山东省临沂市第一中学2024-2025学年高二数学下学期第三次阶段测试试题含解析

PAGEPAGE19山东省临沂市第一中学2024-2025学年高二数学下学期第三次阶段测试试题（含解析）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.下列函数中，值域为的函数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行分析、推断后可得正确的结果．【详解】选项A中，由于，所以函数值域为，所以A正确．选项B中，由于，所以函数的值域为，所以B不正确．选项C中，由于，故函数的值域为，所以C不正确．选项D中，由于，所以函数的值域为，所以D不正确．故选A．【点睛】本题考查函数值域的求法，一般依据函数的单调性求解，解题时简单忽视函数定义域的限制，属于基础题．2.已知集合，，全集，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解出集合、，再利用补集和交集的定义可得出.【详解】因为，即或，所以，则，应选答案D.【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，同时也涉及了二次不等式与对数不等式的解法，考查运算求解实力，属于中等题.3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学学问起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，很多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（）A.岁 B.岁 C.岁 D.岁【答案】C【解析】【分析】依据题意，得到数列是等差数列，由，求得数列的首项，即可得到答案．【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为，由题可知是等差数列，设公差为，则，又由，即，解得，即这位公公长儿的年龄为岁．故选C．【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中仔细审题，娴熟应用等差数列的前n项和公式，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．4.已知是定义域为的奇函数，满意．若，则（）A.50 B.2 C.0 D.-2025【答案】B【解析】【分析】由题意可得，为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】解：是定义域为的奇函数，可得，即有，即，进而得到，为周期为4的函数，若，可得，，，则，可得.故选B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，留意运用函数的周期性，考查转化思想和运算实力，属于中档题．5.已知幂函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的图象过点，可得解得，，则，则.故选D.6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名老师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙肯定不同地，甲和丙必需同地，则不同的选派方案共有（）种A.27 B.36 C.33 D.【答案】D【解析】因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种安排方案，2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：种；3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有：种；所以，选派方案共有18+12=30种．本题选择D选项.7.若在上单调递减，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得在上恒成立，所以即，选C.点睛：推断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，留意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需留意两点：一是单调区间必需是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.8.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事务；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事务.则下列结论中正确的是()①；②；③事务B与事务相互独立；④，，是两两互斥的事务.A.②④ B.①③ C.②③ D.①④【答案】A【解析】【分析】依据条件概率的计算，结合题意，即可简单推断.【详解】由题意，，是两两互斥的事务，，，；，由此知，②正确；，；而.由此知①③不正确；，，是两两互斥的事务，由此知④正确；比照四个命题知②④正确；故选：A.【点睛】本题考查互斥事务的推断，以及条件概率的求解，属基础题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的其次届世界杯）于2019年8月31日至9月15A.第一场得分的中位数为 B.其次场得分的平均数为C.第一场得分的极差大于其次场得分的极差 D.第一场与其次场得分的众数相等【答案】ABD【解析】【分析】依据茎叶图分别计算中位数、平均数、极差和众数，依次推断各个选项即可得到结果.【详解】对于，将第一场得分从小到大排序可知中位数为，正确；对于，其次场得分的总分为，则平均数为，正确；对于，第一场得分的极差为，其次场得分的极差为，错误；对于，第一场和其次场得分的众数均为，正确.故选：.【点睛】本题考查茎叶图的相关学问，涉及到利用茎叶图计算中位数、众数、平均数和极差的问题，属于基础题.10.下列命题中，是真命题的是（）A.已知非零向量，若则B.若则C.在中，“”是“”的充要条件D.若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数【答案】ABD【解析】【分析】对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，两边平方可推得或；对D，由奇函数的定义可得也为奇函数.【详解】对A，，所以，故A正确；对B，全称命题的否定是特称命题，量词随意改成存在，结论进行否定，故B正确；对C，，所以或，明显不是充要条件，故C错误；对D，设函数，其定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查命题真假的推断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等学问，考查逻辑推理实力，留意对C选项中得到的是的两种状况.11.下列说法正确的是（）A.某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有种；B.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是；C.某校名老师的职称分布状况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名老师做样本，若采纳分层抽样方法，则高级老师应抽取人；D.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是.【答案】CD【解析】【分析】依据选项涉及的概率、统计等相关性质进行逐一推断分析得解.【详解】对于A，第一个同学可以参与三个课外爱好小组随意一个，有3种报名方法，同理其他的三名学生也都有3种报名方法，则不同的报名方法有3×3×3×3＝81种，故A错；对于B，∵他们各自解出的概率分别是，则此题不能解出的概率为（1）•（1），则此题能解出的概率为1，故B错；对于C，高级老师应抽取50×20%＝10人，故C正确对于D，两位女生和两位男生站成一排照相，基本领件总数n24，两位女士不相邻包含的基本领件个数m12，∴两位女生不相邻的概率P，故D正确．故选：CD．【点睛】本题考查命题真假性的推断，涉及概率统计的计算，分层抽样的性质等学问点，属于基础题．12.已知函数，下列是关于函数的零点个数的推断，其中正确的是（）A.当时，有3个零点 B.当时，有2个零点C.当时，有4个零点 D.当时，有1个零点【答案】CD【解析】【分析】本题首先要明确函数解析式，然后依据选项分为、两种状况进行探讨，再然后在每一种状况下又分为、两种状况进行探讨，最终通过解方程即可得出结果.【详解】由题意可知，，当时：若，则，①时，有，解得；②时，有，解得，若，则，①时，有，解得，②时，有，解得，故当时，有4个零点，C正确，当时：若，则，有，解得，因为，所以不满意，舍去；若，则，①时，有，无解；②时，有，解得，故当时，有1个零点，D正确，故选：CD.【点睛】本题考查函数零点的求解，考查学生对分段函数的理解，能否明确每一个区间所对应的函数是解决本题的关键，考查分类探讨思想，考查计算实力，是难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、14题答对一空得3分.13.已知复数满意，则=________，=_________.【答案】(1).(2).1【解析】【分析】运用复数的除法运算法则求出，利用复数模公式求出.【详解】因为，所以.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算实力.14.若，则___，________．【答案】(1).35(2).0【解析】【分析】（1）分类求解，当中选1时，中选一个x，当中选时，中选两个x.(2)采纳赋值法求解，令得，令得，两式相加即可.【详解】（1）依据题意即求x的系数：.所以(2)令得，令得，两式相加得：.故答案为：(1).35(2).0【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及系数，还考查了分类探讨思想和运算求解的实力，属于中档题.15.已知＝＋，则f（x）的解析式为________．【答案】f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)【解析】【分析】令t＝＝＋1，换元后代入原解析式，即可求出f（x）的解析式.【详解】令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得：f（t）＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的解析式为f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．故答案为：f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式，属于中档题.16.在中，，，.若，，且，则的值为______________.【答案】【解析】,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】依据平面对量的基本定理，利用表示平面对量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.计算：（1）（2）【答案】(1)8,(2)10【解析】【分析】（1）分别化简、计算每一个指数式的值，再进行加减运算；（2）分别化简、计算每一个对数或指数式，再合并运算详解】解：（1）（2）【点睛】进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的依次．18.设是数列（）的前项和，已知，，设．（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用得到，即可求得，从而得，即可证得；（2）由（1）得，利用错位相减求得的前n项和，进而利用分组求和即可得解.试题解析：（1）∵，∴，即，则，∴，又，∴是首项为1，公比为2的等比数列，故数列的通项公式为．（2）由（1）得，设，①则，②①②得：，所以，∴．点睛：用错位相减法求和应留意的问题(1)要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”以便下一步精确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种状况求解.19.某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满意，而人均消费（元）近似地满意.（1）求该城市的旅游日收益（万元）与时间（，）的函数关系式；（2）求该城市旅游日收益的最小值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）最小值为441万元【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件干脆写出，该城市的旅游日收益W（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N+）的函数关系式；

