人教版八年级数学上册重难考点专题04因式分解(知识串讲+13大考点)特训(原卷版+解析)

专题04因式分解考点类型知识串讲（一）因式分解的定义（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．（2）因式分解的定义注意事项：①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；②因式分解必须是恒等变形；③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．（二）因式分解的方法（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；【提公因式法的注意事项】①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。（2）公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)（三）因式分解的步骤：一提、二套、三查（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。考点训练考点1：判断是否是因式分解典例1：（2023春·江苏常州·七年级统考期中）下列各式从左到右的变形，因式分解的是（

）m2−2mn+n2C．ab+ac+1=ab+c+1【变式1】（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A．12=2×2×3 B．xC．ma+mb÷m=a+b D．【变式2】（2023春·广西崇左·七年级统考期中）下列各式中，由左向右的变形是因式分解的是（

）A．x2−2x+1=xx−2+1C．x+3x+7=x【变式3】（2023春·浙江嘉兴·七年级校联考期中）下列代数式变形中，是正确的因式分解的是（

）A．12a(b−2)=1C．x2+y考点2：利用因式分解求字母典例2：（2023春·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）若x2+px−3=x−1x+3，则常数A．2 B．−2 C．4 D．−4【变式1】（2023春·江苏·七年级期中）已知多项式ax2+bx+c分解因式得x−3x+2，则a，A．1，−1，6 B．1，1，−6 C．1，−1，−6 D．1，1，6【变式2】（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）如果把二次三项式x2+2x+m进行因式分解，可以得到x−2x+n，那么常数mA．4 B．−4 C．8 D．−8【变式3】（2023春·四川巴中·八年级统考阶段练习）若x2−ax−1可以因式分解为x−2x+b，则a+bA．2 B．−2 C．1 D．−1考点3：找公因式典例3：（2023春·广西来宾·七年级统考期末）多项式x2y3A．xy B．xy2 C．xyz 【变式1】（2023春·广东清远·八年级校考期中）多项式6aA．8abc B．2abc C．6a2b【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）把多项式6a2b−3aA．ab B．3a2b C．3a【变式3】（2023·河南濮阳·八年级统考期末）下列各组代数式没有公因式的是（

）A．5a−5b和5a+5b B．ax+y和x+ayC．a2+2ab+b2和2a+2b 考点4：提公因式分解因式典例4：（2023春·福建漳州·八年级统考期末）下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是（

）A．2n−5 B．ab+ac C．x2−4 【变式1】（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）多项式8a3bA．8a3b2 B．−4a2【变式2】（2023春·广东梅州·八年级统考期末）已知xy=8，x+y=6，则x2y+xyA．14 B．48 C．64 D．36【变式3】（2022秋·上海·七年级专题练习）用提公因式法分解因式正确的是（

）A．12abc−9a2bC．−a2+ab−ac=−a(a−b+c)考点5：判断是否是公式法分解因式典例5：（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（

）A．x2+x+1 B．x2−2x−1 C．【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市文汇中学校考期末）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（

）A．x2−4 B．−x2−y【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（）个．①3x2+3y2

②−x2+y2

③A．2 B．3 C．4 D．5【变式3】（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（）A．−x2+4x+4 B．x2+4 考点6：分解因式——平方差公式典例6：（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（

）A．a2+−b2 B．−x2【变式1】（2023·安徽·校联考三模）将多项式1−4x2因式分解，正确的是（A．(2x+1)(2x−1) B．(1−2x)(1+2x) C．(1+2x)(2x−1) D．(1+4x)(1−4x)【变式2】（2023春·浙江杭州·七年级统考期末）下列多项式因式分解的结果中不含因式x−2的是（

）A．x2−2x B．x2−4 C．【变式3】（2023春·浙江金华·七年级统考期末）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（

）A．m2−4 B．−m2−4 考点7：分解因式——完全平方公式典例7：（2023·山西晋城·八年级统考期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（

）A．x2−4x−4 B．4x2−4x+1 【变式1】（2023·安徽安庆·校联考一模）下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（

）A．4x2−6xy+9y2 B．4a【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）A．x2−4x+1 B．x2+6x+9 C．【变式3】（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（

）x+yy−x−4xy B．C．4m2−m+1考点8：分解因式——公式法综合典例8：（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）把a2+12A．a2+1−4a2C．a+12a−12【变式1】（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（

）A．ma+mb=ma+b B．C．a2−2ab+2b【变式2】（2021秋·八年级课时练习）下列各式用公式法分解因式正确的是（

）A．−4x2−9=−(2x+3)(2x−3)C．x2−2xz−z【变式3】（2021春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）下列因式分解正确的是（

