2024年广东省广州市中考三模数学试题及答案

2024年广东省广州市中考数学三模训练试卷试卷满分120分．考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效．4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效．5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.的相反数是（）11A.2025B.−C.D.202520252.G是第五代移动通信技术，G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000）A13×105B.1.3×105C.1.3×103.中国二十四节气已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（6D.1.3×107）A.C.B.D.a)44.下列运算，与A.a3计算结果相同的是（）÷a2(a≠0)4()425+a2B.a2⋅a6C.C.aD.D.aax35.−=1的解是（）x−1x+1A.x=2B.x=2x=3x=3y=2x+4，下列说法不正确的是（）6.关于一次函数A.图象不经过第三象限B.yx的增大而减小图象与y轴交于(4)C图象与x轴交于(−2,0)D.7.如图为商场某品牌椅子的侧面图，与地面平行，=°∠ACB=∠=°（）A.B.65°C.60°D.8.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，°=CA°然后向后走160处，此时看塔顶，仰角为，则该主塔的高度是（）A.米9.如图，在四边形ABCD中，A=90°，AB4，M，分别是边BC，AB上的动点（含端点，但B.803米C.米D.802米=N点M不与点B重合）点E，F分别是线段，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（）A5B.41C.2.5D.3CEAC10.已知：中，AD是中线，点E在AD上，且=CD,∠BAD=ACE．则的值为（）35223−51A.B.C.D.222第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）因式分解：a−4a=_______________________．3n12.一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白3n球的概率为，则白球的个数为_______．5+k的图像经过点(−1)，(y2)，则1__________2y=x213.若二次函数（选填：﹥，﹤，）14.如图，正六边形的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．ll215.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水1y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费费将比去年多_____元．16.数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿折4DFA=∠叠，使点C落在AB边的点F处，其中55，且=ABCD，则矩形的面积为5______．三．解答题（共9小题，满分72分）1−x<2(2x+17.解不等式组5+x1，并写出满足条件的正整数解．≥x+3318.如图，在中，点EF在对角线BD上，=，求证：AE=CF．19.近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂＝33cm，灯罩DE＝20cmBC⊥ABCDDE分别可以绕点CD上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140ED∥时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan501.19）x+1÷2x2−1−x20.先化简，再求值：1−，其中x=2−1．xx21.的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就四大古典名著你读完了几部的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________（2）扇形统计图中“4部所在扇形的圆心角为________（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．m22.A（﹣，2）、（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数图象的两个交点．x（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2△AOB的面积；m（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣0的解集．x23.如图，在单位长度为1的网格中，点OAB均在格点上，3，AB2O为圆心，==为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC4（点C在A=②连接，交OD；③连接BD，与AC交于点E．（1）求证：BD为（2AE的长度．O的切线；(−)(−)y=ax+bx+c的图像经过2,1,3两点．224.已知二次函数（1b的值．（2c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3(0)是该函数的图像与x轴的一个公共点，当1−<m<3时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．25.如图（1G在正方形ABCD的对角线上，GEBC，⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜＜45°）所示，试探究线段与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形在旋转过程中，当，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长交于点H=6，GH=22，则BC=．2024年广东省广州市中考数学三模训练试卷试卷满分120分．考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效．4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效．5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.