2025高考数学一轮复习讲义-随机事件与概率

§10.3随机事件与概率

【课标要求】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概

率的区别2理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单

随机事件的概率.

・落实

【知识梳理】

1,样本空间和随机事件

⑴样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的称为样本点，常用。表示.

全体样本点的集合称为试验E的常用a表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有八个可能结果,02，…，必，则称样本空间2=｛。1,

0）2,—,为有限样本空间.

⑵随机事件

①定义：将样本空间Q的称为随机事件，简称事件.

②表示：一般用大写字母A,B,C,…表示.

③随机事件的极端情形：.

2.两个事件的关系和运算

含义符号表示

包含关系若事件A发生，则事件B一定发生

相等关系

并事件

AU8或A+B

（和事件）

交事件

事件4与事件B同时发生

（积事件）

互斥

事件A与事件B不能同时发生AAB=0

(互不相容)

互为对立事件A与事件B有且仅有一个发生

3.古典概型的特征

⑴有限性：样本空间的样本点只有；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性___________________________________________.

4.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间a包含"个样本点，事件A包含其中的上个样本点,

则定义事件A的概率尸⑷==嘿.

其中，w(A)和“(0分别表示事件A和样本空间a包含的样本点个数.

5.概率的性质

性质1：对任意的事件A,都有P(A)》O；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即尸®)=1,P(0)=0；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AU或=；

性质4:如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=；

性质5：如果,那么P(A)^P(B),由该性质可得，对于任意事件A,因为,所

以OWP(A)W1；

性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，有尸(AU或=.

6.频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率加A)

会逐渐_______事件A发生的概率尸(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用

可以用频率%(A)估计概率P(A).

【常用结论】

1.当随机事件A,B互斥时，不一定对立；当随机事件A,B对立时，一定互斥，即两事件

互斥是对立的必要不充分条件.

2.若事件4,A2,-,4两两互斥，则P（AiUA2U-UA„）=P（AI）+P（A2）+…+P（A„）.

【自主诊断】

1,判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

（1）事件发生的频率与概率是相同的.（）

（2）两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.（）

（3）从一3,-2,-1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于。与不小于。的可能性相同.（）

（4）若是必然事件，则A与8是对立事件.（）

2.（必修第二册P235T1改编）一个人打靶时连续射击两次，与事件“至多有一次中靶”互斥

的事件是（）

A.至少有一次中靶

B.两次都中靶

C.只有一次中靶

D.两次都不中靶

3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高

在［160,175］（单位：cm）内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

4.（2022•全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的

概率为.

■探究核心题型

题型一随机事件的关系

命题点1随机事件间关系的判断

例1（1）（多选）（2023•大连模拟）有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，

事件厂为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”事件/为“一种报纸也不订”，

下列命题正确的是（)

A.E与G是互斥事件

B.尸与/互为对立事件

C.尸与G不是互斥事件

D.G与/是互斥事件

(2)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A="只有一次中靶"，8="两次都中靶”，则

下列结论正确的是()

A.A^B

B.0

C.AUB="至少一次中靶”

D.A与B互为对立事件

命题点2利用互斥、对立事件求概率

例2某商场的有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个

开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二

等奖的事件分别为A,B,C,求：

(1)1张奖券的中奖概率；

(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

命题点3用频率估计概率

例3(多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，

剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种),结果如表所示：

总人数食用大米套餐人数食用面食人数

1000550260

假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件“吃面食”为事件N,“吃米线、

汉堡等其他食品”为事件H,若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是()

A.P(M)=0.55B.P(N)=0.26

C.P(切=0.19D.P(NUH)^0.65

跟踪训练1⑴从装有10个红球和10个白球的罐子里任取两球，下列情况中互斥而不对立的

两个事件的是()

A.至少有一个红球；至少有一个白球

B.恰有一个红球；都是白球

C.至少有一个红球；都是白球

D.至多有一个红球；都是红球

(2)某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20,0.25,0.3,

0.25,这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98,现在从出厂产品中任取一件，则恰

好抽到不合格产品的概率是________.

