立体几何初步-2025年高考数学一轮复习

专题13立体几何初步

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

维构建・耀蓿陈绐

K空间几何体的结构特征）

题型01空间几何体的结构特征

题型02空间几何体的直观图问题

。知识点-空间几何体的结构特征

K\______________________________________/-（旋转体的结构特征）题型03与球有关的截面问题

题型04与球有关的外接内切问题

L（空间几何体的直观图）

题型01空间几何体的表面积计算

O知识点二空间几何体的表面积和体积柱体'推体'台体侧面积间的关系题型02空间几何体的体积计算

题型03空间几何体的最短路径问题

柱体、锥体、台体体积间的关系

一：四个公理

立

题型01异面直线的判断

）直线与直线的位置关系

体题型02求异面直线所成角

f。知识点三点、直线、平面之间的位置关系题型03共线共点共面的判断证明

几题型04平面基本性质与等角定理应用

直线与平面的位置关系'

何

「两个平面的位置关系

初

步定义题型01线面啊言］证明

判定定理与性质定理

题型02线面平行性质定理的应用

敷题型03面面平行1的证明

知识点四直线、平面平行的判定与性质下面写平面平行（

O题型04面面平行质定理应用

题型05立体几何几何中的截面问题

直线与平面垂直

T1）（判定定理与性质定理,；

T；直线和平面所成的角］题型01线线垂直的证明

题型02线面垂直的证明

知识点五直线、平面垂直的判定与性质:一二面角：题型03面面垂直的证明

T平面与平面垂直；一「平面和平面垂直的定义；题型04空间线面角的求解

题型05空间二面角的求解

一判定定理与性质诞

一垂直关系之间的转化

口双盘点・置；层升米

知识点1空间几何体的结构特征

1、多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

D'

Ac

图形卷

>AB4BAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点，但不一定相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

2、特殊的棱柱和棱锥

（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正

多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.

（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱长均相

等的正三棱锥叫做正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的

中心.

【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱.

（2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台.

（3）注意棱台的所有侧棱相交于一点.

3、旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

图形4@

旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形

任一直角边所在的垂直于底边的腰直径所在的

旋转轴任一边所在的直线

直线所在的直线直线

互相平行且相等，垂直

母线相交于一点延长线交于一点

于底面

轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆

侧面展开图矩形扇形扇环

4、空间几何体的直观图

（1）画法：常用斜二测画法.

（2）规则：

①原图形中无轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，尤釉、y轴的夹角为45。（或135°）,z，轴与7轴和y

轴所在平面垂直.

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保

持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

（3）直观图与原图形面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图=坐5原图物S原图形=2吸S直观图.

知识点2空间几何体的表面积和体积

1、空间几何体的表面积和体积公式

称

表面积体积

几何体

柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+2s底v=s底场

v=gs底

锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+S底

台体（棱台和圆台）S表面积=S侧+S上+S下

42

球S=4兀K兀R

几何体的表面积和侧面积的注意点

①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.

②组合体的表面积应注意重合部分的处理.

2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系

（1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥,

c，=c1c'=01

贝US正棱柱侧=。。'<---------S正棱台侧=5（c+c'）/z'----->S正棱锥侧=2ch，-

（2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，

P=丫y=o

贝!!S圆柱侧=2兀/7<-----S圆台侧卜，）/---------->S圆锥侧=兀力.

3、柱体、锥体、台体体积间的关系

%鸟（5'+后乱5）/>

V^Sh恒住驷

知识点3点、直线、平面之间的位置关系

1、四个公理

（1）公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

【拓展】公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线处上点有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线.

作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据

（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3、直线与直线的位置关系

（1）空间两条直线的位置关系

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点

（2）异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点。作直线alia,b'\\b,把#与》所成的锐角（或直角）

叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

②范围：（0°,90°].

4、直线与平面的位置关系

直线a在平面a外

位置关系直线a在平面a内

直线a与平面a相交直线a与平面a平行

公共点无数个公共点一个公共点没有公共点

符号表示auaAalia

---a

图形表示

5、两个平面的位置关系

位置关系两平面平行两平面相交

公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）

符号表示a\\^aC0=l

^^7

图形表示

%/

知识点4直线、平面平行的判定与性质

1、直线与平面平行

（1）直线与平面平行的定义：直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.

（2）判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

平面外一条直线与此平面内abua,

判定定理

的一条直线平行，则该直线a\\b=〃||a

平行于此平面

一条直线和一个平面平行，

5alia,au0,

性质定理则过这条直线的任一平面与

aC\/3=b^a\\b

此平面的交线与该直线平行

2、平面与平面平行

（1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.