）A．x2﹣9＝（x﹣3）2B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1）考点9：分解因式——综合法典例9：（2023·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（

）A．a2−2a−3=a−1C．a+2a−2=a【变式1】（2023·八年级课时练习）下列因式分解正确的是（

）A．−2a2+4a=−2aC．2x2+3【变式2】（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）下列因式分解错误的是（

）A．3ax2−6ax=3(aC．xx−y+yy−x【变式3】（2023春·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）下列因式分解正确的是（

）A．2x3y−xC．x2−x−5=xx−1考点10：因式分解与简便运算典例10：（2023春·湖南·七年级期末）计算1−122A．512 B．12 C．712【变式1】（2023·河北唐山·统考二模）计算：1252-50×125+252=(

)A．100 B．150 C．10000 D．22500【变式2】（2021秋·河南安阳·八年级统考期末）已知20102021−20102019=A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）计算−22022+−2A．－2 B．2 C．－22021 D．考点11：分解因式——十字相乘法典例11：（2023春·山西大同·九年级校联考期中）若多项式x2−ax+12可分解为x−3x+bA．−11 B．−3 C．3 D．7【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是x+6x−2，乙看错了b的值，分解的结果为x−8x+4，那么A．−8 B．−6 C．−4 【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）将多项式x2A．x+3x−4 B．C．x+6x−2 D．【变式3】（2023春·七年级课时练习）多项式x2A．x−1x+18 B．C．x−3x+6 D．考点12：分解因式——分组分解法典例12：（2022秋·八年级单元测试）把多项式x2−yA．(x+y−3)(x−y−3) B．(x+y−1)(x−y+3)C．(x+y−3)(x−y+1) D．(x+y+1)(x−y−3)【变式1】（2022秋·八年级单元测试）已知x3−12x+16有一个因式x+4，把它分解因式后的结果是（A．x+4x−22 C．x+4x+22 【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解法将x2A．x2−2x+C．x2+2y+【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解a2A．a2−bC．a2−b考点13：因式分解的应用典例13：（2023春·广西桂林·七年级统考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2A．我爱美 B．龙胜游 C．爱我龙胜 D．美我龙胜【变式1】（2023·浙江·八年级假期作业）已知a、b、c是△ABC三条边的长，且满足条件a2+2b2+A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【变式2】（2023春·安徽宿州·七年级统考期中）已知，X2−16Y2=16，X+4Y=A．64 B．32316 C．32 D．【变式3】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3同步过关一、单选题1．（2023春·浙江·七年级期末）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（

）A．(x+2)(x−2)=x2−4C．x2−32．（2023·重庆渝北·八年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）3．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．x−1x−2=1−xC．ax−3+b3−x4．（2022秋·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(

)A．a+2a−2=aC．x2−9=x−35．（2023春·湖南常德·七年级常德市淮阳中学校考期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱学 B．爱五中 C．我爱五中 D．五中数学6．（2023春·浙江·七年级期末）若实数a，b满足方程组ab+a−b=85a−5b+ab=20，则a2b−aA．20 B．15 C．−15 D．107．（2023·广东中山·八年级统考期中）下列变形中属于因式分解的是（

）A． B．C． D．8．（2023春·七年级课时练习）若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．29．（2022秋·重庆九龙坡·八年级统考期末）下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（）A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2 B．9﹣x2＝（3+x）（3﹣x）C．x2+6x+4＝（x+2）2+2x D．x2﹣8＝（x+4）（x﹣4）10．（2023春·全国·八年级专题练习）下列因式分解中，正确的是（

