人教A版（2019）高中数学必修第二册 《6.3平面向量基本定理及坐标表示课时3》教学设计

人教A版（2019）高中数学必修第二册《6.3平面向量基本定理及坐标表示课时3》教学设计授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以人教A版（2019）高中数学必修第二册《6.3平面向量基本定理及坐标表示课时3》为教学内容，旨在通过实际例题和练习，让学生深入理解和掌握平面向量的基本定理及其坐标表示方法。课程设计遵循以下思路：

1.复习引入：回顾平面向量的基本概念，为学习新知识打下基础。

2.理论讲解：讲解平面向量基本定理及其坐标表示，强调定理的应用。

3.例题示范：通过典型例题，展示定理在实际问题中的应用，引导学生思考。

4.练习巩固：布置针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识。

5.总结提升：总结本节课的主要内容，引导学生对所学知识进行深入思考。

课程设计注重理论与实践相结合，以提高学生的实际应用能力。核心素养目标1.培养学生运用数学语言表达平面向量基本定理及坐标表示的能力。

2.提升学生通过数学运算解决实际问题的逻辑思维和推理能力。

3.强化学生运用数学知识解决实际问题的应用意识。教学难点与重点1.教学重点

-平面向量基本定理的理解与应用：重点讲解向量基本定理的概念，即任意向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。例如，通过演示如何将任意向量分解为两个基底向量的和，强调向量分解的唯一性。

-向量坐标表示的方法：重点强调如何将向量表示为坐标形式，以及如何利用坐标进行向量的运算。例如，通过具体的例题展示如何根据向量的起点和终点坐标计算向量坐标，以及如何利用坐标进行向量的加法、减法和数乘运算。

2.教学难点

-向量基本定理的证明过程：学生可能会对向量基本定理的证明逻辑感到困惑，难点在于理解向量分解的线性组合和唯一性。可以通过几何直观和代数证明相结合的方法，如使用平行四边形法则和向量运算的性质来辅助理解。

-向量坐标表示中的坐标计算：学生在计算向量坐标时可能会遇到困难，尤其是涉及空间想象和坐标变换的问题。例如，对于向量AB，学生需要理解如何通过点A和点B的坐标来确定向量AB的坐标，难点在于坐标的转换和计算过程中的细节处理。

-向量运算在坐标形式下的应用：学生可能会在将向量运算转化为坐标形式时感到困难，难点在于理解坐标运算的规则和步骤。可以通过具体的例题，如计算两个向量的和或差，以及向量的数乘，来逐步引导学生掌握坐标形式下的向量运算。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：讲解平面向量基本定理及坐标表示的理论基础，确保学生理解基本概念。

2.案例分析法：通过分析具体例题，引导学生理解定理的应用，培养解决实际问题的能力。

3.互动讨论法：鼓励学生提问和讨论，促进学生对知识点的深入理解和掌握。

教学手段：

1.多媒体教学：使用PPT展示定理的直观图示和例题的解题过程，增强视觉效果。

2.教学软件：利用数学软件进行向量运算的动态演示，帮助学生直观理解向量坐标表示。

3.网络资源：提供在线练习和参考资料，方便学生课后自主学习和巩固。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标为理解平面向量基本定理及坐标表示的概念。

-设计预习问题：设计问题如“什么是平面向量基本定理？”“如何用坐标表示一个向量？”等，引导学生思考。

-监控预习进度：通过在线平台的预习任务提交情况和学生的反馈，监控学生的预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生根据预习要求，阅读相关资料，理解平面向量基本定理及坐标表示的基本概念。

-思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，记录理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生的自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台，实现资源的共享和预习进度的监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过生活中的实例，如物体的位移，引出平面向量基本定理及坐标表示的课题。

-讲解知识点：详细讲解平面向量基本定理，通过例题展示如何将向量用坐标表示。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨向量坐标表示在实际问题中的应用。