（Ⅱ）利用基本不等式，即可求该城市旅游日收益的最小值．【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）①当时，（当且仅当时取等号）所以，当时，取得最小值441．②当时，因为递减，所以时，有最小值，综上，时，旅游日收益的最小值为441万元．【点睛】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的实力，计算实力．20.甲、乙两人组成“星队”参与猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，假如两人都猜对，则“星队”得3分；假如只有一个人猜对，则“星队”得1分；假如两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参与两轮活动，求：（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，【解析】试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本领件，由独立事务的概率公式和互斥事务的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事务的独立性与互斥性，得到的分布列，依据期望公式求解.试题解析：（Ⅰ）记事务A:“甲第一轮猜对”，记事务B：“乙第一轮猜对”，记事务C：“甲其次轮猜对”，记事务D：“乙其次轮猜对”，记事务E：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，由事务的独立性与互斥性，,所以“星队”至少猜对3个成语概率为.（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事务的独立性与互斥性，得,,,,,.可得随机变量的分布列为

0

1

2

3

4

6

P

所以数学期望.【考点】独立事务的概率公式和互斥事务的概率加法公式，分布列和数学期望【名师点睛】本题主要考查独立事务的概率公式和互斥事务的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要精确确定所探讨对象的基本领件空间、基本领件个数，利用独立事务的概率公式和互斥事务的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生的数学应用意识、基本运算求解实力等.21.已知函数．(1)若，求a的值．(2)推断函数的奇偶性，并证明你的结论．(3)求不等式的解集．【答案】(1)；(2)奇函数；(3).【解析】【分析】由题意可得，据此化简求解a的值即可；函数的定义域为R，考查与的关系即可确定函数的奇偶性；由不等式得，结合函数的单调性求解不等式的解集即可.【详解】若，则，得，即，则，．函数的定义域为R，，即函数是奇函数．由不等式得，，在R上是增函数，不等式等价为，即，即，得．即不等式的解集为．【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.22.2024年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，捐献价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省其次大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是闻