人教版八年级数学上册重难考点微专题02含30°角的直角三角形通关专练特训(原卷版+解析)

微专题02含30°角直角三角形通关专练一、单选题1．（2023秋·八年级课时练习）把直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b，这两条直线之间的距离是（）A．1.5cm B．3cm C．0.75cm D．332．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=12cm，则阴影部分的面积是（）A．12 B．18 C．24 D．363．（2023秋·广东广州·九年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）下列命题是假命题的是（）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．任意多边形的外角和等于360°C．有三个内角为直角的四边形是矩形D．四条边都相等的四边形是正方形4．（2023春·宁夏银川·九年级校联考阶段练习）如图，滑雪爱好者小明在海拔约为121米的B处乘雪橇沿30°的斜坡下滑至A处所用的时间为2秒，已知下滑路程S（米）与所用时间t（秒）的关系为S=10t+t2，则山脚处的海拔约为（其中3≈1.7A．100.6米 B．97米 C．109米 D．145米5．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（）A．4 B．3 C．2 D．16．（2023春·九年级课时练习）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若D点的坐标为2,0，则点F的坐标为（）A．−1,3 B．C．−3,37．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.88．（2023秋·广西百色·八年级统考期末）如图所示，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，则BF的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（2023·广西百色·统考二模）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2A．332 B．3 C．210．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知∠MON=60°，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM,ON于点C,D，分别以C,D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP．若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，且AB=6，则直线AB与ON之间的距离是（A．33 B．23 C．3二、填空题11．（2023秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=5．则BC=______．12．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高．若AD=2，则BD=____．13．（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB=8，∠ACB=30°，则BD=_________.14．（2023秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，已知∠AOB=30°，点P在边OA上，OP=4，点M，N在边OB上，PM=PN，且∠MPN=90°，则ON=__________．15．（2023秋·广西百色·八年级统考期末）如图，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为_____．16．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图平行四边形ABCD内有四个全等的正方形，他们都平行放置，每个正方形的左上角顶点B，E，F，G都在直线AB上，且BE＝EF＝FG，若直线PQ恰好经过点D，AB＝14，CH＝5，∠A＝60°，则每个正方形的面积为_____．三、解答题17．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的长．18．（2023春·陕西西安·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM，求证：AM=2MN．19．（2023春·广东揭阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DC=320．（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校考期中）如图，▱ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BE=2，DF=3，求▱ABCD的周长C和面积S．21．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，22．（2023春·四川·九年级专题练习）如图，ΔABC为等边三角形，CE=BD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2(1)求证AD=BE；(2)求∠BPQ的度数；(3)求AD的长．23．（2023春·广东茂名·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积．24．（2023春·山西太原·八年级成成中学校考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，分别在BC、AC边上取点D、E，且AE=CD，连接AD、BE相交于P，BH⊥AD于H，PH=6，(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求BE的长．25．（2023秋·广东东莞·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，射线AE交BC于点P，∠BAE=15°；过点C作CD⊥AE于点D，连接BE，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点

(1)求∠F的度数；(2)若∠ABE=75°，求证：BE∥(3)在（2）的条件下，求证：EF=2CD−BE

微专题02含30°角直角三角形通关专练一、单选题1．（2023秋·八年级课时练习）把直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b，这两条直线之间的距离是（）A．1.5cm B．3cm C．0.75cm D．33【答案】C【详解】如图，AB=1.5cm，作BC⊥a交于点C，∵∠CAB=30°，∴BC=0.75cm.故选C.2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=12cm，则阴影部分的面积是（）A．12 B．18 C．24 D．36【答案】B【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．【详解】∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，∴AC=6cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=6cm．故S△ACF=12×6×6=18（cm2故选B．【点睛】考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，解答此题的关键是发现△ACF是等腰直角三角形，并根据直角三角形的性质求出直角边AC的长．3．（2023秋·广东广州·九年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）下列命题是假命题的是（）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．任意多边形的外角和等于360°C．有三个内角为直角的四边形是矩形D．四条边都相等的四边形是正方形【答案】D【分析】根据直角三角形的性质、多边形的外角和性质、矩形、正方形的判定判断即可．【详解】A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；B.任意多边形的外角和等于360°，是真命题，不符合题意；C.有三个内角为直角的四边形是矩形，是真命题，不符合题意；D.四条边都相等的四边形是正方形，错误，四条边都相等的四边形是菱形；故答案选D【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．（2023春·宁夏银川·九年级校联考阶段练习）如图，滑雪爱好者小明在海拔约为121米的B处乘雪橇沿30°的斜坡下滑至A处所用的时间为2秒，已知下滑路程S（米）与所用时间t（秒）的关系为S=10t+t2，则山脚处的海拔约为（其中3≈1.7A．