的相反数是（）11A.2025B.−C.D.20252025【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义进行求解即可．【详解】解：的相反数是2025，故选A．【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．2.G是第五代移动通信技术，G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000）A.13×105B.1.3×105C.1.3×106D.1.3×107【答案】C【解析】1|a<，【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中×nnan为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，是正整数；当原数的绝对值1时，是负整数．n<n【详解】解：13000001.3106，=×故选：．3.中国二十四节气已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A.C.B.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这°个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；°B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；°C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；°D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；°故选：D．a)44.下列运算，与A.a3计算结果相同的是（B.a）÷a2(a≠0)4()425+a22⋅a6C.aD.aa【答案】D【解析】方等幂的有关运算及合并同类项分别计算各式子，即可解答．()4a3=12，【详解】解：()4A选项：a5与a2不是同类项，无法合并，故计算结果与a3不相同；()4B选项：a2⋅a6=a8，故计算结果与a3不相同；()4C选项：a24÷a2=a22，故计算结果与a3不相同；()2()4D选项：a故选：D4a4=a4⋅a8=12故计算结果与a3相同．x35.−=1的解是（）x−1x+1A.x=2B.x=2C.x=3x=3D.【答案】A【解析】【分析】两边都乘以(x−1x+1)()，化为整式方程求解，然后检验即可．x3−=1，【详解】x−1x+1两边都乘以(x−1x+1)()，得(+)−(−)=(+)(−)xx13x1x1x1，整理，得2x=4，∴x2．=检验：当x2时，=(−)(+)≠，x1x10∴原方程的解为x2．=故选A．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．y=2x+4，下列说法不正确的是（）6.关于一次函数A.图象不经过第三象限C.x轴交于(−2,0【答案】CB.yx的增大而减小图象与y轴交于(4))D.【解析】k=−2<0，b40随=>yx函数与坐标轴的交点坐标，从而可得答案．y=2x+4k=−2<0，b=4>0，【详解】解：∵，yx∴图象经过一、二、四象限，随的增大而减小，故AB不符合题意；y=0−2x+4=0x=2，解得，当时，∴图象与x轴交于(2,0)，故C符合题意；=y=4，当x0时，∴图象与y轴交于(0,4)，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与增减性，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟记一次函数的性质是解本题的关键．7.如图为商场某品牌椅子的侧面图，与地面平行，=°∠ACB=∠=°（）A.B.65°C.60°D.【答案】A【解析】【分析】根据平行得到ABD【详解】解：由题意，得：DE∥AB，∠ABD=∠EDC=50°，∠=∠EDC50，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．=°∴∵DEF∠=∠EDC+∠DCE120，=°∴DCE70，∠=°∠ACB=∠DCE=70°；∴故选A．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．8.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为现代世界七大奇迹的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，°=CA°然后向后走160处，此时看塔顶，仰角为，则该主塔的高度是（）A.米B.803米C.米D.802米【答案】B【解析】A作⊥CB于点DA=ACB160米，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答．【详解】解：如图，过点A作⊥CBD，==根据题意得：ABD=60,ACB=30°，=∠+ACB，A∵∴A=30°，∴A=ACB，∴160米，==3在△中，ADABsin60°=160=⋅×=803米．2即该主塔的高度是803米．故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9.如图，在四边形ABCD中，A=90°，AB4，M，分别是边=NBC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段，MN的中点，若线段EF的最大值为，则AD的长2.5为（）A.5B.41C.2.5D.3【答案】D【解析】12【分析】根据三角形的中位线定理，可得EF＝，=2=5，利用勾股定理求出的长，即得结论．【详解】解：∵点EF分别为DM、的中点，1∴EF＝DN，2∵最大值为2.5，∴当DNN与B=2=5，∴=AD2+AB=5，2∴解得=3，故选：D．【点睛】本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想．CE10.已知：中，AD是中线，点E在AD上，且=CD,∠BAD=ACE．则的值为AC（）35223−51A.B.C.D.222【答案】B【解析】∠=△∽△三角形的性质及外角与内角的关系说明BAC，最后代入比例可得结论．表示出AD是的中线，∴=CD，CECD，=∴CED=，∴∠DAC+∠ACE=∠B+∠BAD，ACE=BAD，∴=B，ACD∠=BCA，∴△∽△，BCAC∴=，ACCD∴∴∴2=BC⋅CD=CD=CE2，2AC=CE，CEACCE2==，CE2故选B．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）因式分解：a−4a=_______________________．