2021年全国新高考II卷数学试题变式题13-17题-(学生版+解析)

2021年全国新高考II卷数学试题变式题13-17题原题131．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________变式题1基础2．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为_________变式题2基础3．已知曲线.给出下列四个命题：①曲线过坐标原点；②若，则是圆，其半径为；③若，则是椭圆，其焦点在轴上；④若，则是双曲线，其渐近线方程为.其中所有真命题的序号是___．变式题3巩固4．已知双曲线，以原点为圆心，以双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相较于四点，四边形的面积为，则此双曲线的标准方程为_________.变式题4巩固5．过双曲线的左焦点F作圆的两条切线，切点为，双曲线左顶点为C，若，则双曲线的渐近线方程为_________变式题5提升6．已知双曲线，直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，过A作圆的切线，D为其中一个切点若，则C的离心率为__________．变式题6提升7．已知双曲线：的斜率为正的渐近线为，若曲线：上存在不同3点到的距离为1，则双曲线的离心率的取值范围是______．原题148．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．变式题1基础9．若函数的导函数为奇函数，请写出一个满足条件的函数_________．变式题2基础10．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.变式题3巩固11．定义在实数集上的可导函数满足：，，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数________．变式题4巩固12．设是的导函数，写出一个满足在定义域上恒成立的函数的解析式：___________.变式题5提升13．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f（1）＝3，且f(x)的导数在R上恒有<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为______.变式题6提升14．函数f(x)的定义域为R，f(-1)＝2，为f(x)的导函数，已知y=的图象如图所示，则f(x)>2x+4的解集为____．原题1515．已知向量，，，_______．变式题1基础16．设向量，满足，，与的夹角为，则________．变式题2基础17．若两个单位向量，的夹角为，则_________．变式题3巩固18．，，则的取值范围是__________．变式题4巩固19．已知向量，的夹角为60°，，则______.变式题5提升20．已知为单位向量，平面向量满足则的最小值为_______．变式题6提升21．已知平面上三点、、满足，，，则的值等于______原题1622．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．变式题1基础23．设函数．若函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在点、处的切线互相垂直，则实数的取值范围为_____．变式题2基础24．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是____________．变式题3巩固25．设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是______．变式题4巩固26．若点是函数的图象上任意两点，且函数分别在点和点处的切线互相垂直，则的最大值为__________.变式题5提升27．已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则__________．变式题6提升28．已知的图象在点A处的切线为的图象在点B处的切线为若，则直线AB的斜率为_________原题1729．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．变式题1基础30．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数.变式题2基础31．设是等差数列，，且成等比数列，（1）求的通项公式：（2）记的前n项和为，求使得成立的n的取值范围.变式题3巩固32．已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Sn．变式题4巩固33．已知等差数列满足，数列的前项和为，满足.（1）求数列与的通项公式；（2）设，求.变式题5提升34．已知等差数列的前项和为，若成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．变式题6提升35．已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项．（1）求数列的公比；（2）若，数列的前和为且，求的最小值．2021年全国新高考II卷数学试题变式题13-17题原题131．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________变式题1基础2．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为_________变式题2基础3．已知曲线.给出下列四个命题：①曲线过坐标原点；②若，则是圆，其半径为；③若，则是椭圆，其焦点在轴上；④若，则是双曲线，其渐近线方程为.其中所有真命题的序号是___．变式题3巩固4．已知双曲线，以原点为圆心，以双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相较于四点，四边形的面积为，则此双曲线的标准方程为_________.变式题4巩固5．过双曲线的左焦点F作圆的两条切线，切点为，双曲线左顶点为C，若，则双曲线的渐近线方程为_________变式题5提升6．已知双曲线，直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，过A作圆的切线，D为其中一个切点若，则C的离心率为__________．变式题6提升7．已知双曲线：的斜率为正的渐近线为，若曲线：上存在不同3点到的距离为1，则双曲线的离心率的取值范围是______．原题148．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．变式题1基础9．若函数的导函数为奇函数，请写出一个满足条件的函数_________．变式题2基础10．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.变式题3巩固11．