江苏省连云港市2025届高三数学下学期第一次模拟考试试题

PAGEPAGE9江苏省连云港市2025届高三数学下学期第一次模拟考试试题(满分：150分考试时间：120分钟)2024．02一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若非空且互不相等的集合M，N，P满意：M∩N＝M，N∪P＝P，则M∪P＝()A.⌀B.MC.ND.P2.在复平面内，复数eq\f(1＋i,2－i)对应的点位于()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限3.2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛，现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为()A.12B.24C.36D.484.已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,m)＝1的右焦点到其一条渐近线的距离为eq\r(3)，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(2\r(6),3)D.25.(2＋3x2)(1＋x)4的绽开式中x3的系数为()A.16B.18C.20D.246.函数f(x)＝eq\f(ln|x－2|,（x－2）3)的部分图象大致为()7.中长跑是一项对学生身体熬炼价值较高的运动项目．在某校的一次中长跑竞赛中，全体参赛学生的成果近似地听从正态分布N(80，100)，已知成果在90分以上(含90分)的学生有32名，则参赛的学生总数约为()(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997)A.208B.206C.204D.2028.定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“保值点”．假如函数g(x)＝x与函数h(x)＝ln(x＋1)的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是()A.α<βB.α>βC.α＝βD.无法确定二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.甲、乙、丙、丁四人参与数学竞赛，四人在成果公布前作出如下预料：甲预料说：我不会获奖，丙获奖；乙预料说：甲和丁中有一人获奖；丙预料说：甲的揣测是对的；丁预料说：获奖者在甲、乙、丙三人中．成果公布后表明，四人的预料中有两人的预料与结果相符，另外两人的预料与结果不符．已知有两人获奖，则获奖者可能是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.乙和丁10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,5))(ω＞0)在[0，2π]上有且仅有4个零点，则()A.f(x)在(0，eq\f(π,5))上单调递增B.ω的取值范围是[eq\f(19,10)，eq\f(12,5))C.f(x)在(0，2π)上有2个微小值点D.f(x)在(0，2π)上有3个极大值点11.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝1，AA1＝2，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD，则()A.直线DC1与BC所成角为90°B.三棱锥DBCC1的体积为eq\f(1,3)C.二面角A1BDC1的大小为60°D.直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为6π12.已知函数f(x)＝eq\f(sinx,ex－x)，则()A.f(x)是奇函数B.|f(x)|＜1C.f(x)在(－1，0)上单调递增D.f(x)在[0，eq\f(π,2)]上存在一个极值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知|a|＝2，|b|＝1，|a＋2b|＝eq\r(6)，则cos〈a，b〉＝________．14.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3须要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．则设备在一天的运转中，至少有1个部件须要调整的概率为________．15.写出一个满意f(x)＝f(2－x)的偶函数f(x)＝________．16.焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上一点M,|MF|＝4，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则圆心坐标为________，抛物线的方程为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4＋a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，________．若数列{bn}满意bn＝2an，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosC,c)＝eq\f(1,2)，且b＝2.(1)求证：a＋c≥4；(2)若△ABC的周长为2＋3eq\r(2)，求其面积S.

19.(本小题满分12分)机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009580(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回来直线方程y＝bx＋a；(2)预料该路口9月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数；(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过1年2416驾龄1年以上1614能否据此推断有97.5%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式和数据：b＝eq\f(\i\su(i＝1xiyi－nxy,∑n,i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－nx2)＝eq\f(\i\su(i＝1（xi－x）（yi－y）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）2)，a＝y－b,n,)x，χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d)．P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635

20.(本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(π,4)，PA＝PB＝PC＝4.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，PC与平面PAM所成角的余弦值为eq\f(\r(13),4)，求CM的长．21.(本小题满分12分)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作倾斜角为eq\f(π,3)的两条直线，且这两条直线之间的距离为eq\r(3).(1)求椭圆E的标准方程；(2)过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点．过点A作与x轴垂直的直线与椭圆交于点Q，求证：直线QB过定点．

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝asinx，a∈R.(1)若a＝－1，证明：当x≥0时，f(x)≥g(x)；(2)探讨φ(x)＝f(x)－g(x)在x∈[0，π]上零点的个数．

