沪科版2024-2025学年八年级数学上册专题13.7三角形中的边角关系、命题与证明单元提升卷(学生版+解析)

第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元提升卷【沪科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（23-24八年级·安徽安庆·期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A．两条直线 B．相交C．只有一个交点 D．两条直线相交2．（3分）（23-24八年级·广东肇庆·期中）若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形3．（3分）（23-24八年级·山东临沂·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，若其周长为20，则AB边的取值范围是（

）A．1<AB<4 B．5<AB<10 C．4<AB<8 D．4<AB<104．（3分）（23-24八年级·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为（A．4cm或8cm B．4cm C．8cm 5．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图,一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形,点A与点B在两个格点上,问在格点上是否存在一个点,使△ABC的面积为2,这样的点有________个.A．4个 B．5个 C．6个 D．7个6．（3分）（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（

）．A．35° B．40° C．45° D．50°7．（3分）（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点A1，得到∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得到∠A2；……按此规律继续下去，A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE=2EC，CD与AE相交于点F，若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为（

）A．8 B．10 C．12 D．149．（3分）（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°−2aC．β=110°+a D．β=250°−2a10．（3分）（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（23-24八年级·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是．12．（3分）（23-24八年级·北京·期中）能说明“如果a>b，那么a>b”是假命题的反例是：a=，b=13．（3分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD=2DC，点E是BC的中点，AE、BD相交于点O，若△BOE的面积为3，则△AOD的面积为．14．（3分）（23-24八年级·安徽宣城·期中）已知a、b、c是△ABC的三边，则化简a+b−c+b−c−a−15．（3分）（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH=．16．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B−∠A=10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD=．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（23-24八年级·安徽亳州·期中）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．(1)求a的取值范围；(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？18．（6分）（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A'B(1)补全△ABC；(2)画出中线CD；(3)画出AC边上的高线BE；(4)在平移过程中，线段AB扫过的面积为______．19．（8分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，连接AE．(1)当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC的面积为24，求CE的长；(2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．20．（8分）（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EG平分∠BEH，EH⊥BE交BC于H．(1)求∠BFD的度数．(2)若∠BAD=∠EBC，∠C=47°，求∠BAC的度数．21．（8分）（23-24八年级·福建福州·期中）已知在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B．(1)如图1，若CD⊥AB，求证：∠ACB=90°；(2)如图2，AE平分∠BAC交CD于点F，交CB于点E．①求证：∠CFE=∠CEF；②△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M=33°，求∠CFE的度数．22．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点C，点A在射线CP上运动（点A不与点C重合），点B在射线CN上运动（点B不与点C重合）．

(1)如图1，已知AD、CD分别是∠BAC和∠ACB的角平分线，①当∠BAC=60°时，求∠ADC的度数；②点A、B在运动的过程中，∠ADC的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠ADC的大小；(2)如图2，将△ABC沿AD所在直线折叠，点B落在PQ的点F处，折痕与MN交于点E，连接DF、EF，在△CDF中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．23．（8分）（23-24八年级·江苏连云港·期中）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A=50°．则∠P=______；(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，若∠ACB=80°，求∠APB的度数．(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2=96°，则∠BPC=______；(4)【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF=α，∠DCF=β，求∠Q和α，第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元提升卷【沪科版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（23-24八年级·安徽安庆·期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A．两条直线 B．相交C．只有一个交点 D．两条直线相交【答案】D【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．故选D．【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.2．（3分）（23-24八年级·广东肇庆·期中）若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】根据平角的定义求出与这个外角相邻的内角是钝角，然后作出判断即可．【详解】∵三角形的外角中有一个角是锐角，∴与这个外角相邻的内角是钝角，∴这个三角形是钝角三角形．故选C．【点睛】本题考查了三角形的外角，根据平角定义求出与外角相邻的内角是钝角是解题的关键．3．（3分）（23-24八年级·山东临沂·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，若其周长为20，则AB边的取值范围是（

