中考数学复习：直线的一般式方程（知识清单8类）（原卷版）

第05讲直线的一般式方程

01学习目标

课程标准学习目标

①理解与掌握直线的一般式方程的形式

及条件.会求直线的一般式方程。

通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，

②能准确的将直线的五种形式的方程进

会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互

行形式上的转换.理解直线的代数形式与几

转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之

何意义。

有关的综合问题.

③会用直线的一般式进行有关的直线位置

的判定与参数的求解，能解决与直线有关的

综合问题。

思维导图

一般地，与直线企+与+c=o垂直的直线系方程都可表示为/-/}+"=0（其中

垂直直线系方程

M为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定m的值.

E知识清单

知识点01：直线的一般式方程

定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于1,y的二元一次方程—+为+。=。（其中

A,8不同时为0A?+笈w0）叫做直线的一般式方程,简称一般式.

说明：

1.A、5不全为零才能表示一条直线，若A、5全为零则不能表示一条直线.

Ar（A

当3。。时，方程可变形为y=-一x—-,它表示过点0,-瓦，斜率为-一的直线.

BB<DJB

C

当6=0,AwO时，方程可变形为Ac+C=O,即工=——,它表示一条与无轴垂直的直线.

A

由上可知，关于％、y的二元一次方程，它都表示一条直线.

2.在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以

对应着无数个关于尤、丁的一次方程.

3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.

【即学即练1】（多选）（2324高二上•河北石家庄•阶段练习）下列命题中错误的是（）

A.若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数B.任何直线都存在斜率和倾斜

角

C.直线的一般式方程为-+3y+C=。D.任何一条直线至少要经过两个象限

知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化

【即学即练2】（2324高二上•河南南阳•阶段练习）已知A（3,-3）,3（0,2）,则AB边所在直线的方程为（)

A.5x+3y—6=0B.3x-5y+15=0

C.%+13y+5^0D.3x+8y+15=0

知识点03：直线系方程

1.平行直线系方程

把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线不+为+。=。平行的直线系方

程都可表示为Ax+5y+m=O（其中机为参数且加W。，然后依据题设中另一个条件来确定机的值.

【即学即练3］（2324高二下•上海•期末）过点（L3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为.

2.垂直直线系方程

一般地，与直线Ar+5y+C=。垂直的直线系方程都可表示为m=0（其中加为参数）,然后

依据题设中的另一个条件来确定用的值.

【即学即练4］（2324高二上•云南临沧•阶段练习）已知直线/经过点P（2,T）,且与直线2x+3y+l=0垂直,

则直线/的方程是（）

A.2x+3y—7=0B.3%+2y—8=0

C.2x-3y-l=0D.3x—2y—8=0

2

04题型精讲

题型01直线的一般式方程及其辨析

【典例1】（2324高三上•山东青岛•期末）对于直线-若y-6=0,下列选项正确的为（）

A.直线/倾斜角为g

B.直线/在丁轴上的截距为

C.直线/的一个方向向量为（3,6）

D.直线/经过第二象限

【典例2】（多选）（2324高二上•宁夏银川・期中）直线Ax+8y+C=0（A,8不同时为0）下列说法正确

的是（）

A.48片0则该直线与两坐标轴都相交B.A=0,则该直线与x轴平行

C.8=0,C=（）则该直线为y轴所在直线D.C=0,则该直线过原点

【典例3］（2122高二上•辽宁大连•阶段练习）已知方程2-2m-3）x+（2m2+〃z-l）y+6-2m=0（meR）.

⑴求该方程表示一条直线的条件；

（2）当相为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；

⑶已知方程表示的直线I在无轴上的截距为-3,求实数m的值；

⑷若方程表示的直线/的倾斜角是45。，求实数m的值.