100.6米 B．97米 C．109米 D．145米【答案】C【分析】首先求出AB长度，求出BC，即可得出答案．【详解】解：当t=2时，S=10×2+2设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线，∵∠A=30°，∠BCA=90°，∴BC=12∴山脚A处的海拔约为121米-12米=109米，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及坡角问题，含30度角的直角三角形的应用，关键是求出BC长度．5．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】∵CD⊥AB，∠ACB是直角，∠A=30°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD，AB=2BC，∴AB=4BD=4×1=4，故选A.6．（2023春·九年级课时练习）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若D点的坐标为2,0，则点F的坐标为（）A．−1,3 B．C．−3,3【答案】A【分析】先连接OF，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交y轴于G，那么∠GOF=30°；在Rt△GOF中，则GF=1，OG=3．即可求得F【详解】解：连接OF，设EF交y轴于G，如图所示，∵D点的坐标为2,0，∴OD=2，由正六边形ABCDEF是轴对称图形知：在Rt△GOF中，∠GOF=30°，OF=2∴GF=1，OG=3∴F(−1,3故选：A．【点睛】本题主要考查正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标，熟练掌握正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标是解题的关键．7．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8【答案】A【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴AC＝12AB＝1∵点P是BC边上的动点，∴2≤AP≤4，∴AP的值不可能是1.8．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．8．（2023秋·广西百色·八年级统考期末）如图所示，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，则BF的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角形的性质得到AE＝12【详解】∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AED＝∠CFE＝90°，∠ADE=∠CEF=30°，∴AE＝12∴CE＝8−2＝6，∴CF＝12∴BF＝5，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．（2023·广西百色·统考二模）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2A．332 B．3 C．2【答案】A【分析】延长AD、BC相交于点E，利用含30度角的直角三角形的性质，设CD=x，则CE=3x，DE=2x，然后列出方程，得出AB=1+32x=4−3，AE=3【详解】解：如图，延长AD、BC相交于点E，∵∠A=90°，∴∠E=90°设CD=x，则CE=3x，DE=2x，∴BE=2+3∴AB=BE=1+3∴AE=3∴3(1+解得：x=23∴AB=1+32x=4−3，AE=3四边形ABCD的面积为：SΔABE−SΔDCE=1=1=33故选A．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及含30角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．10．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知∠MON=60°，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM,ON于点C,D，分别以C,D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP．若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，且AB=6，则直线AB与ON之间的距离是（A．33 B．23 C．3【答案】A【分析】过B作BE⊥ON于E，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到BO=BA=6，再根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可得到直线AB与ON之间的距离．【详解】如图所示，过B作BE⊥ON于E，由题可得OP平分∠MON，∴∠DOA=∠BOA，∵AB∥DO，∴∠DOA=∠BAO，∴∠BOA=∠BAO，∴BO=BA=6，∵∠NOM=60°，∠BEO=90°，∴∠OBE=30°，∴OE=12∴BE=OB即直线AB与ON之间的距离为33故选：A．【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．二、填空题11．（2023秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=5．则BC=______．【答案】5【分析】直接根据含30°的直角三角形的性质可得答案．【详解】解：∵∠B=90°，∠A=30°，AC=5，∴BC=1故答案为：52【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，熟知30°所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键．12．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高．若AD=2，则BD=____．【答案】6【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°−∠B＝60°，∴∠ACD＝90°−∠A＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB−AD＝8−2＝6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查的是含30°角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．13．（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AB=8，∠ACB=30°，则BD=_________.【答案】16【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝2AB，再根据矩形的对角线相等解答．【详解】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝8，∴AC＝2AB＝2×8＝16，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了矩形的性质和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．14．（2023秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，已知∠AOB=30°，点P在边OA上，OP=4，点M，N在边OB上，PM=PN，且∠MPN=90°，则ON=__________．【答案】2【分析】如图过P作PC⊥OB于C，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可得出OC，再根据三线合一即可得出CN=PC=2，最后根据线段的和差即可得出答案．【详解】解：如图过P作PC⊥OB于C．∵∠AOB=30°，OP=4，∴PC=1∴OC=O又∵PM=PN，∠MPN=90°，∴CN=PC=2，∴ON=OC+CN=23故答案为：23【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．15．（2023秋·广西百色·八年级统考期末）如图，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为_____．【答案】6cm/6厘米【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠ACD=30°，然后利用含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵AC=BC=12cm，∠B=15°，∴∠CAB=∠B=15°，∴∠ACD=2∠B=30°，∵AD⊥BD，∴AD=1故答案为6cm．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．16．