定义在实数集上的可导函数满足：，，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数________．变式题4巩固12．设是的导函数，写出一个满足在定义域上恒成立的函数的解析式：___________.变式题5提升13．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f（1）＝3，且f(x)的导数在R上恒有<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为______.变式题6提升14．函数f(x)的定义域为R，f(-1)＝2，为f(x)的导函数，已知y=的图象如图所示，则f(x)>2x+4的解集为____．原题1515．已知向量，，，_______．变式题1基础16．设向量，满足，，与的夹角为，则________．变式题2基础17．若两个单位向量，的夹角为，则_________．变式题3巩固18．，，则的取值范围是__________．变式题4巩固19．已知向量，的夹角为60°，，则______.变式题5提升20．已知为单位向量，平面向量满足则的最小值为_______．变式题6提升21．已知平面上三点、、满足，，，则的值等于______原题1622．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．变式题1基础23．设函数．若函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在点、处的切线互相垂直，则实数的取值范围为_____．变式题2基础24．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是____________．变式题3巩固25．设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是______．变式题4巩固26．若点是函数的图象上任意两点，且函数分别在点和点处的切线互相垂直，则的最大值为__________.变式题5提升27．已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则__________．变式题6提升28．已知的图象在点A处的切线为的图象在点B处的切线为若，则直线AB的斜率为_________原题1729．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．变式题1基础30．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数.变式题2基础31．设是等差数列，，且成等比数列，（1）求的通项公式：（2）记的前n项和为，求使得成立的n的取值范围.变式题3巩固32．已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Sn．变式题4巩固33．已知等差数列满足，数列的前项和为，满足.（1）求数列与的通项公式；（2）设，求.变式题5提升34．已知等差数列的前项和为，若成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．变式题6提升35．已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项．（1）求数列的公比；（2）若，数列的前和为且，求的最小值．参考答案：1．【分析】由双曲线离心率公式可得，再由渐近线方程即可得解.【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，所以，则该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.2．【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率.【详解】不妨设双曲线的一条渐近线为，因为渐近线被圆所截得的弦长为，所以圆心到渐近线的距离为，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：.3．③④【解析】对于①，根据点在曲线上的充分必要条件即可作出判定；对于②，利用圆的标准方程可求得半径为的圆，故错误；对于③，利用椭圆的标准方程可以判定；对于④，利用双曲线的标准方程可以作出判定，将双曲线方程中的等号右边的常数改为0，得到，整理即可得到渐近线方程.【详解】对于①，将原点坐标(0,0)代入曲线的方程，显然不成立，故曲线不过坐标原点，故错误；对于②，若，曲线的方程为,对应曲线为以原点为圆心，半径为的圆，故错误；对于③，若，则曲线表示半长轴半短轴，长轴在轴，即焦点在轴上的椭圆，故正确；对于④，若，曲线表示双曲线，渐近线方程为，即，故正确.故答案为：③④.【点睛】本题考查圆，椭圆，双曲线的标准方程和性质，难度不大，要熟练准确掌握圆，椭圆，双曲线的标准方程，注意若，曲线表示双曲线，渐近线方程可用表示.4．【分析】由双曲线和圆的对称性知四边形为矩形，所以只需求出双曲线的渐近线与圆在第一象限内的交点坐标，根据四边形的面积为即可求解.【详解】解：双曲线的一条渐近线与圆在第一象限内的交点为，由双曲线和圆的对称性可知四边形为矩形，所以，即因为所以，，所以双曲线的标准方程为：，故答案为：.5．【解析】根据双曲线的渐近线方程为：，结合题意得到，即得到，的关系式，进而得到，的关系式，即可得到答案.【详解】解：由题意知双曲线的方程为：，双曲线的渐近线方程为：，，根据圆周角是圆心角的一半，得到，又有对称关系得到，，又，，双曲线的渐近线方程为：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决此类问题的关键是掌握双曲线与圆的位置关系，结合有关条件得到，与的关系，进而得到答案.6．【解析】将代入C的渐近线方程可得点坐标，利用两点间的距离根式可求导．根据勾股定理可得，再由可得，代入即可．【详解】将代入C的渐近线方程，得，则．不妨假设，，半径为，，因为是圆的切线，所以，即则．因为，所以，即，故．故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查直线与圆的位置关系，关键点是用表示，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.7．【分析】已知：，曲线：表示以点为圆心，2为半径的圆的上半部分（包含端点），点到直线的距离，曲线：的一个端点到直线的距离，等价于且即，解不等式即得解.【详解】由题意知：，曲线：即，表示以点为圆心，2为半径的圆的上半部分（包含端点）．点到直线的距离，曲线的一个端点到直线的距离．因为曲线：上存在不同3点到的距离为l，所以且，整理得，故，则，所以，即，得．故答案为：【点睛】易错点睛：本题易错之处是把曲线：上存在不同的3个点到的距离为1，误认为圆上存在不同3点到的距离为1．8．（答案不唯一，均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的.【详解】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是奇函数，满足③.