【变式1］（多选）（2024高三•全国・专题练习）（多选）下列结论正确的是（）

3

A.经过点尸（一2,5）,且斜率为一a的直线的方程是3x—4y+26=0

B.过点3,5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为无-y+8=0

C.过点（尤/,”），（尤2,>2）的直线的方程为（j—V7）（X2—X/）=（"一”）（X—X/）

D.任意一条不过点（0,2）的直线均可用方程（y—2）=1形式表示

【变式2］（多选）（2324高二上•贵州,开学考试）已知直线/：而+8y+C=0（A,8不同时为0），贝U（）

A.当A=0,8w0时，/与x轴垂直

B.当Aw0,8=0,C=0时，/与>轴重合

C.当C=0时，/过原点

D.当A>0,B>0时，/的倾斜角为锐角

【变式3］（多选）（2324高二上・贵州贵阳•期中）已知直线/：Ax+2y+C=0,其中A3不全为0,则下

列说法正确的是（）

A.当C=0时，/过坐标原点

B.当AB>0时，/的倾斜角为锐角

C.当3=0,Cw0时，/和X轴平行

D.若直线/过点直线/的方程可化为A"—%）+3（y—%）=0

题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化

【典例1】（2324高二上•河北邢台・期末）已知经过点（3,1）的直线/的一个方向向量为（3,2）,贝I"的方程为

（）

A.3%+2y—11=0B.2兀—3y-3=0

C.2%+3y—9=0D.3x—2y-7=0

【典例2】（2324高二上•宁夏银川•期末）倾斜角为45。，在>轴上的截距是-2的直线方程为.（写

成一般式方程）

【典例3］（2024高二上•全国・专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程.

⑴直线的斜率为2,且经过点A（L3）；

（2）斜率为百，且在，轴上的截距为4;

（3）经过两点4（2,-3）,B（-l,-5）；

⑷在尤,y轴上的截距分别为2,t.

【变式1】（2324高二上・海南•期末）已知直线/的方向向量为〃=（3,2）,且/经过点（3,1）,则/的方程为（）

A.2x-3y-6=0B.2%—3y—3=0

C.3x+2y-n=0D.3x—2y—7=0

3

【变式2]（2324高二上,广东佛山•期末）斜率为号且经过点（1,-1）的直线方程为（）

A.3x+4y-l=0B.3x+4y+1=0

C.3x—4y—7=0D.3x-4y-l=0

【变式3】（2324高二上•广东珠海•期末）已知ABC的三个顶点是A（4,0）,3（6,7）,C（0,4）.

⑴求8c边上的中线的直线方程;

（2）求8C边上的高的直线方程

⑶求AC边的垂直平分线

题型03根据直线平行求参数

【典例1】（2324高三上・广东深圳•阶段练习）已知直线办+2y+6=。与直线彳+（。+1）〉+片+5=0互相平

行，则实数。的值（）

A.2B.2或1C.2D.1

【典例2]（2324高三上,山东青岛,期末）"形=3"是"直线2:mx+y+i=。与J3x+O-2）y-3%=。平行”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例3】（2324高二上•甘肃・期末）若直线（3a+2）x+效+6=0和直线以-y+3=0平行，则（）

A.〃=0或〃=」B.〃=-1或。=-2

3

C.a=~\D.a=—2

【典例4】（2324高二上•吉林辽源•期末）已知直线4：x+ay+6=。，直线&：（。-2）%+3冲+18=0,且乙〃

12,贝U。的值为.

【变式1】（2324高二上•广西百色・期末）若直线内+2y+l=0和x+（a+l）y+a=。平行，则。的值为（）

A.a=—2B.a=l

C.〃=—2或〃=1D.a=­l

【变式2］（2324高二上•河北石家庄•阶段练习）若直线ov+3y-4=0与尤+（a+2）y+2=0平行，则。=（）

3

A.1B.-3C.1或-3D.——

2

【变式3］（2324高二上•福建福州•阶段练习）已知直线/1：x+（〃?+l）y+机=。，，l2:mx+2y+1=0,则"〃///

的必要不充分条件是（）

A.m=—2B.m=l

C.m=—2或根=1D.m=2

【变式4］（2324高二上•四川泸州•期中）若直线依+2y+2=。与直线8x+ay+4=0平行,则实数。等于（）

A.4B.-4C.4或TD.2

题型04根据直线垂直求参数

【典例1］（2324高二下•上海•阶段练习）"a=l"是"直线x+4-1=0与直线办-丁+1=0相互垂直”的（）

条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要

【典例2】（2324高二上・江苏镇江•期中）已知直线/i：（，〃+2）x+3y=2-枕，4"+冲=1,若/［，4，则实

数机=（）

A.2B.-3C.——D.-2

2

【典例3）（2324高三下•云南曲靖•阶段练习）若。"为正实数，直线x+（2a-l）y+l=0与直线6x+2y-l=。

互相垂直，则他的最大值为.

