2022年新高考北京数学高考真题变式题19-21题-(学生版+解析)

2022年新高考北京数学高考真题变式题19-21题原题191．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．变式题1基础2．已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.变式题2基础3．已知椭圆：过点，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线被椭圆截得的弦长为，求的值.变式题3基础4．已知椭圆的离心率为，上顶点为．(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．变式题4基础5．已知椭圆E经过点和点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.变式题5巩固6．已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值．变式题6巩固7．已知椭圆的焦距为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且、、成等比数列，求的值.变式题7巩固8．已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线被椭圆截得的弦长等于短轴长，求的值.变式题8巩固9．已知椭圆的离心率为，左顶点为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆在第一象限的交点为，过点A的直线与椭圆交于点，若，且（为原点），求的值.变式题9提升10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.变式题10提升11．设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.变式题11提升12．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.变式题12提升13．已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的轨迹方程；(2)直线与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），斜率为k的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与G的位置无关，求k的值．原题2014．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．变式题1基础15．设函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若直线是函数的切线，求实数的值；（3）当时，证明：.变式题2基础16．已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.变式题3基础17．已知函数，且曲线在处的切线平行于直线．（1）求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小．变式题4基础18．设函数.(1)若，求在点处的切线方程；(2)求的单调递减区间；(3)求证：不等式恒成立.变式题5巩固19．已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若关于x的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：变式题6巩固20．已知函数（1）若曲线在点处的切线与轴平行.（i）求的值；（ii）求函数的单调区间；（2）若，求证：.变式题7巩固21．已知函数，g.(1)求在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)当时，求证：.变式题8巩固22．已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点,处的切线与轴平行．(1)求的值；(2)求的单调区间；(3)设，其中为的导函数．证明：对任意，．变式题9提升23．形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，求的单调区间；（3）求证：恒成立.变式题10提升24．已知函数，为的导函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）当时，求证：对任意的，，且，有．变式题11提升25．已知函数，．（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的实数，，，都有恒成立．变式题12提升26．已知直线是函数图象的切线，也是曲线的切线．(1)求，的值；(2)证明：当,,时，；(3)当时，讨论函数的单调性．原题2127．已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若为连续可表数列，且，求证：．变式题1基础28．对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．(1)已知，，且，若数列和满足：，且，；①若，求的取值范围；②求证：数列是“拟等比数列”；(2)已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．变式题2基础29．从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．(1)若，，写出数列前项的所有可能情况；(2)求证：数列存在无穷递增子列；(3)求证：对于任意实数，都存在，使得．变式题3基础30．已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令

