2024年高考数学总复习：高中数学必修一全册基础知识复习讲义

2024年高考数学总复习系列高中数学必修一全册基础知识复习

讲义（精华版）

第一章、集合

一、基础知识（理解去记）

一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母

来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A,

记为尤GA,否则称X不属于A,记作1任4。

例如，通常用N,Z,Q,B,。+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数

集，不含任何元素的集合称为空集，用。来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集

合的方法，如｛1,2,3｝；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如｛有理数｝,｛耳尤>0）分别表示有理数集和正实数集。

定义。子集：对于两个集合A与'如果集合A中的任何一个元素都是集合8中的元素，

则A叫做8的子集，记为4口3,例如N^Z。规定空集是任何集合的子集，如果A是2

的子集，8也是A的子集，疝称A与B相聚如果A是B的子集，而且B中存在元素不属

于A,则4叫B的真子集。

便于理解：|人03包含两个意思：①A与2相等、②A是B的真子集

定义，交集,AP|B=｛^xeAJLxeB）.

定义4并集，A\jB=｛^x&A^x^B｝.

定义5补集，若AR/,则C]A=｛[xe/,且xeA｝称为A在/中的补集。

定义6集合何。<%</?,xe<6｝记作开区间（a,6）,集合

<x<b,x^R,a<b｝记作闭区间[a,b],R记作（-oo,+oo）.

定义1空集。是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

补充知识点对集合中元素三大性质的理解

（1）确定性

集合中的元素，必须是确定的.对于集合4和元素。，要么aeA,要么aeA,二者

必居其一.比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的.而“较大

的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的.再如，“较大的树”、“较高的人”

等都不能构成集合.

（2）互异性

对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.任何两个相同的对象在同一集合中

时，只能算作这个集合中的一个元素.如：由/组成一个集合，则a的取值不能是。或

1.

（3）无序性

集合中的元素的次序无先后之分.如：由1,23组成一个集合，也可以写成1,3,2组成一

个集合，它们都表示同一个集合.____________

帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题

（1）注意a与｛a｝的区别.。是集合｛。｝的一个元素，而｛a｝是含有一个元素。的集合,

二者的关系是ae{a}.

（2）注意。与{0}的区别.0是不含任何元素的集合，而{0}是含有元素0的集合.

（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用{实数集}或{R}来表示实数集R这一类错误，

因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思.

用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特

征性质，从而准确地理解集合的意义.例如：

集合［（X，y）卜=6}中的元素是（X,y）,这个集合表示二元方程y=«的解集，或

者理解为曲线y=«上的点组成的点集；

集合卜卜=«}中的元素是》,这个集合表示函数y=4中自变量x的取值范围；

集合卜卜=«}中的元素是y,这个集合表示函数y=4中函数值y的取值范围；

集合{>=«}中的元素只有一个（方程y=«）,它是用列举法表示的单元素集合.

（4）常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有21M个真子集，有2n-2个

非空真子集。_________

二、基础例题（必会）

例1已知A={y|y=*2—4X+3,,B=^y^y=-^-2x4-2,xeR},求A，B.

正解：•.“炉-4x+3=（x-2）2-12-1,

y=-2x+2=-（x+iy+3W3,

A={y|y三-1},5={y|yW3},

AAB=j<3}.

解析：这道题栗注意研究的元素（看竖线前的元素），均是y,所以栗求出两个

集合中y的范围再求交集，A中的y范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个

函数值域的集合.

例2若人={24,a?—2〃2一〃+7},

8="〃+1,_2〃+2,-；（〃2_3。-8）,/+/+3〃+7,,且A3={25},试求实数。.

正解sVAnB={2,5},・，.由。3—2a之—々+7=5,

解得〃=2或。=±1.

当a=l时，片-2a+2=l与元素的互异性矛盾，故舍去a=l；

当a=-l时，8={1,0524},此时AB={2,4,5},这与A5={25}矛盾，故又

舍去a=-l；

当a=2时，A={245},5={1,32,5,25},此时A3={25}满足题意，故a=2

为所求.