【典例41（2324高二•全国•课后作业）已知直线乙：（m+2）x-（m-2）y+2=。，直线:3x+my-5=0,且41Z2,

求m的值.

【变式1】（2324高二上•福建福州•期末）若直线小火+2y-1=0与直线/2：（。_1）》_>-3=0垂直，则实数

。的取值是（）

A.〃=—1或〃=2B.a=­l

c2

C.a=2D.a——

3

【变式2］（2324高二上•江苏连云港•阶段练习）设。为实数，若直线以+2ay+l=0垂直于直线

（a-l）x-（a+l）y-l=0,则。=（）

A.0或3B.0C.3D.3

【变式3］（2324高二上・安徽亳州•阶段练习）已知直线4：6+（2—A）y-2=0与3（左一2）x+（2A:-l）y-l=0

互相垂直，则实数后=（）

A.1B.-2C.1或一2D.1或2

【变式4］（2324高二上•贵州黔西,期中）已知直线4：（。—l）x+y—l=O和直线/2：（。一1卜一y+l=O互相垂

直，则实数〃的值为.

题型05由两条直线平行求方程

【典例1】（2024•山东•二模）已知直线/与直线》-，=。平行，且在y轴上的截距是-2,则直线/的方程是

（）.

A.x-y+2=0B.x-2y+4=0

C.x-y-2=0D.x+2y-4=0

【典例2】（2324高二上•青海西宁•期末）经过点A（3,2）,且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是（）

A.4x-y-10=0B.无+4y—11=0

C.4x+y—14=0D.%—4y+5=0

【典例3】（2324高二上•上海•阶段练习）过点P（0,l）且与直线%+y=0平行的直线的方程为.

【变式1］（2324高二下•江西开学考试）过点（L-3）且与直线1-2y+l=0平行的直线方程是（）

A.x-2y-7=0B.x+2y+5=。

C.2x+y+l=0D.2兀-y-5=0

【变式2］（2024高二上•全国•专题练习）过点（5,0）且与x+2y-2=0平行的直线方程是（）

A.2x+y+5=0B.2x+y-5=0

C.x+2y-5=0D.x+2y+5=0

【变式3］（2324高二上•上海•期末）已知直线/与直线2x+y-l=。具有相同的法向量，且经过点（3,4）,

则直线I的一般式方程为.

题型06由两条直线垂直求方程

【典例1】（2324高二上•广西南宁•阶段练习）过点A（2,3）且垂直于直线2x+y-5=。的直线方程为（）

A.2x+y+5=0B.2x+y—7=0

C.x-2y+3=0D.x—2y+4=0

【典例2】（2324高二上•湖北•期末）过点/（2,-3）且与直线％+2y-9=0垂直的直线方程是（）

A.2x-y+8=0B.%—2y+7=0C.x+2y+4=0D.2x—y—7=0

【典例3】（2324高二上•宁夏银川•期末）过点A（2,3）且与直线x+2y-6=0垂直的直线方程是.

【变式1］（2324高二上•浙江金华・期末）过点P（T,2）且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（）

A,x-2y+5=0B,x+2y-3=0C.2x-y+4=0D.2x-y=0

【变式2］（2324高二上•北京•期中）经过点”（1,2）且与直线2x-y+8=0垂直的直线方程为.

【变式3］（2324高二上•福建福州•期末）过点尸（2,1）与直线2x-y+l=0垂直的直线的方程是.

题型07直线过定点问题

【典例1】（2324高二上•北京•期中）已知直线/的方程为无-四+2=0,则直线/（）

A.恒过点（-2,0）且不垂直x轴

B.恒过点（-2,0）且不垂直y轴

C.恒过点（2,0）且不垂直无轴

D.恒过点（2,0）且不垂直y轴

【典例2】（2324高二上•全国•课后作业）不论。为何实数，直线（。+3次+（24-1）»+7=0恒过第_象限.