2024～2024学年高三年级模拟考试卷(连云港)数学参考答案及评分标准1.D2.A3.C4.B5.C6.A7.D8.B9.AC10.BC11.ABD12.BCD13.－eq\f(1,4)14.0.49615.cosπx(常数函数也可，答案不唯一)16.(2，2)y2＝8x17.解：选择①，设公差为d，因为S8＝72，a3＝6，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8a1＋28d＝72，,a1＋2d＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))所以an＝2n.(5分)因为bn＝2an，所以bn＝22n＝4n，an＋bn＝2n＋4n，所以Tn＝2(1＋2＋…＋n)＋41＋42＋…＋4n＝n(n＋1)＋eq\f(4（1－4n）,1－4)(10分)＝eq\f(4,3)(4n－1)＋n(n＋1)＝eq\f(4n＋1,3)＋n2＋n－eq\f(4,3).选择②，设公差为d，因为S5＝6a2，所以5a3＝6a2.因为a3＝6，所以a2＝5，所以d＝1，所以an＝n＋3.(5分)因为bn＝2an，所以bn＝2n＋3＝8×2n，所以an＋bn＝8×2n＋n＋3，Tn＝8(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＋3n＝8×eq\f(2（1－2n）,1－2)＋eq\f(n（n＋1）,2)＋3n＝16(2n－1)＋eq\f(n（n＋1）,2)＋3n＝2n＋4＋eq\f(1,2)n2＋eq\f(7,2)n－16.(10分)选择③，设公差为d，因为S6＝S4＋a5，可得S6－S4＝a5，即a6＋a5＝a5，所以a6＝0.因为a3＝6，所以d＝－2，所以an＝－2n＋12.(5分)因为bn＝2an，所以bn＝2－2n＋12＝212×2－2n，Tn＝－2(1＋2＋…＋n)＋12n＋212×(4－1＋4－2＋…＋4－n)＝－n(n＋1)＋12n＋212×(eq\f(1,4)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,4n))＝eq\f(212,3)[1－(eq\f(1,4))n]－n2＋11n.(10分)18.(1)证明：(证法1)由已知及正弦定理，得eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(1,sinB).因为eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(cosAsinC＋cosCsinA,sinAsinC)＝eq\f(sin（A＋C）,sinAsinC)＝eq\f(sinB,sinAsinC)，所以eq\f(sinB,sinAsinC)＝eq\f(1,sinB)，sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，即ac＝4，a＋c≥2eq\r(ac)＝4.(6分)(证法2)由已知及余弦定理，得eq\f(b2＋c2－a2,2abc)＋eq\f(a2＋b2－c2,2abc)＝eq\f(1,2)，得ac＝2b＝4，所以a＋c≥2eq\r(ac)＝4.(6分)(2)解：因为△ABC的周长为2＋3eq\r(2)，所以a＋c＝3eq\r(2).因为b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，又ac＝4，所以cosB＝eq\f(3,4)，所以sinB＝eq\f(\r(7),4).所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝2sinB＝eq\f(\r(7),2).(12分)19.解：(1)由表中数据知x＝3，y＝100，所以b＝eq\f(\i\su(i＝1xiyi－nxy,∑n,i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－nx2)＝eq\f(1410－1500,55－45)＝－9，(3分)所以a＝y－bx＝127，故所求回来直线方程为y＝－9x＋127.(6分)(2)由(1)知，令x＝9，则y＝－9×9＋127＝46人．(8分)(3)提出假设H0：“礼让行人”行为与驾龄无关，由表中数据得χ2＝eq\f(70×（24×14－16×16）2,40×30×40×30)＝eq\f(14,45)≈0.311<2.706，(11分)所以没有97.5%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．(12分)20.(1)证明：取AC中点O，因为PA＝PC＝AC＝2，所以PO⊥AC，且PO＝2eq\r(3).连接OB，因为AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.(2分)由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.又PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(4分)(2)解：如图，以O为坐标原点，eq\o(OB,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2eq\r(3))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，2，2eq\r(3))．设M(a，2－a，0)(0≤a≤2)，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(a，4－a，0)．(6分)设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\o(AP,\s\up6(→))·n＝0，eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋\r(3)z＝0，,ax＋（4－a）y＝0，))取n＝(eq\r(3)(a－4)，eq\r(3)a，－a)．(8分)设PC与平面PAM所成角为α，又eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0，2，－2eq\r(3))，则sinα＝|cos〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(4\r(3)a,4\r(3（a－4）2＋3a2＋a2))＝eq\f(\r(3),4)，所以3a2＋8a－16＝0.(10分)所以a＝eq\f(4,3)(舍负)，所以MC＝eq\f(4\r(2),3).(12分)21.(1)解：因为过椭圆E的左、右焦点倾斜角为eq\f(π,3)的两条直线间的距离为eq\r(3)，所以sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2c)，所以c＝1.因为椭圆的离心率为eq\f(1,2)，所以a＝2，所以b＝eq\r(3)，故椭圆E的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(4分)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x＝my＋1，则Q(x1，－y1)．因为直线l与坐标轴不垂直，所以直线QB：y＋y1＝eq\f(y1＋y2,x2－x1)(x－x1)，所以y＝eq\f(y1＋y2,x2－x1)x－eq\f(x2y1＋x1y2,x2－x1)＝eq\f(y1＋y2,m（y2－y1）)x－eq\f(2my1y2＋y1＋y2,m（y2－y1）).(6分)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my＋1，))得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，所以y1＋y2＝－eq\f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq\f(9,3m2＋4)，(9分)所以y＝－eq\f(6,（3m2＋4）（y2－y1）)(x－4)，(11分)所以直线QB恒过定点(4，0)．(12分)22.(1)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1＋sinx，所以F′(x)＝ex＋cosx.当x∈(0，＋∞)时，e