【核心素养】北师大版九年级数学下册2.2 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质 教案

【核心素养】北师大版九年级数学下册2.2第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质教案学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容来自于北师大版九年级数学下册第2章第2节“二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质”，主要涵盖以下几个方面：

1.了解二次函数y=x^2的图象特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。

2.掌握二次函数y=-x^2的图象特征，并能够与y=x^2的图象进行对比分析。

3.理解二次函数y=x^2和y=-x^2的性质，如单调性、极值等。

4.会利用二次函数的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。

教学重点：二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质的对比分析。

教学难点：理解二次函数的性质，并能够应用于实际问题。核心素养目标本节课的核心素养目标为：通过学习二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质，培养学生数学逻辑推理、数学建模、数学抽象等核心素养。

1.数学逻辑推理：通过对比分析二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质，培养学生运用逻辑推理能力，理解并掌握二次函数的基本性质。

2.数学建模：培养学生运用二次函数的性质解决实际问题的能力，提高学生建立数学模型的素养。

3.数学抽象：通过学习二次函数的图象与性质，培养学生从具体实例中抽象出二次函数的一般性质，提高学生的数学抽象能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了以下相关知识：

-一次函数和二次函数的基本概念；

-函数图象的基本特征，如直线、抛物线等；

-二次函数的顶点式及其应用；

-实数的运算规则，包括平方根、绝对值等。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

-学习兴趣：学生可能对探索函数图象的变化规律感兴趣，尤其是能够通过观察图象解决问题；

-学习能力：学生在分析和解决数学问题时，可能已经具备了一定的逻辑推理能力和抽象思维能力；

-学习风格：学生可能更倾向于通过实际操作、观察和思考来学习，对于直观、互动性的教学活动反应较好。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

-学生可能对二次函数y=-x^2的图象特征理解不够深入，容易与y=x^2混淆；

-学生可能对于如何运用二次函数的性质解决实际问题感到困惑；

-学生可能在学习过程中，对于二次函数的性质的抽象理解存在困难，需要通过具体的例子和实际操作来加深理解。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、函数图象展示软件（如GeoGebra）、彩色粉笔；

2.课程平台：北师大版九年级数学下册教材、教学PPT、学习指导手册；

3.信息化资源：互联网资源（函数图象及其性质的案例分析、实际问题解决的视频等）；

4.教学手段：讲解法、示范法、引导发现法、小组合作交流法、问题驱动法、实践操作法。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：提供本节课的教学PPT、视频讲解和相关文档，让学生提前熟悉二次函数的基本概念。

-设计预习问题：提出问题，如“二次函数y=x^2的图象有哪些特点？”、“y=-x^2的图象与y=x^2的图象有何不同？”

-监控预习进度：通过在线平台或微信群，了解学生的预习进展，提供必要的引导和帮助。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生在家独立阅读教材和提供的资料，理解二次函数的基本概念。

-思考预习问题：学生针对问题进行思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生通过平台或直接向老师提交预习笔记、思维导图或提出问题。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立思考，提高自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台和微信群，实现资源共享和进度监控。

-作用与目的：提前了解课题，培养学生自主学习能力和独立思考能力，为课堂学习打下基础。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示实际问题，如抛物线形的篮球抛射轨迹，引出二次函数y=x^2的图象与性质。

-讲解知识点：详细讲解二次函数y=x^2的图象特征，如顶点、对称轴等，并通过几何画板软件动态展示。

-组织课堂活动：分组讨论，让学生对比分析y=x^2和y=-x^2的图象差异，并总结性质。

-解答疑问：针对学生的疑问，进行解答和指导，确保学生理解正确。

学生活动：

-听讲并思考：学生专注听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生分组讨论，观察和分析函数图象，总结性质。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与小组讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解，帮助学生理解二次函数的基本性质。

-实践活动法：通过小组讨论和软件演示，让学生在实践中掌握知识。

-合作学习法：培养团队合作意识和沟通能力。

-作用与目的：深入理解二次函数的图象与性质，通过实践活动培养学生的动手能力和解决问题的能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置相关的练习题，巩固学生对二次函数性质的理解。

-提供拓展资源：推荐一些相关的网络资源，如学术文章、视频教程等，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生独立完成作业，巩固所学知识。

-拓展学习：学生利用推荐的资源，进行深入学习和探索。

-反思总结：学生对自己的学习过程和作业进行反思，总结经验教训。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

-作用与目的：通过作业和拓展学习，巩固课堂所学，拓宽知识视野，通过反思总结提升自我学习能力。知识点梳理本节课的知识点主要围绕二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质展开，具体包括以下几个方面：

1.二次函数的基本概念：

-二次函数的定义：一般形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）。

-二次函数的系数：a、b、c分别代表二次项、一次项和常数项的系数。

-二次函数的图像：一般为抛物线，其开口方向由a的正负决定。

2.二次函数y=x^2的图象特征：

-开口方向：向上，因为a=1>0。

-对称轴：y轴，即x=0。

-顶点坐标：原点(0,0)。

-单调性：在x<0时，y随x的增大而减小；在x>0时，y随x的增大而增大。

-极值：函数在x=0时取得最小值0。

3.二次函数y=-x^2的图象特征：

-开口方向：向下，因为a=-1<0。

-对称轴：y轴，即x=0。

-顶点坐标：原点(0,0)。

-单调性：在x<0时，y随x的增大而增大；在x>0时，y随x的增大而减小。

-极值：函数在x=0时取得最大值0。

4.二次函数的性质：

-轴对称性：二次函数的图象关于对称轴对称。

-中心对称性：二次函数的图象关于顶点对称。

-增减性：函数在对称轴两侧的单调性相反。

-极值：函数在顶点处取得。

5.实际问题解决：

-运用二次函数的性质解决实际问题，如抛物线形的运动轨迹、物理中的能量守恒等。典型例题讲解本节课的典型例题将围绕二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质进行，通过具体的例题来帮助学生理解和巩固所学知识。

