弦长问题及长度和、差、商、积问题（七大题型）（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新教材新高考）

重难点突破06弦长问题及长度和、差、商、积问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：弦长问题...............................................................2

题型二：长度和问题.............................................................3

题型三：长度差问题.............................................................5

题型四：长度商问题.............................................................6

题型五：长度积问题.............................................................7

题型六：长度的范围与最值问题...................................................8

题型七：长度的定值问题........................................................10

03过关测试....................................................................12

亡法牯自与.柒年

//\\

1、弦长公式的两种形式

①若A,8是直线丫=丘+〃?与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二次方程

px1+qx+r-Q,2

贝&+去2-%2|=7I+^.

②若A,B是直线％=◎+〃与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去％后得到一元二次方程

22

py+qy+r=0,1+m一力

।pi

题型一：弦长问题

2

【典例1-1】已知点耳、工分别椭圆,+>2=1的左、右焦点，过工作倾斜角为］的直线交椭圆于A、B

两点，贝后玄A3的长为.

221

【典例1-2】已知椭圆C：「+与=1(4>6>0)的左、右焦点分别为B,尸2,离心率为工，椭圆C上点M

ab2

满足I町|+L|=4.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)若过坐标原点。(0,0)的直线/交椭圆C于P,。两点，求线段P。长为JIZ时直线/的方程.

【变式山(2。24.海南.模拟预测)已知双曲线C:»3。，…)的实轴长为2后，点小倔

在双曲线C上.

(1)求双曲线c的标准方程；

(2)过点P且斜率为2#的直线与双曲线C的另一个交点为。，求|P0.

【变式1-2］已知抛物线比炉=>0)的焦点为尸(0,2).

⑴求P;

(2)斜率为2的直线过点下，且与抛物线E交于A8两点，求线段A5的长.

【变式1-3】已知动圆过定点(4,0),且在V轴上截得的弦长为8,动圆圆心的轨迹方程为C,已知点

厂(2,0),直线/过点下且与轨迹C交于尸、。两点，且|尸。卜16,求直线/的方程.

题型二：长度和问题

【典例2-1】已知F为抛物线E:/=4y的焦点，过点(0,2)的直线/与抛物线E交于A,B两点，抛

物线E在A3两点处的切线交于点L.

(1)设尸(%,%)是抛物线E上一点，证明：抛物线E在点P处的切线方程为了=芳-%,并利用切线

方程求点L的纵坐标的值；

(2)点C为抛物线E上异于AB的点，过点C作抛物线E的切线，分别与线段AL,BL交于M,N.

⑴若LM=ALA,LN=pLB,求几+〃的值；

(ii)证明：|网+|理+|卜。>|到+|月^+|印|

【典例2-2】(2024.高三.河北承德•开学考试)已知VA5c的内角A,3,C的对边分别为瓦c,面积为

9A/3,c=6,且sinAsinB=sin2c.

(1)证明：VABC为等边三角形;

(2)设54的延长线上一点D满足A9=2,又平面内的动点?满足NPBA=2/上钻20),求

|邙+|£叼的最小值.

22

【变式2-1](2024•宁夏银川・银川一中校考一模)如图所示，由半椭圆£:土+2=1(”0)和两个半圆

4b

222

C2:(x+l)+y=l(y>0)>。3：(*—1)+'2=1(”0)组成曲线。：尸(苍丁)=0,其中点4，&依次为G的左、

右顶点，点3为G的下顶点，点耳鸟依次为G的左、右焦点.若点耳耳分别为曲线。2«3的圆心.

⑴求G的方程；

(2)若过点用，E作两条平行线k3分别与G,C2和G,C3交与M,N和尸,Q,求1MM+|尸。|的最小值.

【变式2-2](2024.河南安阳.安阳一中校联考模拟预测)定义：一般地，当2>0且Xwl时，我们把方程

22222

?+方=彳(°>6>0)表示的椭圆《称为椭圆下方=l(a>b>0)的相似椭圆.已知椭圆C:.+yZ=l,

椭圆C/(彳>0且2大1)是椭圆C的相似椭圆，点尸为椭圆C，上异于其左、右顶点M,N的任意一点.