，并将数列称为的“生成数列”．(1)若，求数列的前项和；(2)设数列的“生成数列”为，求证：；(3)若是等比数列，证明：存在正整数，当时，

是等比数列．变式题4基础31．给定正整数m，数列，且.对数列A进行T操作，得到数列.(1)若，，，，求数列；(2)若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值；(3)若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.变式题5巩固32．对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列．(1)若，写出，并求；(2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：(3)若数列满足，求数列A的个数．变式题6巩固33．已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.(1)若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；(2)若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；(3)若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.变式题7巩固34．已知数列为无穷递增数列，且．定义：数列：表示满足的所有i中最大的一个．数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…）(1)若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值；(2)若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值；(3)若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列．变式题8巩固35．已知无穷数列满足：①；②（；；）.设为所能取到的最大值，并记数列.(1)若，写出一个符合条件的数列A的通项公式；(2)若，求的值；(3)若，求数列的前100项和.变式题9提升36．若数列满足，则称为E数列.记.(1)写出一个满足，且的E数列；(2)若，，证明E数列是递减数列的充要条件是；(3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.变式题10提升37．已知数列，给出两个性质：①对于任意的，存在，当时，都有成立；②对于任意的，存在，当时，都有成立．(1)已知数列满足性质①，且，，试写出的值；(2)已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；(3)若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．变式题11提升38．对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作．(1)若序列为1，2，3，求；(2)若序列为1，2，…，n，求；(3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由．变式题12提升39．已知数列为有限数列，满足，则称满足性质.(1)判断数列和是否具有性质，请说明理由；(2)若，公比为的等比数列，项数为12，具有性质，求的取值范围；(3)若是的一个排列符合都具有性质，求所有满足条件的数列.2022年新高考北京数学高考真题变式题19-21题原题191．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．变式题1基础2．已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.变式题2基础3．已知椭圆：过点，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线被椭圆截得的弦长为，求的值.变式题3基础4．已知椭圆的离心率为，上顶点为．(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．变式题4基础5．已知椭圆E经过点和点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.变式题5巩固6．已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值．变式题6巩固7．已知椭圆的焦距为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且、、成等比数列，求的值.变式题7巩固8．已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线被椭圆截得的弦长等于短轴长，求的值.变式题8巩固9．已知椭圆的离心率为，左顶点为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆在第一象限的交点为，过点A的直线与椭圆交于点，若，且（为原点），求的值.变式题9提升10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.变式题10提升11．设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.变式题11提升12．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.变式题12提升13．已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的轨迹方程；(2)直线与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），斜率为k的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与G的位置无关，求k的值．原题2014．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．变式题1基础15．设函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若直线是函数的切线，求实数的值；（3）当时，证明：.变式题2基础16．已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.变式题3基础17．已知函数，且曲线在处的切线平行于直线．（1）求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小．变式题4基础18．设函数.(1)若，求在点处的切线方程；(2)求的单调递减区间；(3)求证：不等式恒成立.变式题5巩固19．已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若关于x的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：变式题6巩固20．已知函数（1）若曲线在点处的切线与轴平行.（i）求的值；（ii）求函数的单调区间；（2）若，求证：.变式题7巩固21．已知函数，g.(1)求在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)当时，求证：.变式题8巩固22．已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点,处的切线与轴平行．(1)求的值；(2)求的单调区间；(3)设，其中为的导函数．证明：对任意，．变式题9提升23．形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，求的单调区间；（3）求证：恒成立.变式题10提升24．已知函数，为的导函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）当时，求证：对任意的，，且，有．变式题11提升25．已知函数，．（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的实数，，，都有恒成立．变式题12提升26．已知直线是函数图象的切线，也是曲线的切线．(1)求，的值；(2)证明：当,,时，；(3)当时，讨论函数的单调性．原题2127．已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若为连续可表数列，且，求证：．变式题1基础28．对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．(1)已知，，且，若数列和满足：，且，；①若，求的取值范围；②求证：数列是“拟等比数列”；(2)已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．变式题2基础29．从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．(1)若，，写出数列前项的所有可能情况；(2)求证：数列存在无穷递增子列；(3)求证：对于任意实数，都存在，使得．变式题3基础30．已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令