解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性②互异性③无序性

三、趋近高考（必懂）

1.（2010年江苏高考1）设集合A={-1,1,3},B=[a+2,a2+4},AnB={3},则实数

a=____________

方法：将集合B两个表达式都等于3,且抓住集合三大性质。【答案】1.

22

2.（2010.湖北卷2.）设集合A={（羽刈/+匕=1},B={（x,y）|y=3'},则ACB的子集

'416''

的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

方法：注意研究元素，是点的形式存在，A是椭圆，B是指数函数，有数形结合方法，交于

两个点，说明集合中有叱b元素,还要注意，题目求子集个数，所以是2?=4【答案】A

集合穿针转化引线（最新）

一、集合与常用逻辑用语

3.若p:3x?-8x+4〉0,q:（x+l）（x-2）>0,则？是飞的（）.

（A）充分条件（B）必要条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

,2

解析：,:p;3x—8x+4>0,即％<—或无>2,

3

-77:2WxW2.

3

：q:（x+l）（x—2）>0,即％<—1或x>2,

—'q:-1W尤W2.

由集合关系知：』=飞，而一1。4-'p.

是飞的充分条件，但不是必要条件.故选（A）.

22

4.若左wR,则“左>3”是“方程二-----匚=1表示双曲线”的（）.

k—3左+3

（A）充分条件（B）必要条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

Y2

解析：方程丁:上一=1表示双曲线

k—3左+3

o(左一3)(左+3)>0o左>3或左V—3.故选(A).

二、集合与函数

5.已知集合。={y,=-9+2,xwR},Q={x\y=-x+2,xeR},那么PQ等于

().

(A)(0,2),(1,1)(B){(0,2),(1,1))

(C){1,2}(D){y|yW2}

解析：由代表元素可知两集合均为数集，又尸集合是函数y=-k+2中的y的取值范

围，故尸集合的实质是函数丁=-f+2的值域.而。集合则为函数y=-x+2的定义域,

从而易知尸。={y好2},选(D).

评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元

素而错选(B)或(C).

三、集合与方程

6.已知A={N炉+(p+2)x+l=0,xeR),B={x|x>0],且AB=0,求实数。的

取值范围.

解析：集合/是方程好+(°+2)》+1=0的解集，

则由AB=0,可得两种情况：

①4=0,则由A=(p+2)2—4<0,得—4<p<0；

②方程％2+(p+2)x+l=0无正实根，因为再々=1〉0，

入20,

则有<于是p20.

_(p+2)<0,

综上，实数0的取值范围为S|p>T}.

四、集合与不等式

7.已知集合4={°辰2+4x-12:—2x?-。恒成立},B={x|x2-(2m+l)x+m(m+l)<0},

若AB大。，求实数0的取值范围.

解析：由不等式ac?+4x—1'—2x?—a恒成立,

可得(。+2)炉+4X+(。—1)>0,(X)

3

(1)当a+2=0,即。=一2时，(派)式可化为xN—,显然不符合题意.

4

(2)当a+2Ho时，欲使(派)式对任意x均成立，必需满足J"卡2)"

AW0,

a>—2,

即21

4(a+2)(a-l)W0,

解得A={a\a^2}.

集合8是不等式x2-(2m+l)x+m(m+1)<0的解集，

可求得BnlxlmYXCm+l},

结合数轴，只要加+1>2即可，解得m>l.

五、集合与解析几何

例6已知集合4={(刘丁)卜2+如一丁+2=0}和3={(为y)|x-y+l=0,0Wx<2},

如果AB^0,求实数m的取值范围.

解析：从代表元素(x，y)看，这两个集合均为点集，又£+加%一丁+2=0及

x-y+l=0是两个曲线方程，故A的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译

成数学语言即为：“抛物线必+如―丁+2=0与线段x—y+l=0(0WxW2)有公共点，

求实数力的取值范围

x2+mx-y+2=0,

由一一，得

x-y+\=0(0WxW2),

x?+(〃7-l)x+l=0(0WxW2),①

AB#0,

..•方程①在区间［0,2］上至少有一个实数解.

首先，由A=(7〃—l)2—420,得力23或mW-1.