(1)当4=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线4,4恰好相交于点尸，直线4,4的斜率分别为匕，用，

求左他的值;

(2)当；l=e2(e为椭圆C的离心率)时，设直线与椭圆C交于点A,8,直线PN与椭圆C交于点,

求|AB|+|DE|的值.

题型三：长度差问题

22

【典例3-1】(2024•河南新乡•模拟预测)已知椭圆C：T+2=l(a>b>0)的左、右焦点分别为0B，且

ab

闺门|=2,过点F?作两条直线乙，，直线4与C交于两点，EA8的周长为4应.

(1)求C的方程；

(2)若0月42的面积为：，求《的方程；

(3)若乙与C交于两点，且4的斜率是4的斜率的2倍，求知的最大值.

【典例3-2】已知抛物线C:;/=2px经过点(2,-2#),直线4：y=履+”?(初—0)与C交于A,8两点(异

于坐标原点。).

(1)若0408=0,证明：直线4过定点.

(2)已知左=2,直线4在直线乙的右侧，4与4之间的距离3=有，4交C于N两点，试问是否

存在机，使得若存在，求加的值；若不存在，说明理由.

22

【变式3-1】已知抛物线G：y=4x的焦点为椭圆C2：3+2=1(。>匕>0)的右焦点八点尸为抛物线

ab

G与椭圆c?在第一象限的交点，且旧司=:

⑴求椭圆c2的方程；

(2)若直线/过点凡交抛物线G于A，c两点，交椭圆C?于2,。两点(A,B,C,。依次排序)，且

|AC|-|B£>|=^,求直线/的方程.

题型四：长度商问题

【典例4-1】(2024.内蒙古赤峰.二模)已知点尸为圆。：(》-2)?+y=4上任意一点，A(-2,0),线段外的

垂直平分线交直线PC于点M,设点M的轨迹为曲线H

(1)求曲线〃的方程；

(2)若过点M的直线/与曲线H的两条渐近线交于S,T两点，且M为线段ST的中点.

⑴证明：直线/与曲线H有且仅有一个交点；

21

(ii)求加广后引的取值范围.

【典例4-2](2024.高三.山东德州.开学考试)已知双曲线E焦点在x轴上，离心率为后，且过点(0,4b

直线4与双曲线E交于两点，4的斜率存在且不为0,直线4与双曲线E交于尸，。两点.

(1)若MN的中点为直线所,"N的斜率分别为《论,。为坐标原点，求

1\TP\TN

(2)若直线4与直线4的交点T在直线x=g上，且直线4与直线4的斜率和为0,证明：1^1=—.

【变式4-1】抛物线C的焦点F到准线/的距离为2.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过焦点尸的直线(斜率存在且不为0)交抛物线C于A8两点，线段AB的中垂线交抛物线的对称轴于

FP

点产，求

AB

【变式4-2](2024・湖北黄冈•模拟预测)在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球，在地

22

面上的影子就可能是一个椭圆.已知影子椭圆C:=+2=l(a>b>0),C的上顶点为4两个焦点为月，

ab

F2,离心率为9.过目且垂直于AB的直线与c交于。，E两点，|DE|=6,则3、+一月的最小值

是.

【变式4-3](2024•高三・河北•开学考试)已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为好，对称轴为坐标轴，且

3

经过点(2后

⑴求椭圆E的方程；

CP

(2)若过尸(0,1)的直线交椭圆E于C、。两点，求万万的取值范围.

题型五：长度积问题

22

【典例5-1】(2024・高三・北京海淀•开学考试)已知椭圆(7言+/=1(""0)的右顶点为42,0),上顶点

为8(0,拘.

⑴求椭圆C的方程；

(2)椭圆C的左焦点为E点P为椭圆C上不同于顶点的一点，直线AP,b与y轴的交点分别为若

\OM\-\ON\=^,求点P的横坐标.

【典例5-2】已知抛物线C:Y=2py(p>0),尸为C的焦点，过点尸的直线/与C交于H,/两点，且在

/两点处的切线交于点T,当/与丁轴垂直时，Im1=4.

⑴求C的方程；

(2)证明：|FZHFHHFT|2.

【变式5-1］（2024•高三・江西•开学考试）已知双曲线C：・-1=l（a>0,b>0）其左、右焦点分别为耳，耳,

ab

若国用=12,点4到其渐近线的距离为4应.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设过点B的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,且|的|=|班若|伍|,|知，忸局成

等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由.