【典例3】（2324高二上•陕西安康•期末）直线（m-2）尤-y+2m+1=0恒过定点.

【变式1］（2324高二下•上海宝山•期末）若无论实数加取何值，直线/：》+（m+l）y+l=0都经过一个定点，

则该定点坐标为.

【变式2］（2324高二上•福建泉州,期末）直线/：》+（加+1*-2〃2-4=0恒过定点.

【变式3］（2024高三・全国•专题练习）当机变化时，直线（m+2）x+（2—相）>+4=0恒过定点.

题型08直线综合

【典例1】（2024•山东潍坊•模拟预测）已知直线加：«x+y+3=0与直线“：3x+（26—l）y—l=0,（a,6>0）,

21

且加_L〃，则一+7的最小值为（）

ab

A.12B.8+4A/3C.15D.10+2^

【典例2】（2324高二下•上海•期中）已知点A（l,0）,

⑴设meR,若直线A3与直线x-2y+l=0垂直，求机的值；

（2）求过点5且与直线2x-y+1=0夹角的余弦值为专的直线方程.

【典例3】（2324高二上•贵州•阶段练习）已知直线/的方程为（2相+1）元+（a+2）y-14祖-13=0.

⑴证明：不论加为何值，直线/过定点V.

⑵过（1）中点且与直线/垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线/的

方程.

【变式1]（2024•河北沧州•三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介

质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为a的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以45。

的入射角从空气中射入点A（-2,0）,该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为.

【变式2】（2024高三•全国・专题练习）已知直线方程为（加―1）无+（〃?+2）y—3—3机=0.

⑴求证：无论机为何值，直线一定经过第一象限；

（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点，求AAOB面积的最小值及此时直线的方程.

【变式3】（2324高二上•上海嘉定・期末）已知方程（m2-2相-3）尤+（2"?2+〃Ll）y+6-2〃?=。（meR）.

⑴求该方程表示直线的条件；

（2）当加为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；

⑶直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由.

「强化训练

05

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1.（2324高二上•安徽马鞍山,阶段练习）过点尸卜道,1）,倾斜角为60的直线方程是（）

A.yf3x+y+4=0B.尤-石y+26=0

C.底-y+4=0D.x+岛+26=0

2.（2324高二下•云南•开学考试）己知直线/的倾斜角。与直线6x+y-l=0的倾斜角互补，则。=（）

A.30B.60C.120D.150

3.（2324高二下•浙江•阶段练习）已知直线乙：mx+y+l=0,Z2：3x+（m+2）y+3m=0,若I川则加

的值为（）

A.1B,-3C.1或一3D.—1或3

4.（2324高二上・北京石景山・期末）已知直线4：》+3,-7=0,直线/2：丘-，-2=0.若4，/2，则实数后=（）

C11

A.-3B.——C.-D.3

33

5.（2324高二上•贵州遵义•期末）已知直线/过点A（l,0）,且倾斜角为直线y=后倾斜角的一半，则直线/

的方程为（）

A.x-若y-l=OB.s[3x-2y-\[3=0

C.x-^y-V3=0D.3+2y+0=0

6.（上海市虹口区20232024学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试数学试卷）已知两条直线

4:2x+y-1=。和：2x+y-3=0,以下说法正确的是（）.

A.I川2B.4与4重合

c./,1Z2D.乙与4的夹角为60

7.（2024・安徽・模拟预测）"a=2"是"直线办+2y+2=0与直线x+（q-l）y+l=0平行"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2024•四川•模拟预测）已知直线分+办-2=0（々＞0点＞0）经过点（1,4）,则：+（的最小值为（）

25

A.4B.8C.9D.——

2

二、多选题

9.（2324高二上•福建漳州•期末）已知直线4：（。-2）尤+＞+。=。，l2:ax+（a-2）y-l=0,则（）

A.4过定点(T-2)B.当a=2时，4-L4

C.当a=0时，4〃12