，并将数列称为的“生成数列”．(1)若，求数列的前项和；(2)设数列的“生成数列”为，求证：；(3)若是等比数列，证明：存在正整数，当时，

是等比数列．变式题4基础31．给定正整数m，数列，且.对数列A进行T操作，得到数列.(1)若，，，，求数列；(2)若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值；(3)若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.变式题5巩固32．对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列．(1)若，写出，并求；(2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：(3)若数列满足，求数列A的个数．变式题6巩固33．已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.(1)若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；(2)若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；(3)若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.变式题7巩固34．已知数列为无穷递增数列，且．定义：数列：表示满足的所有i中最大的一个．数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…）(1)若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值；(2)若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值；(3)若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列．变式题8巩固35．已知无穷数列满足：①；②（；；）.设为所能取到的最大值，并记数列.(1)若，写出一个符合条件的数列A的通项公式；(2)若，求的值；(3)若，求数列的前100项和.变式题9提升36．若数列满足，则称为E数列.记.(1)写出一个满足，且的E数列；(2)若，，证明E数列是递减数列的充要条件是；(3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.变式题10提升37．已知数列，给出两个性质：①对于任意的，存在，当时，都有成立；②对于任意的，存在，当时，都有成立．(1)已知数列满足性质①，且，，试写出的值；(2)已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；(3)若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．变式题11提升38．对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作．(1)若序列为1，2，3，求；(2)若序列为1，2，…，n，求；(3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由．变式题12提升39．已知数列为有限数列，满足，则称满足性质.(1)判断数列和是否具有性质，请说明理由；(2)若，公比为的等比数列，项数为12，具有性质，求的取值范围；(3)若是的一个排列符合都具有性质，求所有满足条件的数列.参考答案：1．(1)(2)【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；（1）解：依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为；（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得2．（1），（2）.【分析】（1）由条件可得，然后由椭圆的定义可求出答案；（2）设，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出，然后利用求出的值即可.【详解】（1）由条件可得所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，设其方程为所以，所以所以方程为（2）设联立可得所以由得因为所以可解得3．(1)；(2).【分析】(1)根据给定条件可得椭圆长半轴长a，由离心率求出半焦距c即可计算作答.(2)联立直线与椭圆方程，结合弦长公式计算作答.（1）依题意得，因离心率为，则椭圆半焦距，于是得，所以椭圆E的方程为.（2）设直线与椭圆E的交点为(，)，(，)，由消去y并整理得：，解得，依题意，即，整理得：，即，解得，即，所以的值是.4．(1)(2)【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值．（1）由离心率，则，又上顶点，知，又，可知，，∴椭圆E的方程为；（2）设直线l：，设，，则，整理得：，，即，∴，，∴，即，解得：或（舍去）∴5．(1)(2)或【分析】（1）由于不确定椭圆焦点的位置，故设椭圆方程为，（t，且），将已知的两点坐标代入，求得答案；（2）设直线方程，根据与圆相切，求得参数间的关系，再将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用弦长公式得到关于参数的方程，解方程组，可得答案.（1）设椭圆E方程为，（t，且）将点代入椭圆方程得到,解得，所以椭圆的标准方程为.（2）不妨设直线l的方程为,因为该直线与圆相切，所以，所以，将直线方程代入椭圆方程并消去x得，则,，所以，联立，解得，即或，则直线l的方程为或.6．（1）；（2）．