）A．1<AB<4 B．5<AB<10 C．4<AB<8 D．4<AB<10【答案】B【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设AB=AC=x，由三角形的三边关系定理得出x>5，再由边长为正数得出x<10，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键．【详解】解：设AB=AC=x，∵在△ABC中，AB=AC，若其周长为20，∴BC=20−2x，∵AB+AC>BC，即x+x>20−2x，解得：x>5，又∵BC=20−2x>0，解得：x<10，∴5<x<10，即5<AB<10．故选：B．4．（3分）（23-24八年级·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为（A．4cm或8cm B．4cm C．8cm 【答案】C【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为12【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，y由题意得x+12x=6解得x=4y=10或x=8∵4+4<10，∴不能构成三角形，故等腰三角形的底边长为8cm故选：C．5．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图,一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形,点A与点B在两个格点上,问在格点上是否存在一个点,使△ABC的面积为2,这样的点有________个.A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【详解】本题考查三角形面积知识的灵活应用．设第三个点为C，若点C与点A在一条竖线上，因为点B到点A所在竖线距离为2，三角形面积也是2，所以线段AC距离为2，则点C可以在点A上方或下方两个位置；同样地，点B的上方和下方也各有一个；同理若点C与点A在一条横线上，则线段AC长度应为4，故点C在A左右距离为4各有一点，根据题意，此两点不存在，但点B左边距离为4有一点，根据题意右边不存在．故点A上下各一点，点B上下各一点，左边有一点，共5个点．6．（3分）（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（

）．A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠EAD=5°，再依据BF是∠ABC的平分线，得到∠ABF=30°，可得∠EAD+∠ABF=35°，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键．【详解】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=180°−∠ADB−∠ABC=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°−25°=5°，∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF=1∴∠EAD+∠ABF=35°故选：A．7．（3分）（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点A1，得到∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得到∠A2；……按此规律继续下去，A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出∠ACD=∠ABC+∠A，再根据题意总结出规律，∠A【详解】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠ABC+∠A，∵△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点A1，得到∠A1；∠A1∴∠A∴∠=180°−=180°−=180°−=180°−∠ABC−∠ACB−=∠A−=1同理可得，∠A∠A......∠A∵∠A=48°，∴∠A∵∠An的度数为整数，∴n的最大值为4．故选B．8．（3分）（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE=2EC，CD与AE相交于点F，若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接BF，先根据BE=2EC，求出S△BEF=2S△EFC=2S△ACF=S【详解】解：连接BF，∵BE=2EC，∴S∴S△BCF设S△ADF∵AD=BD，∴S∴S∴S△AEC∵BE=2EC，∴S∴2x+2=2×4，∴x=3，∴S△ADF∴S故选：C．9．（3分）（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°−2aC．β=110°+a D．β=250°−2a【答案】D【分析】延长AD交BC于点G，设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到x+y=β−110°2之间的关系，在根据三角形内角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°，将【详解】解：如图，延长AD交BC于点G，