（2）判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面内的两条相交直线与另一aua,bua,P，

判定定理

个平面平行，则这两个平面平行//

两个平面平行，则其中一个平面内的

/X/all.ac.a=>a\\/3

直线平行于另一个平面%/

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平

all夕，aC\y=a,^C\y=b=>a\\b

面相交，那么它们的交线平行

3、平行关系之间的转化

性质定理

»判定定理小HE,-判定定理।

线线平行、、线面平行、、面面平行

性质定理性质定理।

判定定理

在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面

面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的,

不可过于“模式化”.

知识点5直线、平面垂直的判定与性质

1、直线与平面垂直

（1）定义：直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线/与平面a互相垂直.

（2）判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面内的两a,bua、

1

aC\b=O

判定定理条相交直线都垂直，则该直

刁Ila

线与此平面垂直

lib>

垂直于同一个平面的两条直ala]

性质定理-

线平行

2、直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线

垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是

7T

(2)范围：0,2•

3、平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两

条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一个平面的311a]

判定定理

垂线，则这两个平面垂直

两个平面垂直,则一个平面a邛、

IU0

性质定理内垂直于交线的直线与另>=/_La

aC\/S=a

一个平面垂直匚

£Ila>

谨记五个结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

4、垂直关系之间的转化

在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的

转化关系，即:

判定

I1

线线垂直^^二线面垂直^^面面垂直

f■质性质

性质

在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通

过作辅助线来解决.

X重点突破・塞分•必将

重难点01几何法求空间二面角

求二面角大小的一般步骤

（1）作：找出这个平面角；

（2）证：证明这个角是二面角的平面角；

（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小.

【典例1］（23-24高三下•内蒙古锡林郭勒盟•模拟预测）在四面体ABCP中，平面ABC，平面尸AC,^PAC

是直角三角形，PA=PC=4,AB=BC=3,则二面角A—PC-3的正切值为.

【典例2］（23-24高三下•四川成都•模拟预测）如图所示，斜三棱柱ABC-4B|G的各棱长均为2,侧棱B片

1T

与底面ABC所成角为］,且侧面AM4,底面ABC.

514

C

（1）证明：点耳在平面ABC上的射影。为的中点;

⑵求二面角C-4与-8的正切值.

TT

【典例3］（23-24高三下.江西南昌.三模）如图1,四边形ABCD为菱形，ZABC--,E,尸分别为AD,

OC的中点，如图2.将VABC沿AC向上折叠，使得平面ABC,平面ACEE,将ADEF沿E尸向上折叠.使

得平面D£F_L平面ACFE,连接BD.

(1)求证：A,B,D,E四点共面：

(2)求平面AEZ汨与平面FD8C所成角的余弦值.

重难点02外接球和内切球的解题思路

1、求解几何体外接球的半径的思路

(1)根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径，及球心到截面圆的距离d三者的关系

代=/+/求解，其中，确定球心的位置是关键；

(2)将几何体补成长方体，如本例(2),利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长

方体的体对角线长求解.

2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思

维流程是：

第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离

相等且为半径；

第二步作截面：选准最佳角度作截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素间的关系)，达到空间问题平面化的目的；

第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。

【典例1](23-24高三下•陕西榆林.模拟预测)如图，VABC是边长为4的正三角形，。是的中点，沿

4。将VA3c折叠，形成三棱锥A-BCD.当二面角B-AD-C为直二面角时，三棱锥A-BCD外接球的体

积为()

AA

A.5兀B.20TIC.£1工D.22叵

63

【典例2］（23-24高三下•陕西宝鸡•三模）VABC与都是边长为2的正三角形，沿公共边48折叠成

三棱锥且C。长为君，若点A,B,C,。在同一球。的球面上，则球。的表面积为（）

【典例3］（23-24高三下.新疆乌鲁木齐三模）三棱锥A-BCD中，AD,平面ABC,ZBAC=60P,AB=l,

AC=2,AD=4,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（）

A.lOnB.20兀C.25TID.30兀

【典例4］（24-25高三上•江苏南通・月考）如图，在三棱锥尸-ABC中，NAC5=60。，2AC=BC=PB=PC,

平面P3C_L平面ABC,。是3c的中点，PD=4下,则三棱锥尸-ACD的外接球的表面积为（）

重难点03空间几何体中的探索性问题

1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型

①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.

②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么.

2、对命题条件探索的三种方法：

①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明.

②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.

③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.

3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎

情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.

