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文档简介
第2章对称图形2.4线段、角的轴对称性第3课时角的轴对称性
1.理解并掌握角的轴对称性、角平分线的性质定理以及判定定理,并能初步运用其解决有关线段、角相等的问题.2.经历定理的探索过程,体会定理的合理性.3.体会转化数学思想,提高分析和解决问题的能力.◎重点:角平分线的性质与判定的探究.◎难点:性质定理、判定定理的熟练运用.
之前我们学过角平分线,它的定义是什么呢?答:射线OC把∠AOB分成两个相等的角,射线OC叫做这个角的平分线.
角平分线的性质
阅读本课时开始到“讨论”前的内容,回答下列问题.1.角是
轴对称
图形,
角平分线所在的直线
是它的对称轴.
轴对称角平分线所在的直线2.角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离
相等
.
符号语言:如图:∵OC是∠AOB的平分线,PM⊥OA,PN⊥OB,∴
MP=PN
.
相等MP=PN·导学建议·提醒学生注意:角平分线性质中“距离相等”是指角平分线上的点与角两边之间的距离,不是角平分线上点与两边上任意点之间的线段长度.
1.已知EF是△EBC的角平分线,FD⊥EB于点D,且FD=3cm,则点F到EC的距离是(
B
)A.2cmB.3cmC.4cmD.6cmB2.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AB=12,CD=4,则△ABD的面积为
24
.
24
角平分线的判定方法
阅读本课时“讨论”到“练习”前的内容,回答下列问题.角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的
平分线
上.
几何语言:如图:∵DE⊥AB,DF⊥AC,DF=DE,∴∠1=∠2.
平分线温馨提示:在应用角平分线的判定方法时,一定要注意“距离”是点到直线的垂线段的长度.·导学建议·角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的,教师要让学生明白其互逆性,并让学生明白:角平分线判定的条件是指在角的内部有点满足到角两边的距离相等,那么连接角的顶点和该点的射线必平分这个角.
如图,点P在∠AOB内,因为PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,PM=PN,所以OP平分∠AOB,理由是角的内部到角两边距离相等的点在
角的平分线上
.
角的平分线上
角平分线的性质1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,AC=BE.(1)求证:AD=BD.
(2)求∠B的度数.
角平分线的判定2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,且DE=DC.(1)求证:BD平分∠ABC.(1)证明:∵∠C=90°,∴DC⊥BC.∵DE⊥AB,DE=DC,∴点D在∠ABC的平分线上,∴BD平分∠ABC.(2)若∠A=36°,求∠DBC的度数.解:(1)证明:∵∠C=90°,∴DC⊥BC.∵DE⊥AB,DE=DC,∴点D在∠ABC的平分线上,∴BD平分∠ABC.(2)解:∵∠C=90°,∠A=36°,∴∠ABC=54°.∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=27°.
角平分线的应用3.如图,在码头O的东北方向和正东方向上分别有A、B两个灯塔,且它们与码头的距离相等.OA、OB为海岸线,一轮船P离开码头,计划沿∠AOB的平分线航行,在航行途中,测得轮船P与灯塔A和灯塔B的距离相等,问轮船航行时是否偏离了航线?请说明理由.解:没有偏离航线.
方法归纳交流
这个题目不能用角平分线的判定定理直接判定,因为PA、PB不是点P到角两边的距离,所以不能直接利用角平分线的判定定理来证明.·导学建议·学生在应用角平分线的判定方法时,容易忽视“到角两边的距离”.教师要提醒学生注意对“点到角两边的距离”的理解.
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,若点D到AB的距离为3,则CD的长为(
A
)A.3B.4C.5D.6A2.如图,PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=
55
°.
553.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,∠ADC=130°,求∠MAB的度数.
解:如图,过点M作MN⊥AD于点N,∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠DAB=180°-∠ADC=50°.∵DM平分∠
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