-解答疑问：对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生参与小组讨论，通过合作解决问题，加深对知识点的理解。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：讲解平面向量基本定理及坐标表示的理论基础。

-实践活动法：通过例题和小组讨论，让学生在实践中掌握向量坐标表示的应用。

-合作学习法：通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据课堂内容，布置相关的课后作业，如计算向量的坐标表示。

-提供拓展资源：提供与平面向量基本定理及坐标表示相关的拓展资源，如相关书籍和网站。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成作业，巩固学习效果。

-拓展学习：学生利用拓展资源进行学习，加深对知识点的理解。

-反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程进行反思，促进自我提升。学生学习效果学生在完成《人教A版（2019）高中数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示课时3》的学习后，应取得以下几方面的效果：

1.理解并掌握平面向量基本定理：学生能够清晰地理解平面向量基本定理的内容，即任意向量都可以唯一地表示为两个不共线向量的线性组合。他们能够通过实际例题，如将一个向量分解为两个基底向量的和，来应用这个定理。

2.掌握向量坐标表示的方法：学生能够熟练地使用坐标表示向量，理解向量的起点和终点坐标如何确定向量坐标。他们能够进行向量坐标的加法、减法和数乘运算，并解决相关的问题。

3.提升数学运算能力：通过本节课的学习，学生的数学运算能力得到提升。他们能够准确地进行向量坐标的计算，解决涉及向量运算的复杂问题，如计算两个向量的夹角、长度等。

4.增强逻辑思维和推理能力：学生在解决向量相关问题时，能够运用逻辑思维和推理能力，如通过向量基本定理证明向量等式，或推导向量运算的性质。

5.培养空间想象力：通过向量坐标表示的学习，学生的空间想象力得到锻炼。他们能够更好地在坐标系中理解向量的位置和方向，以及在空间中如何进行向量运算。

6.提高解决问题的能力：学生能够将所学的向量知识应用于解决实际问题，如物理学中的位移、速度问题，或几何学中的图形变换问题。

7.增强自主学习能力：通过课前预习和课后拓展学习，学生的自主学习能力得到增强。他们能够独立地阅读教材、查找资料，并主动思考问题。

8.提升团队合作和沟通能力：在小组讨论和课堂活动中，学生能够与同伴有效合作，分享自己的想法，倾听他人的观点，并在讨论中达成共识。

9.形成良好的学习习惯：学生在完成本节课的学习后，能够形成良好的学习习惯，如定期复习、主动提问、及时总结等，这些习惯将有助于他们在未来的学习中取得更好的成绩。

10.增强对数学学科的兴趣：通过对平面向量基本定理及坐标表示的学习，学生可能会对数学学科产生更浓厚的兴趣，这有助于他们继续深入学习数学知识。

具体来说，以下是一些学生在学习本节课后可能取得的具体效果：

-能够准确描述平面向量基本定理，并能够用数学语言表达。

-能够将任意向量分解为两个不共线向量的和，并理解这种分解的唯一性。

-能够根据向量的起点和终点坐标，正确计算向量的坐标表示。

-能够运用向量坐标进行向量运算，如加法、减法和数乘，并解决相关问题。

-能够解决涉及向量运算的几何问题，如计算三角形的面积、证明向量等式等。

-能够在坐标系中绘制向量，理解向量的方向和长度，以及向量之间的相对位置。

-能够将向量知识应用于物理、工程等实际问题中，理解向量在现实世界中的应用。

-能够自主探索向量相关的数学问题，提出假设，并通过数学证明来验证。

-能够在小组讨论中积极发言，与同伴交流学习心得，共同解决问题。

-能够通过课后作业和拓展学习，不断巩固和提高所学的向量知识。典型例题讲解例题1：

已知向量OA=(2,3)，向量OB=(4,5)，求向量OC的坐标，使得向量OA+向量OB+向量OC=0。

解答：

由向量加法，有向量OC=-向量OA-向量OB。

