云南省曲靖市某中学2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

云南省曲靖市曲靖一中沾益清源高级中学2023-2024学年高一

下学期期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数2=5i+（2-i）2,贝ijz在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设点。是正三角形4BC的中心，则向量前，的，函是（）

A.相同的向量B.模相等的向量

C.共线向量D.共起点的向量

3.抽样统计某位学生10次的英语成绩分别为86,84,88,86,89,89,88,87,85,91,

则该学生这10次成绩的50%分位数为（）

A.88.5B.89C.91D.87.5

4.下列叙述中，错误的是（）

A.数据的标准差比较小时，数据比较分散

B.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响

C.数据的极差反映了数据的集中程度

D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变

5.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，MF（C）=0.8,P（5）=0.3,则P（/U8）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

6.若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（）

2799

A.-7iB.—71C.34D.—万

424

7.已知cos[+t）=t，贝ljsin（2aj]=（）

77^33

A.-B.—C.—D.—

8888

8.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高小胡同学先在塔的正西方

点C处测得塔顶的仰角为45。，然后从点C处沿南偏东30。方向前进140米到达点。处，在

。处测得塔顶的仰角为30°,则铁塔N8的高度是（）

试卷第1页，共4页

A

C.90米D.100米

二、多选题

9.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）

A.调查某市小学生每天的运动时间

B.某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查

C.农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量

D.调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况

10.已知复数z=2-i,W为z的共朝复数，则下列各选项正确的是（）

A.z是虚数B.W的虚部为-i

C.z>zD.|z|-|z|=5

11.在V4BC中,内角4民C所对的边分别为a,6,c,其中”=2右，S.b2+c2-I2=bc,则

下列说法正确的是（）

A.A=-

3

B.V48c面积的最大值为述

2

C.若。为边8C的中点，则40的最大值为3

D.若V/8C为锐角三角形，则其周长的取值范围为（6+26,66]

三、填空题

12.已知向量7=（m,一3）,6-（-1,2）,若万则同=.

13.已知四位数4521,任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为.

14.在一个底面直径为12cm,高为18cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm,加

试卷第2页，共4页

入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm,则球型小钢珠的半径为<

四、解答题

15.已知0<tz<%,costz=——^―•

(1)求sin2a,cos2a的值；

(2)求sin[2a+：)的值.

16.在V48C中，内角42,C的对边分别为a,6,c,向量而=(6。力),万=(3cos/,sinB)且

m//n.

⑴求角A；

(2)若。=J7,c=2,求VN3C内切圆的半径.

17.如图，在直四棱柱N2CD-44G〃中，底面/BCD为菱形，£是线段4c上的一点.

(2)若BE，/。，求证：平面4DCL平面以阳.

18.举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.

为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每

队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲、乙两个班级的代表队在

决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为：，乙队两人回答问题正确的概率分别为

2

21

j,-,且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.

(1)求甲队总得分为1分的概率；

(2)求两队积分相同的概率.

19.如图，四棱锥的底面4BC。是边长为2的菱形，尸/，底面/8O

ZBAD=12Q°,E,尸分别是CD,PC的中点，AP=4.

试卷第3页，共4页

(1)求四棱锥尸-N8CE的体积；

(2)求8尸与底面48CD所成角的正切值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ABDADAAAACAD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】利用复数的乘方运算和加减法法则计算出z=3+i,得到对应的点坐标，得到答案.

【详解】z=5i+（2-i）2=5i+4-4i-l=3+i,故z在复平面内对应的点坐标为（3,1）,

所以z在复平面内对应的点在第一象限.

故选：A.

2.B

【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判

断得解

【详解】是正V/5C的中心，向量而，砺，玩分别是以三角形的中心和顶点为起点和终

点的向量，

。到三个顶点的距离相等|"^|=超0，但向量与，的，函不是相同向量，也

不是共线向量，也不是起点相同的向量.

故选：B

3.D

【分析】该学生10次的英语成绩从小到大排列，即可求出该学生这10次成绩的50%分位

数.

【详解】该学生10次的英语成绩从小到大分别为84,85,86,86,87,88,88,89,89,91.

又10x50%=5,这10次成绩的50%分位数为------=87.5.

2

故选：D.

4.A

【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误；

样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故B正确；

数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确；

答案第1页，共8页

任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确.

故选：A.

5.D

【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.

【详解】由A和C对立，P（C）=0.8,可得P（/）+P（C）=l,解得尸（/）=0.2,

又由随机事件A和8互斥可知尸（/切=0,

由尸尸（1）+尸（3）—尸（48）,

将尸（/）=0.2,尸（8）=0.3代入计算可得P（/UB）=0.5.

故选：D.

6.A

【分析】先求得圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积公式求解即可

【详解】由题可知，该圆锥的底面半径为3,因此，该圆锥表面积为"xd+%x』x3=2%

2024

故选：A

7.A

【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案.

【详解】设&+则a=3cos/=±sin（加一71]=sin2\t-—=sin|2z-A

'664I6）V6J6J<2）

=-cos2r=-（2cos1-l）=-2x-1=

故选：A

8.A

【分析】先由题意得出BC=48,AD=6/B，ZADB=300,CD=l40,再在△BCD中，由

余弦定理即可求解.

【详解】由题//C5=45°,NBCD=90°-30°=60°,/ADB=30°,CD=140,

所以BC=AB,AD=2AB,BD=囱AB,

故在ABCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-7.BC-CDcosZBCD,

答案第2页，共8页

所以3AB2=AB2+1402-280/2cos60°即AB2+70AB-9800=0，

n4B=-140（舍去）或48=70,故铁塔42的高度是70米.

故选：A.