3a(a+2)(a−2)【答案】【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．()a3−4a=aa−4=a(a+2)(a−2)2【详解】解：【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．n12.一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白3n球的概率为，则白球的个数为_______．5【答案】6【解析】【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键．3【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，52∴摸到黑球的概率为，5n∵袋子中有4个黑球和个白球，4n+425=，解得n=6，∴由简单概率公式可得∴白球有6故答案为：6．+k的图像经过点(−1)，(y2)，则1__________2y=x213.若二次函数（选填：﹥，﹤，）【答案】<【解析】离大小即可求解．y=x2+k的对称轴为直线x=0，且图象开口向上，【详解】解：∵二次函数0−1=13−0=3，1<3()又∴，，y<y12故答案为：<14.如图，正六边形的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．π43【答案】【解析】##π3【分析】延长A于G，如图所示：根据六边形是正六边形，AB=2，利用外角和求得360°∠GAB==60°，再求出正六边形内角∠=180°-GAB=180°-60°=120°，利用扇形面积公式代入数∠6值计算即可．【详解】解：延长交⊙AG，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，360°∴∠GAB==60°，6∠=180°-GAB=180°-60°=120°，πr2120×π×4π∴S===，3603603π故答案为．3【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键．ll215.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水1y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费费将比去年多_____元．【答案】210．【解析】【分析】根据函数图象中的数据可以求得x120时，对应的函数解析式，从而可以求得x=>l时对应x=2l的的图象可以求得1得以解决．【详解】设当x120时，对应的函数解析式为>ly=+b，2120k+b=480160k+b=720k=6，得b=240，即当x120时，对应的函数解析式为>ly=6x−240，2=y=6×150−240=660当x时，，由图象可知，去年的水价是480÷160=3（元/m3m3，需要缴费：150×3=450660−450=210即小雨家去年用水量为m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元，故答案为210．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．16.数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿折4叠，使点C落在AB边的点F处，其中55，且=DFA∠=ABCD，则矩形的面积为5______．【答案】80【解析】【分析】首先根据折叠的性质得到∠=∠=C90，然后根据同角的余角相等得到°45∠DFA=∠BEF，进而得到sinBEF=sin∠DFA=BF=4x，=5x=3x，，设，则CE=FE=5x可．AD=8x=8，==10x=10，根据定理求出，最后利用矩形面积公式求解即【详解】解：∵矩形ABCD沿折叠，使点落在CAB边的点F处，∴∠=C=90，°∴∠+∠90，=°ABCD∵四边形是矩形，∴∠A=∠=B90，∴∠BEF+∠BFE=90°，=∠BEF，°∴DFA∠45∴sinBEF=sin∠DFA=，=3x，CE=FE=5x，∴设BF=4x，=5x，则∴8x，==4∵sinDFA=，5DF=10x∴，∵∴DF∴解得：x1，负值舍去，∠=C=90，55，°=2()()2+2=()2+EF2=DE2，即10x5x55，=∴AD=8x=8，==10x=10，ABCD=AD⋅CD=8×10=80．∴矩形的面积故答案为：80三．解答题（共9小题，满分72分）1−x<2(2x+17.解不等式组5+x1，并写出满足条件的正整数解．≥x+33【答案】不等式组的解集为1＜x2，正整数解为，2≤【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．1−x<2(2x+①+【详解】解：5x1≥x+②33解不等式①，得：＞﹣，解不等式②，得：x2，≤∴不等式组的解集为1＜x2，≤则不等式组的正整数解为1，2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.如图，在中，点EF在对角线BD上，，求证：AE=CF．=【答案】见解析【解析】ABCD，=AB∥CD,再证明ABE=证明△ABE≌CDF，即可证明AE=CF．△ABCD【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴ABCD，AB∥CD,=∴ABE∠=∠∵，△ABECDFSAS),=∴(∴AECF．=解题的关键19.近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂＝33cm，灯罩DE＝20cmBC⊥ABCDDE分别可以绕点CD上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140ED∥时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan501.19）【答案】点D到桌面的距离约为43.4cm【解析】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据＝，即可求得DG的长，从而可以解答本题．【详解】解：过点D作DGAB，垂足为G，过点C作CFDG，垂足为，如图所示，∵CBAB，⊥ABCF⊥FG，∴∠B＝∠BGF＝∠GFC90°，∴四边形BCFG为矩形，∴∠BCF＝，＝＝18cm，又∵∠DCB＝140，∴∠DCF50，∵CD33cm，∠DFC°，∴DFCD•sin50°≈330.7725.41（cm，∴DG≈25.41+1843.4（答：点D到桌面43.4cm．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．x+1÷2x2−1−x20.