2024新教材高中数学模块综合测评新人教A版选择性必修第一册

模块综合测评一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线eq\r(3)x－y－2021＝0的倾斜角等于()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．不存在B[直线eq\r(3)x－y－2021＝0化为y＝eq\r(3)x－2021，则直线的斜率为eq\r(3)，所以直线的倾斜角等于eq\f(π,3)．故选B．]2．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(1，－2,1)．若向量a＋b与向量c＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是()A．2B．－2C．10D．－10A[a＋b＝(1，－1,2)，由(a＋b)∥c得eq\f(－2,1)＝eq\f(m,－1)＝eq\f(－4,2)，解得m＝2，故选A．]3．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长是()A．10B．5C．eq\r(10)D．eq\f(\r(10),2)C[将圆的方程x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y－2)2＝5．圆心坐标(1,2)，半径r＝eq\r(5)，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(|3－2－6|,\r(－12＋32))＝eq\f(\r(10),2)，弦AB的长|AB|＝2eq\r(5－\f(5,2))＝eq\r(10)．故选C．]4．已知点A(2，－1,2)在平面α内，n＝(3,1,2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是()A．(1，－1,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))B[设平面α内的一点为P(x，y，z)(不与点A重合)，则eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x－2，y＋1，z－2)，∵n是平面α的一个法向量，∴eq\o(AP,\s\up7(→))⊥n，∴3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0，即3x＋y＋2z＝9．将选项代入检验知B正确，故选B．]5．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(6),3)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(15),5)D．eq\f(\r(10),5)D[以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，C1(0,2,1)，∴eq\o(BC1,\s\up7(→))＝(－2,0,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2,2,0)，且eq\o(AC,\s\up7(→))为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos〈eq\o(BC1,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up7(→))·\o(AC,\s\up7(→)),|\o(BC1,\s\up7(→))||\o(AC,\s\up7(→))|)＝eq\f(4,\r(5)·\r(8))＝eq\f(\r(10),5)，∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为eq\f(\r(10),5)．]6．以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为()A．y2＝2eq\r(6)x B．y2＝4eq\r(6)xC．x2＝4eq\r(6)y D．x2＝2eq\r(6)yC[由题意，以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))(p＞0)为焦点的抛物线C的准线y＝－eq\f(p,2)，代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±eq\r(2＋\f(p2,4))，∵△MNF为正三角形，∴p＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(2＋\f(p2,4))，∵p＞0，∴p＝2eq\r(6)，∴抛物线C的方程为x2＝4eq\r(6)y．]7．(2024·豫南豫北精英对抗赛)在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2)，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(14),4)D．－eq\f(\r(2),4)B[取BD的中点O，连接AO，OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2)，得AO⊥BD，CO⊥BD，且OC＝eq\r(3)，AO＝1．在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，故AO⊥OC，又知BD∩OC＝O，因此AO⊥平面BCD，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，eq\r(3)，0)，D(－1,0,0)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,0，－1)，eq\o(CD,\s\up7(→))＝(－1，－eq\r(3)，0)，设异面直线AB与CD所成角为θ，则cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up7(→))·\o(CD,\s\up7(→))|,|\o(AB,\s\up7(→))||\o(CD,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(1＋3))＝eq\f(\r(2),4)，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)，故选B．]8．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B[设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝eq\f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，eq\o(AF2,\s\up7(→))＝2eq\o(F2B,\s\up7(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2)))．由点B在椭圆上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．故选B．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．下列说法中，正确的有()A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为2C．直线x－eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角为30°D．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为7ACD[对于A，化简得直线y＝a(x－3)＋2，故直线必过定点(3,2)，故A正确；对于B，直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B错误；对于C，直线x－eq\r(3)y＋1＝0的斜率为eq\f(\r(3),3)，故倾斜角θ满意tanθ＝eq\f(\r(3),3)，0°≤θ<180°，则θ＝30°，故C正确；对于D，因为直线x＝－2垂直于x轴，故点(5，－3)到直线x＝－2的距离为5－(－2)＝7，故D正确．故选ACD．]10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，则下列结论正确的是()A．A1C1∥平面CEFB．B1D⊥平面CEFC．eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))D．点D与点B1到平面CEF的距离相等AC[建立空间直角坐标系，如图所示，设AB＝2，平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)．∵E，F分别是A1D1，C1D1的中点，∴EF∥A1C1，又EF⊂平面CEF，A1C1⊄平面CEF，∴A1C1∥平面CEF，故选项A正确；C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(0,1,2)，B1(2,2,2)，D(0,0,0)．