【变式5-2］（2024•高三•陕西安康•开学考试）已知动圆的圆心在无轴上，且该动圆经过点

（T0）,（x,0）,（0,y）.

⑴求点（羽田的轨迹c的方程；

⑵设过点E（-I,o）的直线/交轨迹C于A8两点，若A（X0,4）,G为轨迹C上位于点A3之间的一点，点G关

于x轴的对称点为点。，过点B作交A。于点"，求|人〃卜|4。|的最大值.

22

【变式5-3］已知椭圆G樵+5=1（。>"。）的离心率为g且直线4：：+1被椭圆G截得的弦长为

币.

⑴求椭圆G的方程；

（2）以椭圆C1的长轴为直径作圆c”过直线小y=4上的动点”作圆C2的两条切线，设切点为A3,若直

线A5与椭圆CI交于不同的两点C,D,求的取值范围.

题型六：长度的范围与最值问题

22

【典例6-1］（2024.安徽.一模）已知双曲线C：当=1（“>0,。>0）的离心率为2.且经过点（2,3）.

ab

（1）求c的方程;

（2）若直线/与C交于A,8两点，且。4.08=0（点。为坐标原点），求|AB|的取值范围.

22

【典例6-2】（2024・高三・广东•开学考试）我们把各边与椭圆E:二+2=1（。＞6＞0）的对称轴垂直或平行的

ab

E的内接四边形叫做E的内接矩形.如图，已知四边形PQRS是£的一个边长为1的内接正方形，PS,

QR分别与无轴交于片，F2,且耳，尸2为E的两个焦点.

（1）求E的标准方程；

⑵设41=1,2,,100）是四边形PQRS内部的100个不同的点，线段尸。，部与V轴分别交于E2,记

100

〃=£同阖，其中4=1,2,证明：4，4中至少有一个小于25（1+,）.

Z=1

22

【变式6-1］（2024.高三.浙江.开学考试）在直角坐标系xOy中，过椭圆E:，+2=1（。＞6＞0）的右焦点的

ab

直线与E截得的线段长的取值范围是［3,4］.

⑴求E的方程；

（2）已知曲线C:X"+y”=l（x,y,机＞0）的切线/被坐标轴所截的线段长为定值.

Ci）求/与C截得的线段长；

（ii）求/与E截得的线段长的取值范围.

22

【变式6-2］（2024.高三.北京咱主招生）双曲线：土—乙=1有一点。在双曲线上，分别过尸点作渐近线

169

平行线交无轴于A，8,且A在靠近原点的一侧，过A点作x轴垂线交以。8为直径的圆于点C,求|OC|的

取值范围.

22

【变式6-3](2024•新疆・二模)已知椭圆°：土+匕=l(a〉b〉0)的左焦点为尸，C上任意一点到厂的

/b2

距离的最大值和最小值之积为1,离心率为

3

(1)求°的方程；

⑵设过点的直线/与C交于M,N两点,若动点P满足PM=XA/R,PN=-九NR，动点。

在椭圆C上，求|PQ|的最小值.

题型七：长度的定值问题

【典例7-1】(2024•山东济南・三模)如图所示，抛物线y2=2px(0>0)的准线过点(-2,3),

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若角。为锐角，以角。为倾斜角的直线经过抛物线的焦点产，且与抛物线交于4B两点,作线段

的垂直平分线/交无轴于点尸，证明：1尸尸1-1"1«»2«为定值，并求此定值.

22

【典例7-2】已知椭圆c：.+方=ig〉6〉o）的短轴长为2,上顶点为。为坐标原点，A,8为椭

圆C上不同的两点，且当A,0,5三点共线时，直线的斜率之积为

4

（1）求椭圆C的方程；

（2）若△042的面积为1,求的值.

22

【变式7-1］（2024•高三.广东•开学考试）设小鸟为椭圆C：a+}=l（稣6>0）的左、右焦点,点A

在椭圆C上，点A关于原点的对称点为B,四边形A耳3乙的面积为

⑴求椭圆C的方程；

11

（2）若过F2的直线/交椭圆C于两点，求证：而对+同W为定值•

【变式7-2】已知椭圆。：3+==1（。>>>0）过点4一2,0）,且。=力.

ab

⑴求椭圆。的方程；

（2）设。为原点，过点C（l,0）的直线/与椭圆。交于P,。两点，且直线/与x轴不重合，直线AP,AQ分

别与y轴交于N两点.求证|OM|・|ON|为定值.