题型二古典概型

例4(1)(2023•湖北省十一校联考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”这8个素数中，任取2个不同的数，

则这两个数之和仍为素数的概率是()

A—D—plP)—

入28氏28=7u14

(2)(2023•秦皇岛模拟)某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能自

主选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收

1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社

团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为()

A4B-5C6D-8

思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤

r----J］定型，根据事件的性质，确定事件类

、第［步尸.型为古典概型

1^4~J定量，确定试验包含的样本点总数及,

.第1步n所求事件包含的样本点个数

------求值，代入古典概型的概率计算公式

.第三步卜［求解""工

跟踪训练2⑴(2023・济南模拟)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形

是直角三角形的概率为（）

3139

A•而B-2C5DW

⑵（2024.茂名模拟）从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除

的概率为（）

A—-p-D?

B，5C，10U.5

题型三概率的综合问题

例5某省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科

目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要

在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门，已知某大学医学院临床医学类

招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门.

⑴从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要

求的概率；

（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，且三人的选择互不影响，求

这三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求的概率.

跟踪训练3为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）,中国射击队的

甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击一次，且两人命中

目标与否互不影响.已知甲命中目标的概率为。2乙命中目标的概率为宏3

⑴求甲没有命中目标的概率；

⑵在两次射击中，求恰好有一人命中目标的概率.

§10.3随机事件与概率答案

落实主干知识

知识梳理

1.⑴①基本结果样本空间

(2)①子集③必然事件不可能事件

2.ACBA=B事件A与事件8至少有一^发生AA8或ABAAB=0,S.AUB=Q

3.⑴有限个(2)相等

k

4福

5.P(A)+P(B)1-P(B)

P(A)+P(B)-P(AAB)

6.(1)稳定于

自主诊断

1.(1)X(2)V(3)V(4)X

3

2.B3.B4.而

探究核心题型

例1(1)BC[对于A,E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；

对于B,E与/不可能同时发生，且发生的概率之和为1,所以/与/互为对立事件，故B

正确；

对于C,尸与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确；

对于D,G与/可以同时发生，不是互斥事件，故D错误.]

(2)BC[事件A="只有一次中靶"，B="两次都中靶”，所以A,8是互斥事件但不是对

立事件，所以A,D错误，B正确；AUB="至少一次中靶”，C正确.]

例2解(1)设“1张奖券中奖”为事件则〃=4U8口。.

VA,B,C两两互斥，

=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(°=i000+]000+1000=1000.

故1张奖券中奖的概率为磊5.

⑵设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,

则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件,

.•.PW=1—P(AU2)=1TP⑷+P⑻]=1—福+忐)=森.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为孤98狂9

例3ABC[用频率估计概率得P(M)=/部J=0.55,P(N)=端j=0.26,P(H)=

1000—550—260

Fooo=0.19,故A,B,C正确;

P(NUH)表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故P(NU”)=P(N)+P(H)=0.26+

0.19=0.45,故D错误.]

跟踪训练1(1)B(2)0.034

例4⑴C[这8个素数中，任取2个不同的数，有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),

(2,19),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),

(7,13),(7,17),(7,19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共28个样本点，

这两个数之和仍为素数的样本点有(2,3),(2,5),(2,11),(2,17),共4个，所以这两个数之和

41

仍为素数的概率是而=].]

(2)C[4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有A£=24(种)选法，

其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有GA3=4(种)选法，按学校规定每人只能加入

一个社团，由古典概型的概率计算公式可得，甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概

41

率尸=五=制

跟踪训练2(1)C

[从正六边形的6个顶点中任取3个，有色=20(个)三角形，

其中直角三角形，每边对应2个，如图，例如RtZXBDE和RtZXADE,共有2X6=12(个),

所以所求概率为1西2=百3

⑵D

例5解(1)用a,b分别表示事件“选择物理”“选择历史”，用c,d,e,/分别表示事件

“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，

则所有选科组合的样本空间

Q—[acd,ace,acf,ade,adf,aef,bed,bee,bef,