）①x2y−2xy2+xy=xyx−2yA．①② B．①③ C．②③ D．②④11．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长a，b，c满足(a2−A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形12．（2023·浙江·九年级专题练习）分解因式a3−4a的结果正确的是（A．aa2−4 B．aa−2a+2 13．（2022秋·山东东营·八年级统考期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A．（a－3）（a＋3）＝a2－9 B．x2＋x－5＝（x－2）（x＋3）＋1C．x2＋1＝x（x＋1x） D．a2b＋ab2＝ab（a＋b14．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．ab+ac+d＝a（b+c）+d B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．6ab＝2a⋅3b D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）215．（2023春·河北保定·八年级校考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2A．我爱美 B．保师好 C．爱我保师 D．美我保师二、填空题16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）分解因式：x2﹣2xy+y2＝．17．（2023·安徽·九年级专题练习）因式分解：a2b−a18．（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则12x3y+x2y2+12xy3＝19．（2023春·全国·七年级专题练习）分解因式：x2−2x−220．（2023春·七年级课时练习）写出下列各式分解因式时应提取的公因式：(1)ax-ay应提取的公因式是；(2)3mx-6nx2应提取的公因式是；(3)-x2+xy-xz应提取的公因式是.21．（2023春·四川成都·七年级校联考期中）多项式2x4−3x3+ax22．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：x2−5x−24=23．（2023·广东深圳·模拟预测）将4a3−a24．（2023·江苏扬州·统考二模）因式分解mx225．（2023·八年级课时练习）若x2+ax+4=x−22三、解答题26．（2023春·四川达州·八年级校联考期末）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab−a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a（1）若a=−1，b=2，求a，b的“传承数”c；（2）若a=1，b=x2，且x2+3x+1=0，求a，（3）若a=2n+1，b=n−1，且a，b的“传承数”c值为一个整数，则整数n的值是多少？27．（2023·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）把下列各式因式分解（1）3（2）x28．（2023春·江苏·七年级专题练习）发现与探索：如图，根据小军的方法，将下列各式因式分解：（1）a2+5a+6；（2）a2+2ab﹣3b2．小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是边长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（3）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为：；（4）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．29．（2022秋·八年级单元测试）①已知a＝12，mn＝2，求a2•（am）n②若2n•4n＝64，求n的值．30．（2023·福建龙岩·八年级校考阶段练习）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴n=4，m=4．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值．31．（2023·上海嘉定·七年级统考期中）因式分解：(1)a(2)a32．（2023·八年级课时练习）如图，水压机有四根空心钢立柱，每根高都是18m，外径D为1m，内径d为0.4m．每立方米钢的质量为7.833．（2023·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22−02（1）分别判断36和54这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n和2n－2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）小于101的所有神秘数共有______个．34．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+ca≠0变形为运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：x===根据以上材料，解答下列问题：（1）用多项式的配方法将x2+8x−1化成（2）利用上面阅读材料的方法，把多项式x2（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x235．（2023春·福建·八年级统考期末）已知ab=3   ,   

专题04因式分解考点类型知识串讲（一）因式分解的定义（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．（2）因式分解的定义注意事项：①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；②因式分解必须是恒等变形；③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．（二）因式分解的方法（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；【提公因式法的注意事项】①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。（2）公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)（三）因式分解的步骤：一提、二套、三查（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。考点训练考点1：判断是否是因式分解典例1：（2023春·江苏常州·七年级统考期中）下列各式从左到右的变形，因式分解的是（

）m2−2mn+n2C．ab+ac+1=ab+c+1【答案】A【分析】根据因式分解的定义即可进行解答．【详解】解：A、m2B、x−2x+2C、ab+ac+1=ab+cD、2x故选：A．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．【变式1】（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A．12=2×2×3 B．xC．ma+mb÷m=a+b D．【答案】D【分析】直接根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A．12=2×2×3，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．xx−2C．(ma+mb)÷m=a+b，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．a2故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法。因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．【变式2】（2023春·广西崇左·七年级统考期中）下列各式中，由左向右的变形是因式分解的是（

）A．x2−2x+1=xx−2+1C．x+3x+7=x【答案】B【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可【详解】解：A．x2B．9xC．x+3x+7D．x+2y2故选：B．【点睛】此题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．【变式3】（2023春·浙江嘉兴·七年级校联考期中）下列代数式变形中，是正确的因式分解的是（