先化简，再求值：1−，其中x=2−1．xx1x+12−−，【答案】【解析】2【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将x=2−1代入计算即可解答．x+1xxx2−1−x1−÷【详解】解：2x+1x2−x−1=1−⋅xx2x−(+)x1(−)xx1(+)(−)x1x1=⋅x1x=−⋅xx+11x+1=−．当x=2−1时，12=−=−原式．2−1+12【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．21.的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就四大古典名著你读完了几部的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________（2）扇形统计图中“4部所在扇形的圆心角为________（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．1【答案】（），2（2）72°34）见解析，4【解析】）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；（2）根据扇形圆心角的度数部分占总体的百分比×360°，即可得到4部所在扇形的圆心角；（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．）调查的总人数为：10÷25%=40，∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，∴本次调查所得数据的众数是1∵2+14+10=26＞，2+14＜20，∴中位数为2部．故答案为：1，28×（2）扇形统计图中部所在扇形的圆心角为：40故答案为：72（32部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人补全统计图如图所示．（4A，D，画树状图可得：414由图可知，共有种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，∴P==．(选中同一部)161故答案为：．4【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出m现m种结果，那么事件A的概率PA）=．nm22.A（﹣，2）、（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数图象的两个交点．x（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2△AOB的面积；m（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣0的解集．x8【答案】（﹣﹣x2（63＜﹣4或＜＜x2．【解析】）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y=﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用SAOB=SAOC+SBOC进行计算；（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或＜x2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．my=4=8A（﹣42）代入，得m=2×（﹣）﹣，x8y=−所以反比例函数解析式为，x8y=−把（n，﹣）代入，x得﹣﹣8解得，−4k+b=2k=1b=2把A（﹣4，（2，﹣4）代入y=kx+b，得：，解得：，2k+b=4所以一次函数的解析式为y=x﹣；（2）﹣x2中，令y=0，则x=2，即直线y=﹣﹣2与x轴交于点C（﹣20121∴SAOB=SAOC+SBOC=×2×2+×2×4=6；2m（3）由图可得，不等式＋＞0的解集为：＜4或＜x2．x【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．23.如图，在单位长度为1的网格中，点OAB均在格点上，3，AB2O为圆心，为==半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC4（点C在A=②连接，交OD；③连接BD，与AC交于点E．（1）求证：BD为O的切线；（2AE的长度．【答案】（）画图见解析，证明见解析3AE=（2）【解析】）根据题意作图，首先根据勾股定理得到=)，得到==90°，即可证明出22+2=5，然后证明出(的切线；DOBBD为O（2）首先根据全等三角形的性质得到BD=AC=4，然后证明出BDO，利用相似三角形的性质求解即可．【小问1详解】如图所示，∵AC是O的切线，∴，⊥∵3，=AC=4，∴=2+=5，2∵3，AB2，==∴5，=+=∴，=又∵==3，∠=，()DOB，∴∴∠=90，=°∴BD，⊥∵点D在O上，∴BD为O的切线；【小问2详解】DOB，∵AOC∴BD=AC=4，∠=，BAE=BDO，∵∴BDO，∴BAEAEABAE24==，即，ODBD33AE=∴解得．2【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．(−)(−)y=ax+bx+c的图像经过2,1,3两点．224.已知二次函数（1b的值．（2c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3(0)是该函数的图像与x轴的一个公共点，当1−<m<3时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．4a>【答案】（）b121）0或．5【解析】(−)(−)2,1,3）将点代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（30和a0两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．>4a−b+c=1(−)(−)2,1,3y=ax2+bx+c得：）将点代入，4a+b+c=−3两式相减得：b4，解得b1；（2）由题意得：a0，−=≠11y=ax2−x+c=a(x−2)+c−由（）得：，2a4a1c−则此函数的顶点的纵坐标为，4a(−)34a−2+c=3，y=ax2−x+c得：将点代入解得4a=c+1，−11c+1c−=c+则，4ax,yx+y≥2xy，0000下面证明对于任意的两个正数，都有00(x−y)=x+y−2xy≥0，2000000∴x+y≥2xyx=y00（当且仅当0000>−1时，c+1>0，当c1c+11c+11c+11c+1+=c+1+−1≥2(c+⋅−1=1（当且仅当c+1=，即c0则c1c−≥1，即4a故当c>−1时，该函数的图