例题1：判断下列函数的图象是向上还是向下开口，并指出其对称轴和顶点坐标。

a)y=2x^2

b)y=-3x^2

解答：

a)函数y=2x^2的图象向上开口，因为a=2>0。对称轴是y轴，即x=0。顶点坐标是原点(0,0)。

b)函数y=-3x^2的图象向下开口，因为a=-3<0。对称轴是y轴，即x=0。顶点坐标是原点(0,0)。

例题2：已知二次函数的顶点坐标是(2,3)，求该函数的解析式。

解答：

由于顶点坐标是(2,3)，可以设函数的解析式为y=a(x-2)^2+3。因为顶点是抛物线的最低点（或最高点），所以a<0。因此，函数的解析式为y=-a(x-2)^2+3。但是，由于题目没有给出a的具体值，所以无法给出具体的解析式。

例题3：判断下列二次函数的单调性。

a)y=x^2

b)y=-2x^2

解答：

a)函数y=x^2在x<0时单调递减，在x>0时单调递增。

b)函数y=-2x^2在x<0时单调递增，在x>0时单调递减。

例题4：求下列二次函数的极值。

a)y=3x^2

b)y=-4x^2

解答：

a)函数y=3x^2没有最大值和最小值，因为抛物线向上开口，且a>0。

b)函数y=-4x^2的最大值为0，当x=0时取得。

例题5：一个抛物线形的游泳池，其深度（米）与游泳者下潜的深度（米）的关系可以近似地用二次函数表示。如果游泳者站在池边，深度为0.5米，而当游泳者下潜到池底（深度为5米）时，抛物线的顶点是（3米，20米）。求这个抛物线的解析式。

解答：

设抛物线的解析式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点坐标。根据题意，顶点坐标是(3,20)，所以h=3，k=20。又因为当x=0.5时，y=5，所以可以得到方程5=a(0.5-3)^2+20。解这个方程，得到a=-2。因此，抛物线的解析式为y=-2(x-3)^2+20。教学评价与反馈1.课堂表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的积极性，以及学生的眼神和表情，可以了解学生对二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质的理解程度。

2.小组讨论成果展示：在小组讨论环节，教师可以观察学生是否能够积极参与讨论，是否能够清晰地表达自己的观点，是否能够有效地解决小组内的分歧。此外，学生的小组讨论成果展示也是评价的一个重要环节。教师可以观察学生是否能够准确地总结二次函数的图象特征和性质，是否能够运用所学知识解决实际问题。

3.随堂测试：在课堂结束前，教师可以设计一些随堂测试题目，以检验学生对二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质的理解程度。测试题目可以包括选择题、填空题和解答题。教师可以根据学生的测试成绩来评价学生对知识点的掌握情况。

4.作业完成情况：教师可以检查学生的课后作业完成情况，以了解学生是否能够独立完成作业，是否能够准确地运用所学知识解决实际问题。

5.教师评价与反馈：教师可以根据学生的课堂表现、小组讨论成果展示、随堂测试和作业完成情况，给予学生及时的评价和反馈。教师可以指出学生的优点和不足，并提出改进的建议。同时，教师也可以鼓励学生积极提问、积极参与课堂讨论，以提高学生的学习兴趣和参与度。通过教师的评价和反馈，学生可以更好地理解二次函数的图象与性质，提高解决问题的能力。板书设计1.二次函数的基本概念

-定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）

-系数：a、b、c

-图像：抛物线

2.二次函数y=x^2的图象特征

-开口方向：向上（a=1>0）

-对称轴：x=0

-顶点坐标：(0,0)

-单调性：递减（x<0），递增（x>0）

-极值：最小值0（x=0）

3.二次函数y=-x^2的图象特征

-开口方向：向下（a=-1<0）

-对称轴：x=0

-顶点坐标：(0,0)

-单调性：递增（x<0），递减（x>0）

-极值：最大值0（x=0）

4.二次函数的性质

-轴对称性：关于对称轴对称

-中心对称性：关于顶点对称

-增减性：对称轴两侧单调性相反

-极值：在顶点处取得

5.实际问题解决

-运用二次函数性质解决实际问题

-如：抛物线形的运动轨迹、物理中的能量守恒等教学反思本节课主要讲解了二次函数y=x^2和y=-x^2的图象与性质。在教学过程中，我采用了讲解法、示范法、引导发现法等多种教学方法，结合多媒体教学手段，力求让学生更好地理解和掌握二次函数的基本概念、图象特征和性质。

在课堂表现方面，大部分学生能够积极参与课堂讨论，提问和回答问题也比较积极。但也发现部分学生对二次函数的图象特征和性质理解不够深入，尤其是在对比分析y=x^2和y=-x^2的图象与性质时