于

点则点M表示的数为-1+'广五.

DC

-1012M

【解答】解：AC=yj皿2+BC2=N32+]2=J]0,

则AM=JI5，

'.'A点表示-1,

点表示的数为：-1+JI5.

故答案为：-i+V10-

13.将一副三角板按如图所示摆放成四边形A8C。，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知

AO=3V2.则AB的长为—473_.

【解答】解：在Rt^AOC中，AD=3®ZDAC=45°,

：.AD=CD=3M，

••AC=7AD24CD2=J(3&)2+(3&)2=6,

在RtaABC中，COS/ACB=3^,

AB

贝I]AB=—典—=鲁=4«.

cos30°M

2

故答案为4«.

14.如图，圆柱形容器高为16on,底面周长为24c",在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在

杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm.

•圆柱形玻容器，高16c7",底面周长为24cm,

BD=12cm,

"AB=VAD2+DB2=V162+122=20(cm).

.••蚂蚁A处到达B处的最短距离为20c",

故答案为：20cm.

15.如图，在小正方形的边长为1的网格中，点A,2,C在格点上，。是43与网格线的交点，则CD的长是

【解答】解：，；AC=y22+]2=A/^,BC=^22+42=2Vs>AB=yj§2+42=5,

.\AC2+BC2=25=AB2,

ZACB=90°,

'：DE//AF,

••B•E_BD_—>2_J.,.

EFAD2

：.BD=AD,

A

16.如图，正方形4BCD的边长为2,其面积标记为Si,以8为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的

2019

一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,…，按照此规律继续下去，则S2022的值为(1)

-2

△CDE是等腰直角三角形,

:.DE=CE,/CED=90°,

：.CD2=D£2+CE2=2D£2,

:.DE=^^CD,

2_

即等腰直角三角形的直角边为斜边的亚倍,

2

.•.SI=22=4=4X(A)0,

2

S2=(2X叵2=2=4X(_1)1,

22

S3=(V22=1=4X(A)2,

v22

$4=(1xY±_)2=」=4义(A)3,

222

.•.&=4X(A)n~l,

2

.•.S2022=4X(1)2。21=(1)2019.

22

故答案为：(」)2019.

2

17.将矩形纸片ABCD折叠，如图所示，已知AD=l0cm,AG=HB=8cm,EF//GI//HJ//CB,=EH=GH=

4cm,则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是26cm.

根据题意可得：展开图中的42=8+8+4+4=24(cm),BC—10cm.

由题(1)可得：在Rtz^ABC中，

由勾股定理可得：AC=-7AB2+BC2=^242+102=26(cm),

即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是26cm.

故答案为：26.

18.已知］52+122=3从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为5、12,计算结果为

斜边13,同理计算值H(。>0)可以看成直角边分别为“8,结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解

决问题：已知。+6=15(«>0,6>0),计算402+g+,b2+25的最小值为17

【解答】解：构造两直角三角形如图，NCAE=NDBE=90°,AB=15,AC=3,BD=5,点E为4B上一个动

点，AE=a,BE=b,

则CE=VAE2+AC2=Va2+32=Va2+9'DE=VBE2+BD2=7b2+52=Vb2+25'

；•+Yb2+25=CE+DE?CD,

.•.“+9+db2+25的最小值为线段CD的长,

过点D作DF