将向量OA和向量OB的坐标代入，得到向量OC=(-2,-3)-(4,5)=(-6,-8)。

例题2：

在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)，求向量AB的坐标表示。

解答：

向量AB=向量OB-向量OA。

将点A和点B的坐标代入，得到向量AB=(3,4)-(1,2)=(2,2)。

例题3：

已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，求向量a与向量b的和的坐标表示。

解答：

向量a+向量b=(1+3,2+(-1))=(4,1)。

例题4：

已知向量a=(2,3)，向量b=(4,-5)，求向量a与向量b的差的坐标表示。

解答：

向量a-向量b=(2-4,3-(-5))=(-2,8)。

例题5：

已知向量a=(2,3)，向量b=(k,-1)，且向量a与向量b平行，求k的值。

解答：

由于向量a与向量b平行，它们的方向向量成比例，即存在常数λ，使得向量a=λ向量b。

将向量a和向量b的坐标代入，得到(2,3)=λ(k,-1)。

解这个方程组，得到2=λk，3=-λ。

联立这两个方程，可以解得λ=-1，进而得到k=-2。板书设计①平面向量基本定理

-定义：任意向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

-公式：向量a=λ向量b+μ向量c（λ、μ为实数，向量b、向量c不共线）

②向量的坐标表示

-坐标定义：向量AB的坐标表示为终点坐标减去起点坐标，即(终点x-起点x,终点y-起点y)。

-坐标运算：向量加法、减法和数乘的坐标计算方法。

③向量运算的坐标表示

-加法：向量a+向量b=(a1+b1,a2+b2)

-减法：向量a-向量b=(a1-b1,a2-b2)

-数乘：k向量a=(ka1,ka2)（k为实数）课堂小结，当堂检测1.课堂小结

在本节课的学习中，我们深入探讨了平面向量基本定理及坐标表示的重要概念和应用。同学们通过教师讲解、例题分析和课堂活动，逐步掌握了向量分解、坐标表示和运算的方法。通过本节课的学习，同学们应该能够：

-理解并掌握平面向量基本定理，能够将任意向量分解为两个不共线向量的线性组合。

-掌握向量坐标表示的方法，能够根据向量的起点和终点坐标计算向量坐标，并能够进行向量坐标的加法、减法和数乘运算。

-提升数学运算能力，能够准确地进行向量坐标的计算，解决涉及向量运算的复杂问题。

-培养空间想象力，能够在坐标系中理解向量的位置和方向，以及在空间中如何进行向量运算。

-提高解决问题的能力，能够将所学的向量知识应用于解决实际问题，如物理学中的位移、速度问题，或几何学中的图形变换问题。

-增强自主学习能力，能够独立阅读教材、查找资料，并主动思考问题。

-提升团队合作和沟通能力，能够与同伴有效合作，分享自己的想法，倾听他人的观点，并在讨论中达成共识。

-形成良好的学习习惯，如定期复习、主动提问、及时总结等，这些习惯将有助于同学们在未来的学习中取得更好的成绩。

-增强对数学学科的兴趣，通过对平面向量基本定理及坐标表示的学习，同学们可能会对数学学科产生更浓厚的兴趣，这有助于他们继续深入学习数学知识。

2.当堂检测

为了检验同学们对本节课内容的理解和掌握程度，我们将进行当堂检测。请同学们认真完成以下题目：

1.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,5)，求向量a与向量b的和的坐标表示。

答案：向量a+向量b=(2+4,3+5)=(6,8)。

2.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，求向量a与向量b的差的坐标表示。

答案：向量a-向量b=(1-3,2-(-1))=(-2,3)。

3.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,-5)，求向量a与向量b的数乘的坐标表示，其中数乘因子为2。

答案：2向量a=(2*2,2*3)=(4,6)。

4.已知向量a=(2,3)，向量b=(k,-1)，且向量a与向量b平行，求k的值。

答案：由于向量