eq\o(DB1,\s\up7(→))＝(2,2,2)，eq\o(EF,\s\up7(→))＝(－1,1,0)，eq\o(CF,\s\up7(→))＝(0，－1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up7(→))＝0，,n·\o(CF,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－y＋2z＝0，))令x＝2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2，,z＝1，))∴n＝(2,2,1)，∵eq\o(DB1,\s\up7(→))＝(2,2,2)，∴DB1与n不平行，∴B1D不垂直平面CEF，故选项B错误；eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1E,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1A1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))，故选项C正确；eq\o(DC,\s\up7(→))＝(0,2,0)，设点D到平面CEF的距离为d1，则d1＝eq\f(|\o(DC,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(4,\r(4＋4＋1))＝eq\f(4,3)，eq\o(B1C,\s\up7(→))＝(－2,0，－2)，设B1到平面CEF的距离为d2，则d2＝eq\f(|\o(B1C,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－4＋0－2|,3)＝2≠eq\f(4,3)，故选项D错误．故选AC．]11．(2024·山东淄博第十中学高三期末)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，则下面有关结论正确的是()A．e＝eq\r(6) B．e＝2C．b＝eq\r(5)a D．b＝eq\r(3)aABCD[若∠F1PF2为锐角时，cos∠F1PF2＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),4)))eq\s\up12(2))＝eq\f(1,4)，如图①所示，因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，所以cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,16a2)＝eq\f(1,4)，所以c2＝4a2，所以c＝2a，所以e＝2，所以a2＋b2＝4a2，b＝eq\r(3)a，故BD正确；若∠F1PF2为钝角时，cos∠F1PF2＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),4)))eq\s\up12(2))＝－eq\f(1,4)，如图②所示，因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，所以cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,16a2)＝－eq\f(1,4)，所以c2＝6a2，所以c＝eq\r(6)a，所以e＝eq\r(6)，所以a2＋b2＝6a2，b＝eq\r(5)a，故AC正确．故选ABCD．]①②12．(2024·山东淄博二模)设椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A．离心率e＝eq\f(\r(3),2)B．|eq\o(PF2,\s\up7(→))|的最大值为3C．△PF1F2面积的最大值为2eq\r(3)D．|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|的最小值为2AD[因为椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，故A正确；不妨令F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，设P(x，y)，所以eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(eq\r(3)－x，－y)，所以|eq\o(PF2,\s\up7(→))|2＝(x－eq\r(3))2＋y2＝(x－eq\r(3))2＋1－eq\f(x2,4)＝eq\f(3x2,4)－2eq\r(3)x＋4＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4\r(3),3)))eq\s\up12(2)，因为－2≤x≤2，所以当x＝－2时，(|eq\o(PF,\s\up7(→))2|2)max＝7＋4eq\r(3)，即|eq\o(PF2,\s\up7(→))|max＝2＋eq\r(3)，故B错误；因为Seq\s\do6(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|y|·2c＝eq\f(1,2)|y|×2eq\r(3)＝eq\r(3)|y|，－1≤y≤1，所以当y＝±1，即P在短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最大值，(Seq\s\do6(△PF1F2))max＝eq\r(3)×1＝eq\r(3)，故C错误；对于D，|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|＝2|eq\o(PO,\s\up7(→))|＝2eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(\f(3x2,4)＋1)，因为－2≤x≤2，所以1≤eq\f(3x2,4)＋1≤4，所以2≤|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|≤4，故D正确．故选AD．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．与a＝(2，－1,2)共线且满意a·b＝－9的向量b＝________．(－2,1，－2)[依题意设b＝λa＝(2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，所以a·b＝4λ＋λ＋4λ＝－9，解得λ＝－1．故b＝(－2,1，－2)．]14．已知点P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上的一点，点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，则|PQ|的最小值为________．eq\f(3\r(5),4)[设P(x，y)，则|PQ|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)(x－1)2＋eq\f(45,16)．所以当x＝1时，|PQ|的最小值为eq\r(\f(45,16))＝eq\f(3\r(5),4)．]15．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________，|AB|＝________．22eq\r(3)[如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝eq\f(|3×0－4×0＋5|,5)＝1，∴r＝2|OD|＝2．|AB|＝2eq\r(r2－OD2)＝2eq\r(3)．]16．已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．eq\f(\r(2),3)[如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1．A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,3)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(2,3)))，所以eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,3)))，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,3)))，易知平面ABC的一个法向量为n1＝(0,0,1)．设平面AEF的一个法向量为n2＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(AE,\s\up7(→))＝0，,n2·\o(EF,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,3)z＝0，,－x＋\f(1,3)z＝0.))取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)．所以cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(3\r(11),11)．所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满意cosα＝eq\f(3\r(11),11)，则sinα＝eq\f(\r(22),11)，所以tanα＝eq\f(\r(2),3)．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知圆心为M的圆经过A(0,4)，B(2,0)，C(3,1)三个点．