【分析】（1）设椭圆的方程为，焦距为，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出、的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设、、、，将直线的方程分别与椭圆、联立，列出韦达定理，分析得出，可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.【详解】（1）设椭圆的方程为，焦距为，将代入的方程可得，解得.由题意得，解得，因此的方程为；（2）设、、、，由，得（或），与、相交，只需当时，，解得.当时，，由韦达定理可得，所以，与的中点相同，所以，，即，整理可得，解得，满足条件.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.7．（1）；（2）.【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）由（1）可知直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，根据已知条件得出，求出的值，进而可求得的值.【详解】（1）由已知，即有，由已知条件可得，解得，因此，椭圆的方程为；（2）由（1）得直线的方程为，联立，消去可得，解得，则，依题意且，因为、、成等比数列，则，则.当时，则有，该方程无解；当时，则，解得，所以，解得，所以，当、、成等比数列时，.8．（1）;（2）.【分析】（1）选①：由点在椭圆上并代入椭圆方程求出椭圆参数，进而写出椭圆方程；选②：由圆的性质知：△为等腰三角形，结合可得，根据椭圆的定义写出椭圆方程.（2）设交点，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求、，由相交弦的弦长公式及短轴长列方程求m值即可..【详解】（1）选①：由已知，将代入椭圆方程得：故椭圆方程为：选②：由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，∴，又，即，∴，则，∵，∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，∴的轨迹方程为.（2）联立与椭圆方程可得：，且，若交点为，则，，∴直线被椭圆截得的弦长为，而短轴长为2，∴，解得.9．(1)(2)【分析】（1）根据题意求出，从而可得出答案；（2）设直线与椭圆得另一个交点为，，易知直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，再根据两点间的距离公式求得，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求得，再根据弦长公式求得，结合易知即可得出答案.（1）解：由题意得，故，所以，所以椭圆的方程为；（2）解：设直线与椭圆得另一个交点为，设，因为，则直线的方程为，联立，消整理得，则，所以，则，所以，联立，消整理得，则，所以，因为，所以，解得，又，所以.10．（1）；（2）或.【分析】(1)由椭圆离心率结合化简方程，设，由最大值为4即可作答；(2)设直线AB斜率k，写出直线AB方程，联立直线AB与椭圆C的方程组，消去y得关于x的一元二次方程，用判别式和求出k的范围，再借助及点P在椭圆上建立起t与k的关系而得解.【详解】（1）椭圆C的半焦距c，，即，则椭圆方程为，即，设，则，当时，有最大值，即，解得，，故椭圆方程是；（2）设，，，直线AB的方程为，由，整理得，则，解得，，，因且，则，于是有，化简，得，则，即，所以，由得，则，，而点P在椭圆上，即，化简得，从而有，而，于是得，解得或，故实数t的取值范围为或.11．（1）；（2）.【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据平面向量数量积坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】解：（1）由题意可得，，当时，，所以得：，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知，，，，过点且斜率为的直线方程为，联立方程，可得，设，，则，，故，又，，，，所以，整理可得，解得.【点睛】关键点睛：根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解是解题的关键.12．(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由题意，列的方程组，从而得椭圆方程；（2）联立直线与椭圆的方程，得一元二次方程，根据判别式大于零求解，写出韦达定理，从而点的坐标，表示出直线，表示出点的坐标，从而表示出，列式求解得，可判断出不存在.（1）由题意可得，解得，.故椭圆C的标准方程为.（2）设，，.联立，整理得，则，解得，从而，.因为M是线段PQ的中点，所以，则，故.直线的方程为，即.令，得，则，所以.因为，所以，解得.因为，所以不存在满足条件的.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．13．(1)(2)【分析】（1）设，，由已知得到，将已知向量等式进行坐标化得到并代入上式即可得到答案；（2）设点，由两点间距离公式得到，设直线的方程为，将直线的方程代入曲线C的方程，利用弦长公式求得进行计算即可.（1）设，，则．设，则，．由题意，得解得所以，化简得，即曲线C的方程为．（2）由题意并结合（1）易知（不妨设点A在第一象限内），，．设点，其中，则，，所以．因为斜率为k的直线经过点G，所以直线的方程为．将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理，得．设，，则，，所以，所以．因为的值与m的值无关，所以，解得．14．(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）解：因为，

