高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）课时作业 新人教A版选修2-2

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．1．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__________；(2)[cf(x)]′＝__________(c为常数)；(3)[f(x)·g(x)]′＝______________；(4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝____________(g(x)≠0)．2．复合函数复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成__________，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作________．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__________.即y对x的导数等于________________________________________.一、选择题1．已知f(x)＝x3＋3x＋ln3，则f′(x)为()A．3x2＋3xB．3x2＋3x·ln3＋eq\f(1,3)C．3x2＋3x·ln3D．x3＋3x·ln32．曲线y＝xex＋1在点(0,1)处的切线方程是()A．x－y＋1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x－2y＋2＝03．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于()A．18B．－18C．8D．－84．函数y＝(2010－8x)8的导数为()A．8(2010－8x)7B．－64xC．64(8x－2010)7D．64(2010－8x)75．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.eq\f(1,2)e2B.eq\f(9,4)e2C．2e2D．e26．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2题号123456答案二、填空题7．曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．8．某物体作直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4s末的瞬时速度应该为________m/s.9．已知函数f(x)＝x2·f′(2)＋5x，则f′(2)＝______.三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y＝eq\f(x＋cosx,x－cosx)；(2)y＝2xcosx－3xlog2009x；(3)y＝x·tanx；(4)y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).11.求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．能力提升12．已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，eq\f(π,4))B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]D．[eq\f(3π,4)，π)13．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．复合函数求导时，一定要注意求导是从外层到内层，层层求导的法则来进行的．同时要注意导数的运算法则，计算时首先观察函数的形式，对其化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度、避免差错．答案知识梳理1．(1)f′(x)±g′(x)(2)c·f′(x)(3)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(4)eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)2.复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝y′u·ux′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.作业设计1．C[(ln3)′＝0，注意避免出现(ln3)′＝eq\f(1,3)的错误．]2．A[y′＝ex＋xex，当x＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0.]3．A[∵f′(x)＝4x3＋2ax－b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0＝－13,f′－1＝－27))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝－13，,－4－2a－b＝－27.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝13.))∴a＋b＝5＋13＝18.]4．C[y′＝[(2010－8x)8]′＝8(2010－8x)7·(2010－8x)′＝－64(2010－8x)7＝64(8x－2010)7.]5．A[∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝y′|x＝2＝e2.∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝eq\f(1,2)×1×|－e2|＝eq\f(1,2)e2，故选A.]6．A[y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y＝x－1.]7．y＝2x＋3解析由f(x)＝sinx＋ex＋2得f′(x)＝cosx＋ex，从而f′(0)＝2，又f(0)＝3，所以切线方程为y＝2x＋3.8.eq\f(125,16)解析∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴v＝s′|t＝4＝8－eq\f(3,16)＝eq\f(125,16)(m/s)．9．－eq\f(5,3)解析∵f′(x)＝f′(2)·2x＋5，∴f′(2)＝f′(2)×2×2＋5，∴3f′(2)＝－5，∴f′(2)＝－eq\f(5,3).10．解(1)y′＝eq\f(x＋cosx′x－cosx－x＋cosxx－cosx′,x－cosx2)＝eq\f(1－sinxx－cosx－x＋cosx1＋sinx,x－cosx2)＝eq\f(－2cosx＋xsinx,x－cosx2).(2)y′＝(2x)′cosx＋(cosx)′2x－3[x′log2009x＋(log2009x)′x]＝2xln2·cosx－sinx·2x－3[log2009x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)log2009e))x]＝2xln2·cosx－2xsinx－3log2009x－3log2009e.(3)y′＝(xtanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cosx2)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cosx2)＝eq\f(sinxcosx＋xcos2x＋sin2x,cosx2)＝eq\f(\f(1,2)sin2x＋x,cosx2)＝eq\f(sin2x＋2x,2cos2x).(4)函数y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))),2)可以看作函数y＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cosu和函数u＝4x＋eq\f(2,3)π的复合函数，y′x＝y′u·u′x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)cosu))′·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))′＝－eq\f(1,2)sinu·4＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))).11．解设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)－2.故切线方程为y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)．①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－2x0.②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2).故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－eq\f(5,4)(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.12．D[y′＝－eq\f(4ex,e2x＋2ex＋1)＝－eq\f(4,ex＋2＋\f(1,ex))，∵ex＋eq\f(1,ex)≥2，∴－1≤y′<0，即－1≤tanα<0，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).]13．解依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点