）A．12a(b−2)=1C．x2+y【答案】D【分析】根据因式分解的定义，以及提公因式，公式法因式分解逐项分析判断即可求解．【详解】A.12B.3x−6y+3=3(x−2y+1)，故该选项不正确，不符合题意；C.x2+D.x2故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义以及因式分解的方法是解题的关键．考点2：利用因式分解求字母典例2：（2023春·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）若x2+px−3=x−1x+3，则常数A．2 B．−2 C．4 D．−4【答案】A【分析】将等式右边利用多项式乘多项式运算法则展开，再使等式左右两边x的一次项系数相等即可求解．【详解】解：∵x2∴x2∴p=2，故选：A．【点睛】本题考查已知因式分解结果求参数、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则并正确求解是解答的关键．【变式1】（2023春·江苏·七年级期中）已知多项式ax2+bx+c分解因式得x−3x+2，则a，A．1，−1，6 B．1，1，−6 C．1，−1，−6 D．1，1，6【答案】C【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将x−3x+2展开，分别对应a【详解】解：x−3x+2∵多项式ax2+bx+c∴a=1,b=−1,c=−6，故选：C．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得c=−3×2=−6,b=−3+2=−1,a=1×1=1进行求解．【变式2】（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）如果把二次三项式x2+2x+m进行因式分解，可以得到x−2x+n，那么常数mA．4 B．−4 C．8 D．−8【答案】D【分析】将x−2x+n展开，根据因式分解得到x2+2x+m=【详解】解：x−2x+n∵x2∴x2∴n−2=2m=−2n，解得：n=4故选D．【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解题的关键是将多项式正确展开．【变式3】（2023春·四川巴中·八年级统考阶段练习）若x2−ax−1可以因式分解为x−2x+b，则a+bA．2 B．−2 C．1 D．−1【答案】A【分析】直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案．【详解】解：∵二次三项式x2−ax−1可分解为∴x2则−2b=−1，b−2=−a，解得：b=12，∴a+b=1故选：A．【点睛】此题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式的运算，正确将原式变形是解题的关键．考点3：找公因式典例3：（2023春·广西来宾·七年级统考期末）多项式x2y3A．xy B．xy2 C．xyz 【答案】A【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数幂即可求解．【详解】解：多项式x2y3故选：A．【点睛】本题考查公因式的确定，熟练掌握公因式的确定方法是解答的关键．【变式1】（2023春·广东清远·八年级校考期中）多项式6aA．8abc B．2abc C．6a2b【答案】B【分析】根据多项式的公因式定义，多项式各项都含有的公共的因式是公因式即可得出答案．【详解】多项式6a2bc−8a故选：B．【点睛】本题考查多项式的公因式问题，掌握多项式的公因式定义是解题关键．【变式2】（2023春·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）把多项式6a2b−3aA．ab B．3a2b C．3a【答案】D【分析】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可．【详解】解：6a故选：D．【点睛】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．【变式3】（2023·河南濮阳·八年级统考期末）下列各组代数式没有公因式的是（

）A．5a−5b和5a+5b B．ax+y和x+ayC．a2+2ab+b2和2a+2b 【答案】B【分析】此题可对代数式进行变形，然后可以看出是否有公因式．【详解】解：A、5a−5b=5(a−b)，5a+5b=5a+b，所以5a−5b和5a+5b有因式5B、ax+y与x+ay没有公因式，故本选项符合题意；C、a2+2ab+b2=a+b2，aD、a2−ab=aa−b，a2−b2故选：B．【点睛】此题考查了因式分解的含义、平方差公式以及完全平方公式因式分解，熟记公因式的概念是解题的关键．考点4：提公因式分解因式典例4：（2023春·福建漳州·八年级统考期末）下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是（

）A．2n−5 B．ab+ac C．x2−4 【答案】B【分析】找出选项中有公因式的选项即可．【详解】解：A.2n−5中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；B.ab+ac，能用提公因式法进行因式分解，故本选项符合题意；C.x2D.x2故选：B．【点睛】此题考查了因式分解-提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．【变式1】（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）多项式8a3bA．8a3b2 B．−4a2【答案】C【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出公因式．【详解】8即多项式8a3b故选：C．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【变式2】（2023春·广东梅州·八年级统考期末）已知xy=8，x+y=6，则x2y+xyA．14 B．48 C．64 D．36【答案】B【分析】将代数式进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵xy=8，x+y=6，∴x2故选：B．【点睛】本题考查代数式求值，提取公因式法，正确计算是解题的关键．【变式3】（2022秋·上海·七年级专题练习）用提公因式法分解因式正确的是（

）A．12abc−9a2bC．−a2+ab−ac=−a(a−b+c)【答案】C【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．【详解】解：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本选项错误；B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误；C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正确；D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．考点5：判断是否是公式法分解因式典例5：（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（

）A．x2+x+1 B．x2−2x−1 C．【答案】D【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可．【详解】解：A．x2B．x2C．x2D．x2故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2【变式1】（2023春·北京东城·七年级北京市文汇中学校考期末）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（

）A．x2−4 B．−x2−y【答案】B【分析】根据平方差公式法a2【详解】A：x2−4B：−x2−C：m2n2D：a2−4b故选：B．【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式a2【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（）个．①3x2+3y2

②−x2+y2

③A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据完全平方公式a±b2=a【详解】解：①3x②−x③−x④x2⑤x2⑥−x故选A．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．【变式3】（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（）A．−x2+4x+4 B．x2+4 【答案】C【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的特征，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.−x2B.x2+4C.x2−2x+1=D.4x2−4x+4故选：C．【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．考点6：分解因式——平方差公式典例6：（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（

）A．a2+−b2 B．−x2【答案】C【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【详解】解：A、a2B、−xC、−mD、3x故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点：a2【变式1】（2023·安徽·校联考三模）将多项式1−4x2因式分解，正确的是（A．(2x+1)(2x−1) B．(1−2x)(1+2x) C．(1+2x)(2x−1) D．(1+4x)(1−4x)【答案】B【分析】根据平方差公式进行分解因式即可求解．【详解】解：1−4=(1−2x)(1+2x)，故选：B．【点睛】本题主要考查因数分解，掌握公式法分解因式是解题的关键．【变式2】（2023春·浙江杭州·七年级统考期末）下列多项式因式分解的结果中不含因式x−2的是（