9.AC

【分析】根据普查和抽样调查各自的特点进行选择.

【详解】A.调查某市小学生每天的运动时间的工作量很大，抽样调查；

B.某公司初步发现一位职员患有甲肝，甲肝具有传染性，危害大，对此公司职员进行检查

适合普查的方式；

C.农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量适合采用抽样调查；

D.调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况适合普查的方式；

故选：AC.

10.AD

【分析】结合复数及共辗复数的概念，复数模的公式，复数的几何意义，即可求解.

【详解】因为z=2-i,所以W=2+i，

A选项中，由于z=2-i虚部不为0,所以z是虚数，A正确；

B选项中，W=2+i的虚部为1，B错误；

C选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C错误；

22z5

D选项中，闰=也+F=5|Z|=^2+（-1）=45,|z|-|l='D正确.

故选：AD.

11.ACD

【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B,用面积公式，结合基本不等式可解；对于C,用

两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D,周长问题，边化角，用

三角函数解题.

【详解】对于A,由题意可知〃+c2-12=尸+,2-/=儿，利用余弦定理得，

cos"""。、JL因为/€（0,兀），所以/=[故A正确；

2bc273

对于B,由上述可知，V/BC的面积56csi必=也，c,且易知/+c?-12=6c24c-12,

24

解出12W6c,当且仅当b=c=2行时取等号，止匕时5=心儿=3后，故B错误；

4

对于C,在和A/CD中，对/ND3和-4OC利用余弦定理，

答案第3页，共8页

BD』D2TB；CD2+4D2TC2,化简后有幺加=3+、，由B知，儿的最大值为

2.BDAD2CDAD2

12,因此4D最大为3,故C正确；

对于D,利用正弦定理，—=—=—=4,贝！|6=4sin8,c=4sinC,于是VNBC的周

sin5sinCSIIM

长£=2百+4sin5+4sinC=273+46sin/+，

997TTT

由于是锐角三角形，因此即c解出

八小兀八2兀「兀62

0<C<—,0<------B<一,

[2132

则8+(呜争则sin(B+)(孝,1],则八(6+2石,6町故D正确.

故选：ACD.

12.375

【分析】根据a_L1=拓%2+%%=0和卜卜J%?+/代入计算整理.

【详解】因为向量〃=(加，-3),6=(-1,2),且5_Lb,所以-加+(-6)=0,解得加=一6,

H=J(-6)2+(-3)2=375.

故答案为：36.

13.—/0.5

2

【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】4521任意交换两个数的位置之后有：5421,2541,1524,4251,4125,4512,

共6种，

两个奇数相邻有1524,4251,4512共3种，

所以两个奇数相邻的概率为g.

2

故答案为：:

2

14.3

4

【分析】由题意可得§兀*=36兀，求解即可.

【详解】设球型小钢珠的半径为E,

上升水柱的体积/=7ir2-h=36兀，

答案第4页，共8页

4,

所以嚷=5■或=36兀,

R3=27,

R=3.

故答案为：3.

437F)

15.(1)sin2a=——,cos2a=——；(2)-------.

5510

【分析】(1)由已知条件和同角三角函数求得sin。，再运用正弦、余弦的二倍角公式可得

答案;

(2)根据(1)的结论和正弦的和角公式可求得答案.

【详解】解：(1)因为0<a<;r,cosa=-4^,所以sina=R^,

55

4

所以sin2a=2sinacoscr=

5

5L__3

cos2a=2cos26if-l=2x

5),5

7V2

(2)sin2a+—=sin2acos—+cos2asin—=——

I4)442

【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦、余弦函数的二倍角公式，正弦的和角公式,

属于基础题.

16.(l)^=y;

5V3-VH

【分析】(1)根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得tan/,即可求得A；

(2)利用余弦定理求得6,利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径.

【详解】(1)因为向量玩=(&,6)与力=(3cos/,sinS)平行，所以扃sinB-36cos/=0,

由正弦定理得由sin4sin5-3sin5cosz4=0,

又sinBw0,所以由sio4-3cos=0,所以tair4=V3,

又/£(0,兀)，所以

(2)由余弦定理得/=〃+/一2cbeosZ,所以7=加+2?-26,解得6=3或6=-1(舍)，

答案第5页，共8页

所以VABC的面积S=—fecsirU=2".

22

设V/5c内切圆的半径为小

所以S=；(Q+6+C)/=；X(2+3+⑺”解得一”

17.(1)证明见解析;

(2)证明见解析.

【分析】(1)证明线面平行，只需在平面8DE内找到一条直线与回平行即可;

(2)证明面面垂直，只需证明线面垂直，只需证明线线垂直即可.

【详解】(1)连接/C,交2。于点O,连接£。，如图所示.

因为底面/BCD为菱形，所以。是/C的中点，又4E=EC,所以£O|M4，

又EOu平面8DE,44]0平面所以叫〃平面；

(2)在直四棱柱48co-44GA中，44]_L平面4BCD,

因为BDu平面4BCD,所以/4_L5。，

又底面ABC。为菱形，所以NCSM),

又44|n』C=/,AAt,ZCu平面//C,所以AD2平面4/C,

又同Cu平面4/C,所以

又BE工AC,BEcBD=B,BE,BDu平面BDE,所以4。，平面8。£,

又4CU平面4DC,所以平面4DCJ■平面3DE.

1

18.(D-

答案第6页，共8页

【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件

概率乘法公式运算求解；

（2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合

独立事件概率乘法公式运算求解.

【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答

错误，

所以尸=+

（2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为9,1J,

424

252

乙队积0分，I分，2分的概率分别为5,

记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件民C,D,

因为两队得分相互独立，互不影响,

则尸(3)=LX2=L,P