【典例1]（23-24高三上•辽宁•期末）（多选）已知正方体ABC。-A4G2,点P满足

丽=4蔗+〃函',4e[0,1],0,1],下列说法正确的是（）

A.存在无穷多个点P,使得过〃，民尸的平面与正方体的截面是菱形

B.存在唯一一点尸，使得反〃平面AC。

C.存在无穷多个点P,使得APLBQ

D.存在唯一一点P,使得。尸，平面4G。

【典例2]（23-24高三下•上海黄浦・月考）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面平

面ABC。，PA.LPD,PA=PD,E为的中点.

⑴求证：PE1BC；

（2）在线段PC上是否存在点M,使得ZW〃平面PEB?请说明理由

【典例3】⑵3高三下•浙江绍兴・月考）如图'已知三棱台ABC-MG的体积为当‘平面"叫‘平

面BCC4,VABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=2AA=2A4=2BB],

(1)证明：3C，平面AB21A;

(2)求点8到面ACCH的距离；

(3)在线段cq上是否存在点歹，使得二面角尸-AB-C的大小为若存在，求出c尸的长，若不存在，请

0

说明理由.

重难点04空间几何体中的截面问题

作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交

线的过程。

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线

的平行线找到几何体的截面的交线。

【典例11(23-24高三下•河南・月考)在正方体ABCD-A4GQ中，朋=4,P为CQ的中点，E在棱A,A上，

且则过E且与4，垂直的平面截正方体43。0-4耳62所得截面的面积为()

A.6B.8C.12D.16

【典例2](23-24高三下•四川泸州三模)已知正方体ABC。-ABCQ的棱长为2,尸为。Q的中点，过A,

B,尸三点作平面则该正方体的外接球被平面。截得的截面圆的面积为()

137116K14K

A.C.3兀D.

T丁丁

法技巧・逆境学霸

一、求空间几何体表面积的常见类型及思路

1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表

面积；

2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们

的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系

3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、

锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积；

【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加

【典例1］（24-25高三上•广东•三校联合模拟）一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4,高为4,则它的

表面积为（）

A.41nB.42TIC.29宿D.（18+7石）兀

【典例2】（23-24高三下•河南濮阳・模拟预测）正四棱台ABC。-A4G2中，上底面边长为2,下底面边长

为4,若侧面与底面所成的二面角为60。，则该正四棱台的侧面积为（）

A.8B.12C.24D.48

【典例3］（23-24高三下.江苏无锡•模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧

生活.如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为2m,底面半径为4m,。是圆柱下底面的

圆心.若圆锥的侧面与以。为球心，半径为4m的球相切，则圆锥的侧面积为（）

A.8>/5n:m2B.16\/57tm2C.207tm2D.407tm2

二、空间几何体的体积

1、处理空间几何体体积的基本思路

（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高

转换为容易看出并容易求解的高；

（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；

（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘

一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。

2、求体积的常用方法

（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；

（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规

则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；

（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作

为三棱锥的底面进行等体积变换

【典例11（24-25高三上•福建福州•开门考）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2,

则该圆台的体积是（）

70兀7岛

1212

【典例2］（23-24高三下•内蒙古包头•三模）如图，已知正方形ABC。为圆柱的轴截面，AB=BC=2,E,

产为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G,若则三棱锥A-3EF的体积为（）

2后273

r"V

【典例3］（23-24高三下.新疆.二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，

该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体.如图所示，四边形ABCD,ABFE,

CDEV均为等腰梯形，AB//CD//EF,AB=6,CD=8,EF=10,砂到平面ABCO的距离为5,CD^AB

间的距离为10,则这个羡除的体积V=.

三、共线共点共面证明方法

1、证明点或线共面问题的2种方法

（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内;

（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

2、证明点共线问题的2种方法

（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

（2）直接证明这些点都在同一条特定直线（如某两个平面的交线）上.

3、证明线共点问题的常用方法

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

【典例1］（23-24高三下.湖南.二模）如图，在三棱柱中，"尸6"分别为8综久］，4为46

的中点，则下列说法错误的是（）

A.E,£G,H四点共面B.EF//GH

C.EG,尸乩四三线共点D.NEGB[=NFHG

【典例2］（23-24高三上•辽宁•名校联考）点、E、F、G、〃分别在空间四边形ABCD的边AB,2C,CD,D4上,

若EFIIGH,则下列说法中正确的是（）

A.直线与FG一定平行B.直线与尸G一定相交

C.直线£77与FG可能异面D.直线E”与尸G一定共面

JT

【典例3】（23-24高三下高三•全国•专题练习）如图1,四边形ABCD为菱形，ZABC=-,E,尸分别为AO,

DC的中点.如图2,将VABC沿AC向上折叠，使得平面ABC,平面ACFE,将ADEF沿历向上折叠.使

得平面DEF_L平面ACFE.求证：A,8,r>,E四点共面.

四、证明直线与平面平行的方法

1、线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点（不相交）.