(1)求△ABC的面积；(2)求圆M的方程．[解](1)依据题意，A(0,4)，B(2,0)，得直线AB的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,4)＝1，即2x＋y－4＝0．点C到直线AB的距离d＝eq\f(|2×3＋1－4|,\r(4＋1))＝eq\f(3\r(5),5)，A(0,4)，B(2,0)，则|AB|＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5)，则△ABC的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×eq\f(3\r(5),5)＝3，即△ABC的面积为3．(2)依据题意，A(0,4)，B(2,0)，C(3,1)，得kAC＝eq\f(4－1,0－3)＝－1，kBC＝eq\f(1－0,3－2)＝1，则kAC·kBC＝－1，故直线AC与BC垂直，则△ABC为直角三角形，故圆M的圆心M为边AB的中点，即M(1,2)，半径r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)＝eq\r(5)，故圆M的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5．18．(本小题满分12分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq\f(PM,MC)＝3，N为PD的中点．(1)求满意eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))＋zeq\o(AP,\s\up7(→))的实数x，y，z的值；(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．[解](1)取PC的中点E，连接NE(图略)，则eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(EN,\s\up7(→))－eq\o(EM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up7(→))－(eq\o(PM,\s\up7(→))－eq\o(PE,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(PC,\s\up7(→))－\f(1,2)\o(PC,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(PC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)(－eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AP,\s\up7(→))，所以x＝－eq\f(3,4)，y＝－eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,4)．(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，而|eq\o(MN,\s\up7(→))|2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(AB,\s\up7(→))－\f(1,4)\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,4)\o(AP,\s\up7(→))))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(AB,\s\up7(→))))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)\o(AD,\s\up7(→))))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AP,\s\up7(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,16)＋eq\f(4,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(7,8)，所以|eq\o(MN,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(14),4)．故MN的长为eq\f(\r(14),4)．19．(本小题满分12分)一动点到两定点距离的比值为正常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．已知两定点A，B的坐标分别为：A(4,0)，B(1,0)，动点M满意|AM|＝2|BM|．(1)求动点M的阿波罗尼斯圆的方程；(2)过P(2,3)作该圆的切线l，求l的方程．[解](1)设动点M的坐标为(x，y)，则|AM|＝eq\r(x－42＋y2)，|BM|＝eq\r(x－12＋y2)，又因为|AM|＝2|BM|，则eq\r(x－42＋y2)＝2eq\r(x－12＋y2)，得x2＋y2＝4．(2)当直线l的斜率存在且为k时，直线l的方程为：y＝kx－2k＋3，l与圆相切，则d＝eq\f(|－2k＋3|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq\f(5,12)，此时l的方程为：5x－12y＋26＝0，当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为：x＝2，综上，直线l的方程为x＝2,5x－12y＋26＝0．20．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为eq\f(1,2)．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(MB,\s\up7(→))，求直线l的方程．[解](1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因为焦距为2，所以c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2，b＝eq\r(3)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(MB,\s\up7(→))得x1＝－2x2．又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－8k,3＋4k2)，,x1x2＝\f(－8,3＋4k2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＝\f(－8k,3＋4k2)，,－2x\o\al(2,2)＝\f(－8,3＋4k2)，))消去x2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k,3＋4k2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,3＋4k2)，解得k2＝eq\f(1,4)，k＝±eq\f(1,2)．所以直线l的方程为y＝±eq\f(1,2)x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0．21．(本小题满分12分)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1C的中点，AD＝AA1＝2，AB＝eq\r(2)．(1)求证：EF∥平面ADD1A1；(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；(3)在线段A1D1上是否存在点M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出eq\f(A1M,A1D1)的值；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO．因为F是A1C的中点，所以OF∥CD，OF＝eq\f(1,2)CD．因为AE∥CD，AE＝eq\f(1,2)CD，所以OF∥AE，OF＝AE．所以四边形AEFO是平行四边形．所以EF∥AO．因为EF⊄平面ADD1A1，AO⊂平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1．(2)以点A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为点E，F分别是AB，A1C的中点，AD＝AA1＝2，AB＝eq\r(2)，所以B(eq\r(2)，0,0)，D(0,2,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1，1))．所以eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－2，0))，eq\o(EF,\s\up7(→))＝(0,1,1)．设平面EFD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up7(→))＝0，,n·\o(EF,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x－2y＝0，,y＋z＝0.))令y＝1，则z＝－1，x＝2eq\r(2)．所以n＝(2eq\r(2)，1，－1)．由题知，平面DEC的一个法向量为m