【变式7-3］（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）如图，在平面直角坐标系尤0y中，双曲线

22

£-==1.>0,6>0）的上下焦点分别为耳（0,。），6（0,-。）.已知点卜，君）和（0,3）都在双曲线上，其

中e为双曲线的离心率.

(1)求双曲线的方程；

(2)设A,B是双曲线上位于》轴右方的两点，且直线A片与直线8耳平行，与8耳交于点P.

⑴若|9|-忸闾=2,求直线A片的斜率；

(ii)求证：|尸国+|尸耳|是定值.

【变式7-4](2024・高三・湖北武汉.开学考试)己知椭圆C:「+/=1(。>6>0)的离心率《=岑，连接四个

顶点所得菱形的面积为4.斜率为左的直线交椭圆于A8两点.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若％=1,求的最大值；

(3)设。为坐标原点，若A8,。三点不共线，且0A03的斜率满足心•无B=%2,求证：lOAf+IOBf为定

值.

力过关测试』

22

1已知斜率为2的直线/经过椭圆十土1的右焦点小与椭圆相交于仆两点，求弦,的长•

22

2.(2024.安徽蚌埠•模拟预测)已知双曲线E:鼻-2=1(。＞0,6＞0)的左顶点是4-1,0),一条渐近线的方

ab

程为y=x.

(1)求双曲线E的离心率；

(2)设直线y=与双曲线E交于点P,Q,求线段P。的长.

2

3.(2024・浙江.模拟预测)已知尸为双曲线C：炉-当=1上一点，。为坐标原点，线段OP的垂直平分线

a

与双曲线C相切.

⑴若点P是直线x=与圆f+y2=2的交点，求①

(2)求|OP|的取值范围.

221

4.已知椭圆C：3+2=1(〃＞匕＞0)的离心率为T，点A,8在椭圆上运动.当直线过椭圆右焦点并

ab2

3

垂直于X轴时，△OAB的面积为5(。为坐标原点).

(1)求椭圆C的标准方程；

3

⑵延长。4到使得。河=3。4,且“8与椭圆C交于点Q,若直线08的斜率之积为-^，求

联的值•

5.在平面直角坐标系中，动点M到。，。)的距离等于到直线％=-1的距离.

(1)求M的轨迹方程；

（2）尸为不在彳轴上的动点，过点P作（1）中M的轨迹的两条切线，切点为A,B；直线与尸。垂直（。

为坐标原点），与无轴的交点为R,与P。的交点为。；

（i）求证：R是一个定点；

PQ

（ii）求亲的最小值.

6.（2024•安徽・模拟预测）已知抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点为F,过点F且互相垂直的两条动直线分

别与E交于点A,B和点C,D,当|45|=|8|时，|蝴=8.

（1）求E的方程；

（2）设线段AB,C。的中点分别为M,N,若直线的斜率为正，且盟=g，求直线A8和CO的方程.

7.（2024.高三.广东.开学考试）已知双曲线「:与-t=l（a>0,b>0）的离心率为亚，焦距为2G.

ab-2

（1）求「的标准方程；

（2）若过点（0,一9作直线/分别交「的左、右两支于A8两点，交r的渐近线于c,。两点，求儒的取值范

围.

8.（2024•河南安阳•一模）如图，已知直线/i：y=6x4：y=—瓜，M是平面内一个动点，MA/4且MA

与4相交于点A（A位于第一象限），MB//llt且MB与4相交于点8（B位于第四象限），若四边形OAAffi

（。为原点）的面积为3.

2

⑴求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点/(2,0)的直线/与C相交于P,。两点，是否存在定直线八x=f,使以PQ为直径的圆与直线”目

交于E,尸两点，且篇为定值，若存在，求出/的方程，若不存在，请说明理由.

22

9.若点网2,@为双曲线C*-*=l(a,b＞0)上一点，必=1,点A为双曲线的右顶点，过点P作直线

/交双曲线C于点Q,