高中数学 1.3.2 等比数列的前n项和（一）课时作业 北师大版必修5

3.2等比数列的前n项和(一)课时目标1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法.2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝(q≠1),(q＝1))).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝____________.3．推导等比数列前n项和的方法叫________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．一、选择题1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)等于()A．11B．5C．－8D．－112．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则eq\f(S10,S5)等于()A．－3B．5C．－31D．333．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则eq\f(S4,a2)等于()A．2B．4C.eq\f(15,2)D.eq\f(17,2)4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(A.eq\f(15,2)B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4)D.eq\f(17,2)5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为()A．0B．1C．－1D．26．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为()A．514B．513C．512D．510二、填空题7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.三、解答题11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．能力提升13．已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．3．2等比数列的前n项和(一)答案知识梳理1．(1)eq\f(a1(1－qn),1－q)eq\f(a1－anq,1－q)na12.eq\f(a1,q－1)3.错位相减作业设计1．D[由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则eq\f(S5,S2)＝eq\f(a1(1＋25),a1(1－22))＝－11.]2．D[由题意知公比q≠1，eq\f(S6,S3)＝eq\f(\f(a1(1－q6),1－q),\f(a1(1－q3),1－q))＝1＋q3＝9，∴q＝2，eq\f(S10,S5)＝eq\f(\f(a1(1－q10),1－q),\f(a1(1－q5),1－q))＝1＋q5＝1＋25＝33.]3．C[方法一由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(a2,q)＋a2＋a2q＋a2q2，得eq\f(S4,a2)＝eq\f(1,q)＋1＋q＋q2＝eq\f(15,2).方法二S4＝eq\f(a1(1－q4),1－q)，a2＝a1q，∴eq\f(S4,a2)＝eq\f(1－q4,(1－q)q)＝eq\f(15,2).]4．B[∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1∴设{an}的公比为q，则q>0，且aeq\o\al(2,3)＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝eq\f(1,2)或q＝－eq\f(1,3)(舍去)，∴a1＝eq\f(1,q2)＝4.∴S5＝eq\f(4(1－\f(1,25)),1－\f(1,2))＝8(1－eq\f(1,25))＝eq\f(31,4).]5．C[当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，∴k＝－1.]6．D[由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q3＝18,a1q＋a1q2＝12))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝16,q＝\f(1,2))).∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝eq\f(2(28－1),2－1)＝29－2＝510.]7．－eq\f(1,3)解析显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝eq\f(1,3)·3n＋t，∴t＝－eq\f(1,3).8．3解析S6＝4S3⇒eq\f(a1(1－q6),1－q)＝eq\f(4·a1(1－q3),1－q)⇒q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.9．10解析Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，∴－341＝eq\f(1＋512q,1－q)，∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，∴n＝10.10．2n－1解析当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，∴an＝2n－1，n∈N＋.11．解∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1an＝128，,a1＋an＝66，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝64，,an＝2，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64.))②将①代入Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，可得q＝eq\f(1,2)，由an＝a1qn－1可解得n＝6.将②代入Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝eq\f(1,2)或2.12．解分x＝1和x≠1两种情况．(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n(n＋1),2).(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝eq\f(x(1－xn),1－x)－nxn＋1.∴Sn＝eq\f(x(1－xn),(1－x)2)－eq\f(nxn＋1,1－x).综上可得Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n(n＋1),2)(x＝1),\f(x(1－xn),(1－x)2)－\f(nxn＋1,1－x)(x≠1且x≠0))).13．证明设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，则Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝n2aeq\o\al(2,1)＋4n2aeq\o\al(2,1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，则Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)，S2n＝eq\f(a1,1－q)(1－q2n)，S3n＝eq\f(a1,1－q)(1－q3n)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．14．解(1)由题意，Sn＝2n＋2－4，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N＋.(2)∵bn＝anlog2