）A．x2−2x B．x2−4 C．【答案】D【分析】分别利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断得出答案．【详解】解：A、x2−2x=x(x−2)，含有因式B、x2−4=(x+2)(x−2)，含有因式C、x2−4x+4=(x−2)D、x2+4x+4=(x+2)故选：D．【点睛】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．【变式3】（2023春·浙江金华·七年级统考期末）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（

）A．m2−4 B．−m2−4 【答案】A【分析】根据平方差公式a2【详解】解：∵m2−4=m−2故A项符合题意；∵−m故B项不符合题意；∵m2故C项不符合题意；∵m2故D项不符合题意；故选:A．【点睛】本题考查了平方差公式a2考点7：分解因式——完全平方公式典例7：（2023·山西晋城·八年级统考期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（

）A．x2−4x−4 B．4x2−4x+1 【答案】B【分析】利用完全平方公式：a2【详解】解：A、x2B、4xC、4xD、x2故选：B．【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式．【变式1】（2023·安徽安庆·校联考一模）下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（

）A．4x2−6xy+9y2 B．4a【答案】D【分析】根据完全平方公式逐一判断即可．【详解】解：A、4xB、4aC、x2D、4m故答案为：D．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式a2【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）A．x2−4x+1 B．x2+6x+9 C．【答案】B【分析】根据完全平方公式和因式分解的定义逐项进行分析判断，即可得出答案．【详解】解：A.x2B.x2C.x2D.x2故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式和因式分解的定义，熟练掌握完全平方公式和因式分解的定义的是解题的关键．【变式3】（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（

）x+yy−x−4xy B．C．4m2−m+1【答案】D【分析】根据完全平方公式a2【详解】解：A、x+y=−=−=−xB、a=≠a−2b2=C、4=≠2m−D、a−b===a−b−1故选：D．【点睛】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用，熟记公式法因式分解的常见公式是解决问题的关键．考点8：分解因式——公式法综合典例8：（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）把a2+12A．a2+1−4a2C．a+12a−12【答案】C【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【详解】解：a2故选：C.【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.【变式1】（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（

）A．ma+mb=ma+b B．C．a2−2ab+2b【答案】A【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案．【详解】解：A.ma+mb=ma+bB.8mC.a2D.x2故选：A．【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．【变式2】（2021秋·八年级课时练习）下列各式用公式法分解因式正确的是（

）A．−4x2−9=−(2x+3)(2x−3)C．x2−2xz−z【答案】B【分析】分别利用平方差公式与完全平方公式分解因式进而得出答案．【详解】A.−4x2B.4mn−4mC.x2−2xz−D.9a故选：B．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式与完全平方公式是解题关键．【变式3】（2021春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）下列因式分解正确的是（

）A．x2﹣9＝（x﹣3）2B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1）【答案】D【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式＝（x＋3）（x﹣3），错误；B、原式不能分解，错误；C、原式＝4（y2﹣2y＋1）＝4（y﹣1）2，错误；D、原式＝x（x﹣2）＋（x﹣2）＝（x﹣2）（x＋1），正确．故选：D．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．考点9：分解因式——综合法典例9：（2023·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（

）A．a2−2a−3=a−1C．a+2a−2=a【答案】B【分析】根据因式分解的定义和方法逐个判断即可．【详解】解：A、a2B、a2C、a+2a−2D、x3故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，掌握其定义和因式分解的常用方法是解题的关键．【变式1】（2023·八年级课时练习）下列因式分解正确的是（

）A．−2a2+4a=−2aC．2x2+3【答案】B【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．【详解】解：A、−2aB、3axC、2xD、m2故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．【变式2】（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）下列因式分解错误的是（

）A．3ax2−6ax=3(aC．xx−y+yy−x【答案】A【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解每个选项，根据分解结果得结论．【详解】解：A．3ax∵ax2−2axB．2xC．x(x−y)+y(y−x)=x(x−y)−y(x−y)=(x−y)(x−y)=(x−y)D．−ax故选：A．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．【变式3】（2023春·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）下列因式分解正确的是（

）A．2x3y−xC．x2−x−5=xx−1【答案】D【分析】根据提公因式法，公式法进行因式分解即可求解．【详解】解：A选项，2x3y−xB选项，−xy2+2xy−y=−yC选项，x2−x−5=xx−1D选项，2x2−8x+8=2(故选：D．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键．考点10：因式分解与简便运算典例10：（2023春·湖南·七年级期末）计算1−122A．512 B．12 C．712【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式=1−=1=1=7故选：C．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．【变式1】（2023·河北唐山·统考二模）计算：1252-50×125+252=(