设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，∴∠EAF=1∵∠ADC=β，∴∠DGC=∠ADC−∠DCG=β−2y，∴∠BGD=180°−∠DGC=180°−β+2y，在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°−β+2y=180°，∴x+y=β−110°∵∠AEF=α，∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+y+110°=180°，将x+y=β−110°2代入可得整理得β=250°−2a，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，考虑延长AD得到三角形，进行角度的转换，用α,β表示同一个三角形中的内角得到等量关系是解题的关键．10．（3分）（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．【详解】解：①设点A、B在直线MF上，∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD=∠DAC，∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠FAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=1∴EB⊥BD，故②正确．③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=1∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确．④∵∠BEC=180°−∴∠BEC=90°−1∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（23-24八年级·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是．【答案】三角形的稳定性【分析】根据三角形的的稳定性，可以达到保持门框的稳定性．【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是：三角形的稳定性．故填：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．12．（3分）（23-24八年级·北京·期中）能说明“如果a>b，那么a>b”是假命题的反例是：a=，b=【答案】−1；0．【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明a<b时有a>【详解】解：要说明“如果a>b，那么a>b”是假命题，只需要举一组例子说明a<b时有当a=1，b=0时，有a>b，但∴a=1，b=0是假命题的反例，故答案为：−1；0．13．（3分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD=2DC，点E是BC的中点，AE、BD相交于点O，若△BOE的面积为3，则△AOD的面积为．【答案】8【分析】本题考查了三角形的面积，注意：同底（等底）同高（等高）的两个三角形的面积相等，同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于底边的比．根据三角形中线的性质得出S△BOE=S△COE，S△AEC=12S△ABC，设S△COD【详解】解：∵点E是BC的中点，∴S△BOE=∵△BOE的面积为3，∴S设S△COD∵AD=2DC，∴S∴SS△BCD∴S∵AD=2DC，∴S△BCD∴6+x=2+2x，∴x=4，∴2x=8，即△AOD的面积为8，故答案为：8．14．（3分）（23-24八年级·安徽宣城·期中）已知a、b、c是△ABC的三边，则化简a+b−c+b−c−a−【答案】3a−b−c【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+b−c＞0，b−c−a＜0，c−a+b＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．【详解】∵a、b、c是ΔABC的三边∴a+b>c，b−c<a，c+b>a即a+b−c>0，b−c−a<0，c−a+b>0∴原式=a+b−c+=a+b−c−b+c+a−c+a−b=3a−b−c故答案为：3a−b−c．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算，熟记性质并去掉绝对值符号是解题的关键．15．（3分）（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH=．【答案】15°【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长CH交AB于点M，可得在△ABC中，三边所在的高交于一点，即CM⊥AB，由此即可解答．【详解】解：延长CH交AB于点M，如图，在△ABC中，三边所在的高交于一点，∴CM⊥AB，∵∠BAC=75°，∴∠ECH=180°−∠BAC−∠AMC=15°，故答案为：15°．16．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B−∠A=10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD=．【答案】15°或30°【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC=∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解∠A=40°，设∠ACD=x°，则∠CDF=(40+x)°，∠ADC=(140−x)°，由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，可分三种情况：当∠DFE=∠E=40°时；当∠FDE=∠E=40°时；当∠DFE=∠FDE时，根据∠ADC=∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵∠B−∠A=10°，∴∠A=40°，∠B=50°，设∠ACD=x°，则∠CDF=(40+x)°，∠ADC=180°−40°−x°=(140−x)°，由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，当∠DFE=∠E=40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，∴∠FDE=180°−40°−40°=100°，∴140−x=100+40+x，解得x=0(不存在)；当∠FDE=∠E=40°时，∴140−x=40+40+x，解得x=30，即∠ACD=30°；当∠DFE=∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，∴∠FDE=12×180°−40°∴140−x=70+40+x，解得x=15，即∠ACD=15°，综上，∠ACD=15°或30°，故答案为：15°或30°．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（23-24八年级·安徽亳州·期中）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．(1)求a的取值范围；(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1)2<a<12(2)当a=11时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知7−5<a<7+5，即2<a<12，∴a的取值范围是2<a<12；（2）解：由（1）知，a的取值范围是2<a<12，a是整数，∴当a=11时，三角形的周长最大，此时周长为：5+7+11=23，∴周长的最大值是23．【点睛】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．18．（6分）（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A'B(1)补全△ABC；(2)画出中线CD；(3)画出AC边上的高线BE；(4)在平移过程中，线段AB扫过的面积为______．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析(4)16【分析】（1）根据题意，将△A（2）连接C点与AB的中点即可；（3）取格点K，满足BK⊥AC，连接BK交AC的延长线于E即可；（4）结合图形可知，线段AB扫过的面积为2S【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求：；（2）解：如图所示，线段CD即为所求；（3）解：如图，取格点K，满足BK⊥AC，连接BK交AC的延长线于E，则线段BE即为所求；（4）解：SΔ∴2S即线段AB扫过的面积为16．【点睛】本题主要考查了画平移图形，图形的平移的性质，画三角形的高，求解网格三角形的面积，熟练画图是解题关键．19．（8分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，连接AE．(1)当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC的面积为24，求CE的长；(2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．【答案】(1)CE=4(2)∠DAE=15°【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识．（1）先根据三角形面积公式计算出BC=8，然后根据AE为边BC上的中线得到CE的长；（2）先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=78°，再利用角平分线的定义得到∠CAE=39°，接着计算出∠CAD，然后计算∠CAE−∠CAD即可．【详解】（1）∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为24，∴1∴BC=2×24∵AE为边BC上的中线，∴CE=1（2）∵∠C=66°，∠B=36°，∴∠BAC=180°−∠C−∠B=180°−66°−36°=78°，∴AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE=1∵∠ADC=90°，∠C=66°，∴∠CAD=90°−66°=24°，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=39°−24°=15°．20．（8分）（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EG平分∠BEH，EH⊥BE交BC于H．(1)求∠BFD的度数．(2)若∠BAD=∠EBC，∠C=47°，求∠BAC的度数．【答案】(1)45°(2)88°【分析】（1）由EH⊥BE得到∠BEH=90°，由EG平分∠BEH得到∠BEG=45°，进而由AD∥EG得到∠BFD=45°；（2）由三角形的外角性质得到∠BFD=∠BAD+∠ABE，然后结合∠BAD=∠EBC得到∠ABC=∠BFD=45°，再结合∠C=47°和三角形的内角和求得∠BAC的度数．【详解】（1）解：∵EH⊥BE，∴∠BEH=90°，∵EG平分∠BEH，∴∠BEG=∠HEG=1又∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=45°；（2）解：∵∠BFD=∠BAD+∠ABE，∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC=45°，∵∠C=47°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−45°−47°=88°．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是熟知平行线的性质求得∠BFD的度数．21．（8分）（23-24八年级·福建福州·期中）已知在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B．(1)如图1，若CD⊥AB，求证：∠ACB=90°；(2)如图2，AE平分∠BAC交CD于点F，交CB于点E．①求证：∠CFE=∠CEF；②△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M=33°，求∠CFE的度数．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②57°【分析】（1）根据垂直定义，得到∠ADC=90°，根据三角形内角和定理，结合∠ACD=∠B即可得证；（2）①根据角平分线的定义，得到∠CAE=∠BAE=12∠BAC，在△ABE和△ACF中，根据三角形外角性质，结合∠ACD=∠B，可得结论；②根据角平分线的定义，证明∠EAN=90°,得到∠EAM=90°，得到∠M+∠AEM=90°，根据∠M=33°，得到∠AEM=57°【详解】（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵∠A+∠ADC+∠ACD=∠A+∠ACB+∠B=180°，且∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ADC=90°；（2）①∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE=1∵∠CEF=∠B+∠BAE，∠CFE=∠ACD+∠CAE，且∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE；②∵MN平分∠BAG，∴∠BAN=∠GAN=1∵∠BAE=∠CAE=1∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=1∴∠EAM=180°−∠EAN=90°，∴∠M+∠AEM=90°，∵∠M=33°，∴∠AEM=57°，由①知，∠CFE=57°．【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．熟练掌握三角形角平分线的定义，垂直定义，三角形的内角和定理，平角性质，直角三角形的两个锐角性质，三角形的外角性质，是解题的关键．22．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点C，点A在射线CP上运动（点A不与点C重合），点B在射线CN上运动（点B不与点C重合）．