所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.（3）解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.15．（1）在区间上单调递增.（2）（3）见证明【分析】（1）先由解析式，得到函数定义域，对函数求导，根据，即可得出结果；（2）先设切点为，根据切线方程为，得到，再对函数求导，得到，设，用导数方法研究其单调性，得到最值，即可求出结果；（3）先对函数求导，设，用导数方法研究单调性，进而可判断出单调性，即可得出结论成立.【详解】解：（1）函数的定义域为.因为，所以，所以在区间上单调递增.（2）设切点为，则，因为，所以，得，所以.设，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以.因为方程仅有一解，所以.（3）因为，设，则，所以在单调递增.因为，，所以存在，使得.当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以.因为，所以，，所以.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.16．（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.【分析】（1）当时，，求得其导函数，，可求得函数的图象在处的切线方程；（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；（3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.【详解】（1）当时，，所以，，所以函数的图象在处的切线方程为，即；（2）由已知得，，令，得，所以当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数；（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，所以，且时，，当时，，，所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，则，当时，所以，在上单调递减，且，，由，在上单调递增，.所以.【点睛】本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.17．（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是；（3）【分析】（1）曲线在处的切线平行于直线，利用导数的几何意义可知，由此即可求出结果；（2）由（1）可知，，再利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果；（3）求出函数的导数，可得，作差比较与，作差可得，再构造辅助函数，通过函数的导数，求解函数的最值，即可求出结果．【详解】（1）的定义域为．曲线在处的切线平行于直线，，．（2），．当时，是增函数；当时，是减函数．函数的单调增区间是，单调减区间是．（3），，．又，．设，则，在上是增函数．令，不妨设，，，即．又，，．【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及导数在函数函数单调性和最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程；（2）求导后，根据时，可得单调递减区间；（3）设，将问题转化为证明；利用导数可说明，使得在上单调递减，在上单调递增，由此可得，结合基本不等式可知，由此得，由此可得结论.（1）当时，，，，又，在点处的切线方程为：，即.（2）由题意得：定义域为，；令，解得：，当时，；当时，；的单调递减区间为.（3）设，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，使得，则，，在上单调递减，在上单调递增，（当且仅当时取等号），又，，，即恒成立.19．（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明见解析.【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；（2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；（3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证．【详解】（1），，，，所以在点处的切线方程为，整理得：，（2）函数定义域为，当时，，此时在上单调递增；当时，令，得，此时在上，单调递减，在上，单调递增，综上：时，在上单调递增时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明：由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，则要证，即证，即证，而，则，否则方程不成立），所以即证，化简得，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），而，所以，所以，得证．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可.20．（1）（i），（ii）单增区间为，单递减区间为；（2）证明见解析.【分析】（1）（i）计算，令可得的值；（ii）定义域为，，构造函数，利用导数判断在上单调递减，且，进而可得以及的解集，即可求解；（2）要证明不等式可转化为，令，只需证明，利用导数判断的单调性，证明即可.【详解】（1）（i）定义域为，由可得，因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，可得：，（ii）当时，，，令，则，所以在上单调递减，且，所以当时，，；当时，，；所以单增区间为，单递减区间为；（2）要证明，即证，等价于令，只需证明，，，由得有异号的两根，令其正根为，则，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，所以，，可得，所以，即.【点睛】利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.21．(1)(2)当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(3)证明见解析【分析】（1）求导后，求出，进而用点斜式求出切线方程；（2）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求出的单调性；（3）对不等式进行放缩，证明出，问题转化为证明，构造函数，利用导函数进行研究其单调性和最值，二次求导得到结论.（1）定义域为，，则，所以在点处的切线方程为：，即（2）定义域为R，，当时，恒成立，在R上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）令，，，当时，，单调递减，故，即，故，令，，其中，则，令，则，令，解得：，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，由于，故，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以，证毕.【点睛】利用导函数证明不等式，要根据不等式特点进行适当放缩，本题当中，同时出现了指数函数与对数函数，要么使用同构转化，要么进行放缩，本题中使用了在时，的常用放缩.22．(1)；(2)在递增，在递减；(3)证明见解析.【分析】（1）由题设求导函数，再由求参数k值.（2）由（1）得且，构造函数，结合导数研究的符号，进而求的单调区间.（3）由题设只需证在上恒成立，由（2）易得，再构造并应用导数判断的大小关系，即可证结论.（1）由题设，，，又在,处的切线与轴平行，即，.（2）由（1）得：，，令，，当时，，当时，，又，时，，时，，在递增，在递减；（3）由，即，，，，由（2），对于，，，，时，递增，,时，递减，，即，设，则，时，递增，即，则，综上，，故，，得证．【点睛】关键点点睛：第三问，应用分析法转化为证明在上恒成立，结合（2）中的单调性得到，再判断的大小关系.23．（1）；（2）的单调增区间为，无单调减区间；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题中所给幂指函数的导数公式，求得，结合，利用点斜式即可得到切线方程；（2）由幂指函数的导数公式求得，再利用导数的计算公式，求得，判断导函数的正负，即可得到函数的单调性；（3）构造函数，对该函数进行二次求导，利用导数判断的单调性，从而求得其最小值，即可证明.【详解】（1）由幂指函数导数公式得，所以，又，所以，曲线在处的切线方程为.（2），则，所以的单调增区间为，无单调减区间.（3）构造，，则，令，所以，因为与同号，所以，所以，又，所以，所以即为上增函数，又因为，所以，当时，；当时，.所以，为上减函数，为上增函数，所以，，即，因此，恒成立，即证.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，以及利用导数研究函数的单调性，以及研究不等式恒成立问题，属综合困难题.24．（1）；（2）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值；（3）证明见解析．【解析】（1）求出导数后可得切线斜率，从而得切线方程；（2）求出导函数，求出的解，确定的正负，得的单调区间，极值．（3）求出，设，不等式变形为，而，设令，．利用导数证明，这样由已知条件可得．结合（2）可证得结论成立．【详解】解：（1）当时，，．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．