)A．100 B．150 C．10000 D．22500【答案】C【详解】试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．故选C．点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键．【变式2】（2021秋·河南安阳·八年级统考期末）已知20102021−20102019=A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．【答案】B【分析】将20102021−2010【详解】解：2010=∴2010∴x=2019故选：B．【点睛】本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）计算−22022+−2A．－2 B．2 C．－22021 D．【答案】D【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．【详解】解：(-2)2022+(-2)2021=(-2)2021×(-2+1)=−=2故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．考点11：分解因式——十字相乘法典例11：（2023春·山西大同·九年级校联考期中）若多项式x2−ax+12可分解为x−3x+bA．−11 B．−3 C．3 D．7【答案】C【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：−a=−3+b，12=−3b．【详解】解：∵多项式x2−ax+12可分解为∴：−a=−3+b，12=−3b．∴b=−4，a=7．∴a+b=−4+7=3．故选：C．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是x+6x−2，乙看错了b的值，分解的结果为x−8x+4，那么A．−8 B．−6 C．−4 【答案】A【分析】根据甲分解的结果求出b，根据乙分解的结果求出a，然后代入b−a求解即可．【详解】解：∵x+6x−2∴b=−12，又∵x−8x+4∴a=−4，∴b−a=−12−−4故选：A．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）将多项式x2A．x+3x−4 B．C．x+6x−2 D．【答案】C【分析】二次项系数看成1×1，常数项看成6×−2【详解】解：x=故选：C．【点睛】本题考查了用十字相乘法分解因式，正确理解因式分解的定义，注意各项系数的符号是解题的关键．【变式3】（2023春·七年级课时练习）多项式x2A．x−1x+18 B．C．x−3x+6 D．【答案】D【详解】将原式利用十字相乘法分解因式即可．【分析】解：用十字相乘法可得x2故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．考点12：分解因式——分组分解法典例12：（2022秋·八年级单元测试）把多项式x2−yA．(x+y−3)(x−y−3) B．(x+y−1)(x−y+3)C．(x+y−3)(x−y+1) D．(x+y+1)(x−y−3)【答案】D【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．【详解】解：x====(x+y+1)(x−y−3)故选：D．【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．【变式1】（2022秋·八年级单元测试）已知x3−12x+16有一个因式x+4，把它分解因式后的结果是（A．x+4x−22 C．x+4x+22 【答案】A【分析】根据已知可以得x3【详解】解：设x3∵x+4x∴a+4=0,4+4a=−12，解得a=−4，∴x3故选：A．【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解法将x2A．x2−2x+C．x2+2y+【答案】C【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：A．x==x=x−2B．x===x=x−yC．x2−xy+2y−2xD．x==x=x−2故选：C．【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）用分组分解a2A．a2−bC．a2−b【答案】D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：a===a+b−c故选：D．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．考点13：因式分解的应用典例13：（2023春·广西桂林·七年级统考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2A．我爱美 B．龙胜游 C．爱我龙胜 D．美我龙胜【答案】C【分析】用提公因式法和平方差公式，将(x【详解】解：x==∵a−b，x−y，x+y，a+b，分别对应下列六个字：胜、爱、我、龙，∴呈现的密码信息可能是“爱我龙胜”．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解本题的关键，综合性较强，难度适中．【变式1】（2023·浙江·八年级假期作业）已知a、b、c是△ABC三条边的长，且满足条件a2+2b2+A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到a=b=c，从而得到答案．【详解】解：∵a2∴a2∴a2∴a−b2∵a−b2∴a−b2∴a−b=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形，故选A．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．【变式2】（2023春·安徽宿州·七年级统考期中）已知，X2−16Y2=16，X+4Y=A．64 B．32316 C．32 D．【答案】B【分析】第一个等式左边利用平方差公式分解因式，把X+4Y=12代入求出X−4Y的值，联立求出X与【详解】解：∵X2−16∴X−4Y=32②联立①②解得：X+4Y=1解得X=654，∴X−Y=323故选：B．【点睛】此题考查了因式分解的应用，，以及解二元一次方程组，熟练掌握公式是解本题的关键．【变式3】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，可以得到a−b，a−c，b−c的值，然后将所求式子变形，然后将a−b，a−c，b−c的值代入变形后的式子计算即可．【详解】∵a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，∴a=2=a−b=−1=1+4+1=3，故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键时明确题意，利用完全平方公式解答．同步过关一、单选题1．（2023春·浙江·七年级期末）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（