2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形

的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线.

3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即a||［3,aua今a||［3；

②两个平面平行,不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即alip,

aCa,aCP，a||a=>a||p.

【典例1］（23-24高三上•广东佛山•月考）如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则

下列各图中，不满足直线MN//平面ABC的是（）

【典例2］（24-25高三上•全国•专题练习）如图，四棱锥尸-ABC。的底面是菱形，平面底面ABCD,

E,尸分别是AB,PC的中点，AB=6,DP=AP=5,440=60°.求证：EF〃平面PAD；

P

【典例3］（23-24高三下.陕西商洛•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形A3CD是矩形，M,N

分别是尸£>和3C的中点，平面E45_L平面ABCD,R1=P3=A5=AD=2.

（1）证明：MN//平面R4B；

（2）求三棱锥M-ABC的体积.

五、证明面面平行的常用方法

1、利用面面平行的定义.

2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

3、利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”.

4、利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”.

5、利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.

【典例1］（23-24高三下高三.全国・专题练习）如图，在圆锥S。中，若轴截面&48是正三角形，C为底面

圆周上一点，尸为线段04上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过。作OE垂直底面于E,连接

OE,EF,DF,CF,CD,且ZCOF=NEFO.求证：平面SCO//平面DEF.

【典例2X23-24高三下•陕西西安・期中）如图，在圆台。。中，A4网为轴截面，==4,A\AB=6Q0,

C为下底面圆周上一点，P为下底面圆。内一点，AE垂直下底面圆。于点E,NCOF=NEFO.

(1)求证：平面OQC〃平面4匹；

(2)若△班'。为等边三角形，求点E到平面4。尸的距离.

【典例3】(23-24高三下•四川泸州三模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是矩形，AB=2,BC=2y/3,

AC与8。交于点。，OP，底面ABCD,0P=6点、E,尸分别是棱PA,的中点，连接OE,OF,EF.

(1)求证：平面。EF〃平面PCD；

(2)求三棱锥ABE的体积.

六、证明线面垂直的方法

1、线面垂直的判定定理：/la,lib,aua,bca,aCb=P』La.

2、面面垂直的性质定理：a邛,aC0=l,aua,aU=a邛.

3、性质：①a||b,6_La=ala；②a||£,a邛nala.

4、aly,£1〉,anS=/=/_L/(客观题可用)

【典例1](23-24高三下.江西.月考改编)如图，在三棱锥P-ABC中，ARIB是等边三角形,

AC_LA8,AC=N8,点。在BC上，即=或),尸。_1平面9£).证明：AD_L平面PB.

【典例2］（23-24高三下.湖南・月考）如图所示，正四棱锥尸-ABCD中，AB=3垃,PA=3#,M,N济别为

PA,PC的中点，PE=2BE,平面EW与PD交于G.证明：PD_L平面EMGN.

【典例3］（23-24高三下•广东•二模改编）如图，在直三棱柱ABC-A耳G中，点£）是CQ的中点,

AC=BC,A4=AB.证明：4耳，平面480.

B

七、证明面面垂直的两种方法

法1:利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面

角为直角问题；

法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线

垂直加以解决。

【典例1](22-23高三上•江西南昌・月考)如图，长方体ABCO-ASGQ中，底面ABC。是正方形,

AAj=2AB=2,E是。A上的一点且=g.

(1)求证：平面平面AEC；

(2)求三棱锥4-ACE的体积.

【典例21(23-24高三下・四川资阳・二模)如图，在四面体ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=2,BC±BD,

E,E分别为AB,AC的中点.

（1）证明：平面ACD_L平面BCD；

（2）求点A到平面BDF的距离.

【典例3］（23-24高三下•安徽.三模改编）如图，在三棱锥S-4JC中，BC，AC,SA=SB=SC,M,N分别为

棱SA,SC的中点.证明：平面平面A2C.

八、平移法求异面直线所成角的步骤

第一步平移：平移的方法一般有三种类型：（1）利用图中已有的平行线平移；（2）利用特殊点（线段的端点或中

点）作平行线平移；（3）补形平移

第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角

第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之

第四步取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是0。〈生90。，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为

异面直线所成的角

【典例1］（23-24高三下•云南.二模）如图，在正方体ABCD-A瓦C2中，E、F、M,N分别是

DR、D£、BC、8用的中点，则异面直线EF与所成角的大小为（）

7171c兀

A.—c.D.-

6-72

【典例2］（23-24高三下.河北保定・月考）如图,正三棱柱ABC-A与G的各棱长相等，。为A4的中点,

则异面直线46与CQ所成角的余弦值为（）

B.4£

C.D.0

A-T2

【典例3］（23-2