（2）依题意，．从而可得，整理可得：，令，解得．当x变化时，的变化情况如下表：x-0+单调递减极小值单调递增所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．

（3）证明：由，得．对任意的，，且，令，则．

①

令，．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．因为，，，所以．

②

由（2）可知，当时，，即，故

③由①②③可得．所以，当时，任意的，且，有．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间和极值，证明不等式．解题关键是不等式的变形，一是去分母，二是引入参数，这是关键所在，这样可把不等式的证明分解为：，，后者用导数进行证明，前者直接因式分解可得，然后由不等式的性质放缩，恰好利用（2）的结论得证．25．（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间是，单调递减区间是；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）由导数的几何意义，先求切线的斜率，再根据直线的点斜式方程求曲线的切线方程；（Ⅱ）先求出函数的导数，然后分别由和可求出函数的单调区间；（Ⅲ）将等价转化为，然后构造函数，再构造函数并且利用导数证明在上恒成立即可．【详解】（Ⅰ）由题意可知，，，所以，所以在处的切线方程为，即．（Ⅱ），当时，；当时，；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（Ⅲ）证明：不等式可化为．设，即证函数在上是增函数，即证在上恒成立，即证在上恒成立．令，则，在上单调递减，在上单调递增，，所以，即．因为，所以，所以要证成立，只需证．令，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，即在上恒成立，即证．【点睛】关键点睛：通过不等式的形式构造函数，利用导数的性质，经过多次求导判断单调性进行求解.26．(1)，；(2)证明见解析；(3)在上单调递增，在上单调递减.【分析】（1）设切点分别为,、,，可得，写出切线方程，列方程求参数，即可得，的值；（2）构造并应用导数研究单调性，证明恒成立即可证结论.（3）应用二阶导数研究的单调性，结合零点存在性定理判断的符号，进而确定的单调区间.（1）设与和的切点分别为,、,；，，，，可得，切线方程分别为即，或即，，解得，，；（2）令，,,，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，则，故,,时，即；（3），则，故，在上单调递减，而，，由（2）中的单调性，可得：，由（2）及可得：，使得，即时，时，∴在上单调递增，在上单调递减．27．(1)是连续可表数列；不是连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．（2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足，，，，，，，，．（3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为，则所有数之和，，，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，（仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则形式，若，则（有2种结果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨为形式，若,则（有2种结果相同，矛盾），同理不行，，则（有2种结果相同，矛盾），从而，由于,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能，①或，②这2种情形，对①：，矛盾，对②：，也矛盾，综上，当时，数列满足题意，．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题．28．(1)①；②证明见解析(2)【分析】（1）①根据基本不等式可求得的取值范围；②利用数学归纳法证明出：，，然后利用不等式的性质可证得，即可证得结论成立；（2）由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，利用参变量分离法结合数列的单调性即可得出结果.（1）解：①因为，，且，，，所以，的取值范围是；②由题意可得，则，即，假设当时，，则当时，，即，所以，对任意的，，所以，，，即存在，使得，所以，数列是“拟等比数列”.（2）解：因为，，，即，所以，即，且有，因为，则，所以，，又因为数列是“拟等比数列”，故存在，使得，且数列为单调递减数列.①当时，此时，所以，，因为，则，因为数列在时单调递减，故，而；②当时，，则，由，则，因为数列在时单调递减，故.由①②可得，即的取值范围是.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解数列不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.29．(1)、、、或、、、或、、、(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推公式以及求出、的值，即可写出数列前项的所有可能情况；（2）分析可得由或，即或，分析数列的单调性，设集合，、，且，取，可得出结论；（3）考察数列和．①当或时，显然成立；②当时，设，推导出，可得出，解得，取可证得结论成立.（1）解：由已知，即，可得或.当时，由，即，因为，可得；当时，由，即，因为，可得或.因此，若，，写出数列前项的所有可能情况为：、、、或、、、或、、、.（2）证明：对于数列中的任意一项，由已知得，或，即或．若，则由可得；若，则，此时，即．设集合，、，且，，，，，，，则数列是数列一个无穷递增子列．（3）证明：考察数列和．①当或时，显然成立；②当时，设，由（2）可知．如果，那么，或，于是总有，此时；如果，那么，或，于是总有，此时．综上，当且时总有．所以，所以，，，，叠加得，．令，解得，即存在，（其中表示不超过的最大整数），使得．又因为是的子列，令，则．由①②可知，对于任意实数，都存在，使得．【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，解决第三问的关键在于推导出，结合叠加法得出，通过解不等式可找到符合条件的整数，即可解决问题.30．(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）利用差比法判断数列的单调性，结合等比数列的定义和前项和公式进行求解即可；（2）根据数列的单调性，结合生成数列的定义运用累加法进行证明即可；（3）结合（2）的结论，根据等比数列的定义分类讨论进行证明即可.（1）因为，所以．所以，所以，，所以，因为，所以数列是等比数列，所以数列的前项和为：；（2）由题意可知，，所以，所以．所以，所以，由“生成数列”的定义可得，所以．