(1)如图1，已知AD、CD分别是∠BAC和∠ACB的角平分线，①当∠BAC=60°时，求∠ADC的度数；②点A、B在运动的过程中，∠ADC的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠ADC的大小；(2)如图2，将△ABC沿AD所在直线折叠，点B落在PQ的点F处，折痕与MN交于点E，连接DF、EF，在△CDF中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)①∠ADC=105°，②∠ADC大小发生变化，∠ADC随着∠BAC的增大而减小(2)∠CAB=30°或60°．【分析】（1）①根据垂直的定义可得∠ACN=90°，根据角平分线的定义可得∠CAD,∠ACD，根据三角形内角和定理，即可求解；②同①的方法根据三角形的内角和定理求得∠ADC，即可求解．（2）连接BD，根据三角形的角平分线交于一点可得BD是∠ABC的角平分线，进而根据题意分类讨论，求得∠CDF，【详解】（1）解：①∵MN⊥PQ于点C，∴∠ACN=90°，∵∠BAC=60°，AD、CD分别是∠BAC和∠ACB的角平分线，∴∠CAD=∴∠ADC=180°−∠DAC−∠ACD=105°

②∵MN⊥PQ于点C，∴∠ACN=90°，∵AD、CD分别是∠BAC和∠ACB的角平分线，∴∠CAD=∴∠ADC=180°−∠DAC−∠ACD=135°−∴∠ADC随着∠BAC的增大而减小；（2）解：∵CD是∠ACB的角平分线，∴∠ACD=∠ECD=∴∠FCD=180°−∠ACD=135°，∴∠CDF+∠CFD=180°−135°=45°连接BD，如图所示，∵三角形的三条角平分线交于一点，∴BD是∠ABC的角平分线，∵折叠，∴DF是∠AFE的角平分线，

①当∠FCD=2∠CDF时，则∠CDF=1∵∠FCD=135°∴∠FCD+∠CDF=135°+67.5°>180°，故此情形不存在，同理可得∠FCD=2∠CFD不存在②当∠CDF=2∠CFD时，则∠CDF=30°，∴∠ABC=∠CFE=2∠CFD=30°，∴∠CAB=90°−30°=60°，③当2∠CDF=∠CFD，则∠CDF=15°，∴∠ABC=∠CFE=2∠CFD=60°，∴∠CAB=90°−60°=30°，综上所述，∠CAB=30°或60°．【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形角平分线的应用，折叠的性质，分类讨论是解题的关键．23．（8分）（23-24八年级·江苏连云港·期中）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：