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图平行四边形ABCD内有四个全等的正方形，他们都平行放置，每个正方形的左上角顶点B，E，F，G都在直线AB上，且BE＝EF＝FG，若直线PQ恰好经过点D，AB＝14，CH＝5，∠A＝60°，则每个正方形的面积为_____．【答案】3【分析】如图所示，延长EP交CD于K，证明四边形BCKE是平行四边形，求出PK=CH=5，进而求出DK=10，从而推出BE=4，再由BE＝EF＝FG，得到AG=2，从而利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出GM即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长EP交CD于K，由题意得BH∥EP，四边形∴AB∥CD，AB=CD=14，∠A=∠∴四边形BCKE是平行四边形，∠EKD=∠C=60°，∴BC=EK，BE=CK，由全等正方形的性质可得EP=BH，∠KPD=90°，∴BC-BH=EK-EP，即PK=CH=5，∠PDK=30°，∴DK=2PK=10，∴CK=CD-DK=4，∴BE=4，又∵BE=EF=FG，∴AG=AB-BE-EF-FG=2，同理可得AG=2AM，∴AM=1，∴GM=A∴每个小正方形的面积为3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．三、解答题17．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的长．【答案】15【分析】首先根据等边三角形的性质和AB的长度求出AD的长度，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半求出AE的长度，进而求出CE的长度，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半求出CF的长度，即可求出BF的长度．【详解】∵在等边△ABC中，D是AB的中点，∴AD=BD=12AB∵∠A=60°，DE⊥AE，∴∠ADE=30°，∴AE=1∴CE=AC-AE=12-3=9，又∵∠C=60°，EF⊥BC，∴∠FEC=30°，∴CF=12CE=9∴BF=BC-CF=12-92=15【点睛】此题考查了等边三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，30°角直角三角形的性质．18．（2023春·陕西西安·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM，求证：AM=2MN．【答案】见解析【分析】利用等边三角形的性质及△ABC“三线合一”的性质得到∠MAN=12∠CAB=30°【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，M是BC的中点，∴∠CAB=60°，AM平分∠CAB，∴∠MAN=12∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°，∴AM=2MN．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质求的∠BAM度数是解此题的关键．19．（2023春·广东揭阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DC=3【答案】BD的长是6．【分析】先由题意算出∠BAC=120°,从而算出∠DAC=30°,即可利用DC=3,算出BD的长.【详解】证明：∵AB=AC，∠C=3∴∠B=∠C=3∴∠BAC=120°（三角形的内角和是∵AB⊥AD，∴∠BAD=9∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=12∴∠DAC=∠C=3∴AD=DC=3在Rt△ABD中，∠B=∴BD=2AD=6答：BD的长是6．【点睛】本题考查等腰三角形的性质,关键在于角度和边长的转换.20．（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校考期中）如图，▱ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BE=2，DF=3，求▱ABCD的周长C和面积S．【答案】▱ABCD的周长C=20；▱ABCD的面积S=123【分析】根据平行四边形性质和直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∠B=60°，AE⊥BC，∴∠BAE=30°，∴AB=2BE=4，∴AE=A∵四边形▱ABCD是平行四边形，∴CD=AB=2，∠D=∠B=60°，∴∠DAF=30°，∵DF=3，∴AD=2DF=6，∴BC=AD=6，∴▱ABCD的周长C=AB+▱ABCD的面积S=BC×AE=6×23【点睛】本题考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．21．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，【答案】A处受噪音影响的时间为16秒．【分析】首先过点A作AC⊥MN，求出最短距离AC的长度，然后在MN上取点B、D，使AB=AD=200，根据勾股定理得出BC和CD的长度，即可求出BD，然后计算出时间即可．【详解】解：如图：过点A作AC⊥MN，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米<200米，在MN上取点B、D，使AB=AD=200，当火车在BD上时A处产生噪音影响，∵AC=120米，∴由勾股定理得：BC=AB2−A即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16秒．答：A处受噪音影响的时间为16秒．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．22．（2023春·四川·九年级专题练习）如图，ΔABC为等边三角形，CE=BD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2(1)求证AD=BE；(2)求∠BPQ的度数；(3)求AD的长．【答案】(1)见解析(2)60°(3)14【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，利用SAS可证得ΔABE≅（2）根据三角形全等的性质可得∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°，再利用外角性质即可求解．（3）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得BP=12，再根据AD=BE=BP+PE即可求解．（1）证明：∵Δ∴∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC=BC，∵EC=BD，∴AE=CD，在ΔABE与ΔAB=AC∠BAC=∠ACD∴Δ∴AD=BE．（2）∵Δ∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°，又∵∠BPQ是△ABP的一个外角，∴∠BPQ=∠BAC=60°．（3）∵BQ⊥AD，PQ=6，∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，∴BP=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、三角形外角性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质是解题的关键．23．（2023春·广东茂名·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积．【答案】3【分析】延长BA，CD交于点E，构造直角三角形，根据已知角度和边的长度解直角三角形解出需要的边的长度，利用三角形面积公式计算三角形的面积，即可得到四边形ABCD的面积．【详解】解：如图所示，延长BA，CD交于点E，∵∠BAD=∠C=90°，∠B=60°，∴∠E=30°，∴Rt△ADE中，∴AE=2Rt△BCE中，BE=2BC=4∴CE=B∴四边形ABCD的面积===3故答案为：32【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理以及根据三角形面积公式计算三角形面积的能力．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．24．（2023春·山西太原·八年级成成中学校考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，分别在BC、AC边上取点D、E，且AE=CD，连接AD、BE相交于P，BH⊥AD于H，PH=6，(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求BE的长．【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）由等边三角形的性质得到AB=BC=AC，∠ACB=∠BAC=60°，再由SAS证明（2）根据全等三角形的性质