累加可得.（3）由题意知．由（Ⅱ）可知．①当时，得，即，所以，所以.即为公比等于1的等比数列，②当时，令，则.当时，显然．若，则，与矛盾,所以，即.取，当时，

，显然是等比数列,综上，存在正整数，使得时，是等比数列.【点睛】关键点睛：根据数列的单调性是解题的关键.31．(1)(2)(3)，证明见解析【分析】（1）利用已知条件先求出，将，，，代入：，，，即可求解；（2）由，得到，进而有，再由得到即可；（3）证明见解析.（1）由题意时，，，，由，知，所以，，，，故.（2）记数列的所有项和为S，因为，且，所以，则，故.当，或，时取到等号，所以当，或，时，S取到最大值，为.（3）“数列为常数列”的充要条件是（）证明如下：先证充分性：当（）时，，所以为常数列；再证必要性：当为常数列时，记，设中有x个，则必有个，将数列的所有项相加得：，由，且m为奇数，所以，所以，由得：，所以，所以.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：（1）仔细阅读，理解新定义的含义；（2）根据新定义，对对应的知识进行再迁移（3）正确阅读理解题干信息，抓住关键信息，转化为我们所熟悉的问题.32．(1)；；(2)不存在适合题意的数列；(3).【分析】（1）利用变换的定义即；（2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得；（3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得.（1）由，可得，，∴；（2）∵，由数列A为数列，所以，对于数列，，…，中相邻的两项，令，若，则，若，则，记中有个，有个，则，因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，故不存在适合题意的数列；（3）首先证明，对于数列，，…，，有，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，∵，，∴，故，其次，由数列为数列可知，，解得，这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次，若数列中的个数为个，此时数列有个，所以数列的个数为个.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.33．(1)，；(2)；(3)所有可能值为.【分析】（1）根据函数定义写出，即可.（2）讨论数列A的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设定义判断，当存在相等项，由等比数列通项公式求q，进而确定的值；（3）利用数列A的单调性结合（2）的结论求的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证对应所有可能值均可取到，即可得结果.（1）由题设，，，，则，，，，则，所以，.（2）若数列任意两项均不相等，当时；当且时，，又，，此时；综上，，故，不合要求；要使，即存在且使，即，又，则，当，则，不合要求；当，则，满足题设；综上，.（3）由题设数列单调递增且，由（2）知：，根据题设定义，存在且，，则，由比数列中个项大，，同理，所以；又至少比数列中一项小，，同理，所以；综上，.令数列，下证各值均可取到，ⅰ、当，而数列递增，，且，此时，，，则；ⅱ、当时，，则，当且时，令，则，所以，，此时；ⅲ、给定，令()且()，则()，()，又数列递增，，()，()，所以，此时且，故，综上，.【点睛】关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求的取值范围，再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.34．(1),(2),,(3)【分析】（1）根据数列,的定义以及是斐波那契数列,即可求解.（2）数列是公比为整数的等比数列,可对公比进行检验,根据,的定义以及的特征,可检验出公比的值.（3）根据数列,的公差是正整数,以及数列,的定义,可列出不等式,求解公差的范围,进而得解.（1）数列是斐波那契数列,则的项分别是当时,则;当时,则,当时,则;当时,则以此类推,可知当时,表示满足的所有i中最大的一个,所以,表示满足的所有i中最小的一个,所以（2）因为数列是公比为整数的等比数列,故公比当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个,所以,同理;表示满足的所有i中最小的一个,所以,同理,符合题意.当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个，不符合,当时,的项增长的更快速,此时,故不符合题意.综上,,,（3）由数列是公差为d的等差数列,且单调递增,所以,又因为,设数列,的公差分别为,则则,当时,满足,由于是任意正整数,故可知同理可知当时,满足,由于是任意正整数,故可知,综上可知,又因为,所以可以是任意一个正整数.故35．(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据数列的新定义即得；