）A．(x+2)(x−2)=x2−4C．x2−3【答案】C【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A、(x+2)(x−2)=xB、6y+2x=x6y+2C、x2D、x2故选C．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．2．（2023·重庆渝北·八年级重庆市渝北中学校校考阶段练习）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）【答案】B【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式＝x（x﹣y+1），不符合题意；B、原式＝（a﹣b）2，符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式不能分解，不符合题意，故选B．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．x−1x−2=1−xC．ax−3+b3−x【答案】C【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．【详解】解：A、等式左边已经因式分解好了，没有必要再分解了，故此选项不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项符合题意；D、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式．4．（2022秋·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(

)A．a+2a−2=aC．x2−9=x−3【答案】D【分析】根据因式分解的意义对四个选项进行逐一分析即可.【详解】解:A、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;B、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;C、等式右边应该是(x+3)(x-3),故不符合题意,故本选项错误.D、等式右边是几个因式积的形式,故是分解因式,故本选项正确;故选D.【点睛】本题考查了因式分解的意义,解题的关键是掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.5．（2023春·湖南常德·七年级常德市淮阳中学校考期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱学 B．爱五中 C．我爱五中 D．五中数学【答案】C【分析】先运用提公因式法,再运用公式法进行因式分解即可．【详解】解：∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），∴结果呈现的密码信息可能是：我爱五中．故选：C．【点睛】考核知识点:因式分解.掌握提公因式法和套用平方差公式是关键．6．（2023春·浙江·七年级期末）若实数a，b满足方程组ab+a−b=85a−5b+ab=20，则a2b−aA．20 B．15 C．−15 D．10【答案】B【分析】直接利用整体思想得出ab，a+b的值，进而分解因式得出答案．【详解】解：∵ab+a−b=85a−5b+ab=20∴ab=5a−b=3∴a2b-ab2=ab（a-b）=3×5=15．故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及整体思想的应用，正确解方程组是解题关键．7．（2023·广东中山·八年级统考期中）下列变形中属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】试题分析：根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个因式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式，可知：A、B、C都错误；D正确；故选D．考点：因式分解8．（2023春·七年级课时练习）若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．【详解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c﹣2）2＝0，∴b+c＝2，故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.9．（2022秋·重庆九龙坡·八年级统考期末）下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（）A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2 B．9﹣x2＝（3+x）（3﹣x）C．x2+6x+4＝（x+2）2+2x D．x2﹣8＝（x+4）（x﹣4）【答案】B【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．【详解】解：A：从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B：从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C：等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D：x2故选：B．【点睛】本题考查因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．10．（2023春·全国·八年级专题练习）下列因式分解中，正确的是（