故答案为：（答案不唯一，均满足）9．（答案不唯一）【分析】根据可导偶函数的导函数为奇函数，任意写一个符合条件的函数即可.【详解】若，，则，又，所以是奇函数，满足题意.故答案为：（答案不唯一）.10．(答案不唯一)【解析】根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.【详解】若，则是偶函数，但，所以不是奇函数；能满足“若为偶函数，则为奇函数”为假命题.故答案为：.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基础题型.11．（答案不唯一）【解析】可取满足题意的，求出其原函数，令解出，从而得到符合题意的【详解】可令，满足则故故故答案为：（本题答案不唯一）12．（答案不唯一）【分析】设函数，求得，得到，符合题意.【详解】由题意，设函数，可得，令恒成立，即函数，符合题意.故答案为：.13．【分析】构造函数g(x)＝f(x)－2x－1，则原不等式可化为.利用导数判断出g(x)在R上为减函数，直接利用单调性解不等式即可【详解】令g(x)＝f(x)－2x－1，则g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化为.因为，所以g(x)在R上为减函数.由解得：x>1.故答案为：.14．(-1，+∞)【分析】令g(x)=f(x)-2x-4，利用导数探讨g(x)在R上的单调性，再将f(x)>2x+4转化为并借助单调性即可得解.【详解】观察图象知，，令g(x)=f(x)-2x-4，则，即g(x)在R上单调递增，而g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0，即，于是得，所以不等式f(x)>2x+4的解集为(-1，+∞).故答案为：(-1，+∞)15．【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.16．7【分析】先计算出，再代入中即可得到答案.【详解】由已知，，所以.故答案为：7【点睛】本题考查利用定义计算向量的数量积，涉及到数量积的运算律，是一道容易题.17．【分析】利用平面向量运算法则及定义即可得到结果.【详解】.【点睛】本题考查平面向量的定义，平面向量运算法则，考查计算能力，属于基础题.18．【分析】利用展开，通过数量积的定义以及的范围最终求出的范围．【详解】解：，，又，，即，．故答案为：．【点睛】本题考查了向量加减法，考查了向量的模的计算，是基础题．19．2【解析】先利用数量积的运算律展开，再计算即得解.【详解】由题得.故答案为：2【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算律和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.【详解】不妨设，则，即，所以在圆上设圆的参数方程为（为参数）则令，所以当时，，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：运用平面向量数量积的运算性质及换元思想是解题的关键.21．【分析】先判断出，然后根据数量积的计算公式完成求解.【详解】因为，，，所以，所以，所以原式，故答案为：.22．【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.【详解】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.23．【解析】求出原函数的导函数，利用正弦型函数的有界性求出的值域，结合已知条件得出，可得出关于实数的不等式，即可解出实数的取值范围.【详解】由，则，，由于函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在点、处的切线互相垂直，则，即，即.解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线斜率，考查了数学转化思想方法，解答的关键在于得出关于的不等式，有一定难度．24．．【详解】试题分析：设切点为,由得：,所以因为，所以时，；时，；因此时，；考点：导数几何意义，利用导数求函数最值25．【详解】试题分析：由于,因此切线的斜率为；又由于,因此切线的斜率为,由题设在上有解,即,令,则,所以问题转化为求函数在上的值域问题.令,当时,,所以.考点：导数的几何意义及函数方程思想的运用．【易错点晴】本题考查的是函数方程思想在解决实际问题中的运用.解答本题的关键在于先要依据题设条件分别求出两条曲线在给定点处的切线的斜率和,再利用其互相垂直这一条件和信息建立关于切点的横坐标为变量的方程,最后再将参数分离出来,将方程问题转化为函数问题,最终通过换元转化借助函数的图象和单调性求出其值域,使问题获解.26．【分析】由题得，即得，.所以，设，利用导数求函数的最值即可.【详解】由导数的几何意义知，点处的切线的斜率为，点处的切线的斜率为，函数的图象在点，处的切线互相垂直时，有，由，，可得，即，因为，所以.所以，设，可得，即在，递增，可得有最大值，故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.27．4【解析】由导数的几何意义求得，构造函数，利用导数求得函数的单调性和最值，结合零点的存在定理，即可求解.【详解】依题意，可得，整理得令，则在单调递增且，∴存在唯一实数，使，，，，，∴，故.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的有解问题，其中解答中熟练应用导数的几何意义，得到的方程，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.28．【分析】分别对求导，确定，再由得出，进一步确定的值域，从而确定，最后求出的坐标，再求斜率.【详解】解：易知的斜率均存在，设直线的斜率分别为，当且仅当时等号成立，则因为，所以，所以令则，令，则，递增，令，则，递减，易知在处取得最大值，所以.因为，所以，当时，即，则，即，当，，则，即，所以可得A(0，0)，，所以故答案为：.【点睛】考查曲线在某一点的切线斜率就是该点的导数，本题的难点在于确定导函数的值域，从而确定出切线斜率的具体值；难题.29．(1)；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.30．、、、或、、、.【分析】设这四个数为、、、，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可确定这四个数.【详解】设前三个数分别为、、，则第四个数为.由题意得，解得或.当，时，这四个数为、、、；当，时，这四个数为、、、.【点睛】方法点睛：巧设等差数列、等比数列的方法：（1）若三个数成等差数列，常设为、、，若三个数成等比数列，常设为、、；（2）若四个数乘等比数列，可设为、、、；若四个正数成等比数列，可设为、、、.31．（1）；（2）或.【分析】（1）设数列的等差为d，根据已知建立方程，解之可得数列的通项公式.（2）由（1）得，由已知得不等式，解之可求得n的取值范围.【详解】解：（1）∵是等差数列，，且成等比