）①x2y−2xy2+xy=xyx−2yA．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】D【分析】根据因式分解的方法逐项分析即可．【详解】解：①x2②−a+ab−ac=−a1−b+c③9abc−6a④2x故选D．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．11．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长a，b，c满足(a2−A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【分析】先把等式的左边分解因式，再根据几个数相乘得0，至少有一个为0求解．【详解】解：∵(∵a，∴a+c≠0,1+b∴a=c,∴这个三角形的形状是等腰三角形，故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及等腰三角形的定义，正确的分解因式是解题的关键．12．（2023·浙江·九年级专题练习）分解因式a3−4a的结果正确的是（A．aa2−4 B．aa−2a+2 【答案】B【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解因式即可．【详解】解：a3故选：B．【点睛】本题考查了分解因式，分解因式一般要先提取公因式，然后利用完全平方公式或平方差公式进行分解．13．（2022秋·山东东营·八年级统考期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A．（a－3）（a＋3）＝a2－9 B．x2＋x－5＝（x－2）（x＋3）＋1C．x2＋1＝x（x＋1x） D．a2b＋ab2＝ab（a＋b【答案】D【分析】根据因式分解的定义判断即可．【详解】A、从左往右的变形属于整式乘法运算，不符合题意；B、C，因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积形式，不符合题意；D、提取了公因式ab，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查对因式分解定义的理解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．14．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．ab+ac+d＝a（b+c）+d B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．6ab＝2a⋅3b D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2【答案】D【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．【详解】A、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；B、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；C、等式左边是单项式，不是因式分解，故本选项错误；D、符合因式分解的定义，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．15．（2023春·河北保定·八年级校考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2A．我爱美 B．保师好 C．爱我保师 D．美我保师【答案】C【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．【详解】解：∵(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b)，又∵a-b，x-y，x+y，a+b分别对应下列四个个字：爱、我、保、师，∴结果呈现的密码信息是：爱我保师．故选：C．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．二、填空题16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）分解因式：x2﹣2xy+y2＝．【答案】（x﹣y）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式＝（x﹣y）2，故答案为（x﹣y）2【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17．（2023·安徽·九年级专题练习）因式分解：a2b−a【答案】ab(a−b)【分析】利用提取公因式法即可．【详解】提取公因式ab得：a故答案为：ab(a−b)．【点睛】本题考查了利用提取公因式法进行因式分解，因式分解的方法主要包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、换元法等，熟记各方法是解题关键．18．（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则12x3y+x2y2+12xy3＝【答案】-2【分析】先提公因数法把多项式12x3y+x2y2+12xy【详解】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，∴12x3y+x2y2+12xy3代入数据，原式=1故答案为：−2．【点睛】本题考查了因式分解，先提公因式，然后再套完全平方公式即可求解.19．（2023春·全国·七年级专题练习）分解因式：x2−2x−2【答案】x−2y【分析】先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，然后提出公因式，即可求解．【详解】解：原式=x=x−2y=x−2y故答案为：x−2yx+y−2【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．20．（2023春·七年级课时练习）写出下列各式分解因式时应提取的公因式：(1)ax-ay应提取的公因式是；(2)3mx-6nx2应提取的公因式是；(3)-x2+xy-xz应提取的公因式是.【答案】a3x-x【分析】根据分解因式，可得公因式．【详解】（1）原式=a(x-y)，应提取的公因式是a；（2）原式=3x（m－2nx），应提取的公因式是3x；（3）原式=－x（x-y+z），应提取的公因式是-x．故答案为a；3x；-x．【点睛】本题考查了公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．21．（2023春·四川成都·七年级校联考期中）多项式2x4−3x3+ax【答案】-6【分析】由于x2+x-2=（x+2）（x-1），而多项式2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除，则2x4-3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x-1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4-3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x-1），则x=-2和x=1时，2x4-3x3+ax2+7x+b=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到a+b的值.【详解】解：∵x2+x-2=（x+2）（x-1），∴2x4-3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x-1）整除，设商是A．则2x4-3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x-1），则x=-2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x=-2时，2x4-3x3+ax2+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0①当x=1时，2x4-3x3+ax2+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0②①-②，得3a+36=0，∴a=-12，∴b=-6-a=6．∴a+b=-12+6=-6.【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出x=-2和x=1时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．22．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：x2−5x−24=【答案】(x−8)(x+3)【分析】直接利用因式分解法分解因式即可．【详解】解：x2故答案为：(x−8)(x+3)．【点睛】题目主要考查利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．23．（2023·广东深圳·模拟预测）将4a3−a【答案】a(2a+b)(2a−b)【分析】先提公因式法，再用平方差公式进行因式分解．【详解】解：4a故答案为：a(2a+b)(2a−b)．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．24．（2023·江苏扬州·统考二模）因式分解mx2【答案】m【分析】先提取公因式m，然后利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：原式=m(=m(x+1)故答案为：m(x+1)【点睛】本题主要考查了用提公因式法、完全平方公式法分解因式，熟练掌握提公因式法、完全平方公式法是解题的关键．25．（2023·八年级课时练习）若x2+ax+4=x−22【答案】-4【分析】直接利用完全平方公式得出a的值．【详解】解：∵x2∴a=−4故答案为−4【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．三、解答题26．（2023春·四川达州·八年级校联考期末）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab−a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a（1）若a=−1，b=2，求a，b的“传承数”c；（2）若a=1，b=x2，且x2+3x+1=0，求a，（3）若a=2n+1，b=n−1，且a，b的“传承数”c值为一个整数，则整数n的值是多少？【答案】（1）c=52；（2）c=6；（3）【分析】（1）根据题意和a、b的值可以求得“传承数”c；（2）由x2+3x+1=0，可得（3）根据（2）中的结论和分式有意义的条件可以求得m的值．【详解】（1）∵a=−1，b=2∴c=（2）∵x∴x≠0，两边同时除以x得：x+3+∴x+∵a=1，b=∴c=ab−a+b=1（3）∵a=2n+1，b=n−1∴c=ab∵c为整数，n为整数

∴n−1为-3、-1、1或3∴n为-2、0、2或4.【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．27．（2023·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）把下列各式因式分解（1）3（2）x【答案】（1）3a(a+2b)(a−2b)；（2）(x+y)(x−y)【分析】（1）直接提取公因式3a，再利用平方差公式继续分解因式即可；（2）首先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解因式即可．【详解】（1）3=3a(=3a(a+2b)(a−2b)；（2）x==(x+y)(x−y)【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．28．（2023春·江苏·七年级专题练习）发现与探索：如图，根据小军的方法，将下列各式因式分解：（1）a2+5a+6；（2）a2+2ab﹣3b2．小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如