当时，由石+々=一(根一1)<0及玉%2=1知，方程①只有负根，不符合要求；

当mW-L时，由为+/=—(根―1)〉0及石々=1〉0知，方程①有两个互为倒数的正

根，故必有一根在区间(0山内，从而方程①至少有一个根在区间［0,2］内.

综上，所求"的取值范围是(-8，-1］.

第二章、函数

-、基础知识（理解去记）

定义1映射，对于任意两个集合A,B,依对应法则力若对A中的任意一个元素x,在8

中都有唯一一个元素与之对应，则称fA-8为一个映射。

定义2函数，映射中，若A,8都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定

义域，若且/（x）=y（即x对应8中的y）,则y叫做x的象，x叫y的原象。集

合伏x）|xGA｝叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义

的未知数的取值范围,如函数尸36-1的定义域为｛x|xNO,xGR｝.

定义,反函数，若函数fAfB（通常记作y=/（x））是一一映射，则它的逆映射了i：A-B叫

原函数的反函数，通常写作y寸*尤）.这里求反函数的过程是：在解析式y=/（x）中反解x得

x=f（y）,然后将互换得死尸（x）,最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数

y=------的反函数是>=1-工（尤70）.

1-XX

补充知识点：

定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线产X对称。

定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义4函数的性质。

（1）单调性：设函数式彳）在区间/上满足对任意的Xl,X2d/并且XI〈尤2，总有八无1）勺（尤2）伏尤-

）»X2））,则称八X）在区间/上是增（减）函数，区间/称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：设函数y=/（x）的定义域为D,且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x

GD,都有八一无尸灰尤），则称火尤）是奇函数；若对任意的尤GD,都有五-尤）=/仄），则称人尤）是偶

函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

（3）周期性：对于函数武力，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内每一个数

时，fix+T）=fix）总成立,则称加0为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小

的正数刀,则这个正数叫做函数五龙）的最小正周期。

定义5如果实数a<b,贝I数集｛x[a<x<6,xGR｝叫做开区间，记作（a,b）,集合｛x|aqWg

GR｝记作闭区间团力],集合记作半开半闭区间（a,6],集合｛x|aWx<b｝记作半闭半

开区间[a,b）,集合｛x|x>a｝记作开区间（a,+8）,集合｛x|xWa｝记作半开半闭区间

定义d函数的图象,点集｛（x,y）|y=/（x）,xeD｝称为函数产公）的图象，其中D为八尤）的定义域。

通过画图不难得出函数y=/（x）的图象与其他函数图象之间的关系（a,6>0）；

（1）向右平移a个单位得到y=/i>a）的图象；

（2）向左平移a个单位得到y=/（x+a）的图象；

（3）向下平移6个单位得到y=/（x）-6的图象；

（4）与函数y寸㈤的图象关于y轴对称；

（5）与函数尸式-x）的图象关于原点成中心对称；

（6）与函数产产（无）的图象关于直线尸x对称；（7）与函数》=/>）的图象关于x轴对称。

定理3复合函数y=/[g（x）]的单调性，记住四个字：“同增异减"。例如在（-

8,2）上是减函数，y=工在（0,+°°）上是减函数，所以尸一--在（-8,2）上是增函数。

u2-x

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。

一、基础知识（初中知识必会）

1.二次函数：当QW0时，产办2+6尤+c或式苫）=加+灰+。称为关于x的二次函数，其对称轴

AA

为直线x=--,另外配方可得fix）=a（x-xo）2+fixo）,其中xo=-—,下同。

2a2a

2.二次函数的性质：当。>0时，人工）的图象开口向上，在区间（-8,对上随自变量元增大

函数值减小（简称递减），在山一8）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当。<0时,

情况相反。

3.当a>0时，方程/（x）=0即加+陵+^=。…①和不等式〃x2+b%+c>o・・・②及加+灰+。<0…③与

函数八%）的关系如下（记△=/?2-4〃C）。

1）当△>（）时，方程①有两个不等实根，设孙愈8<%2）,不等式②和不等式③的解集分别是

｛小41或%>%2｝和｛小14<%2｝，二次函数危）图象与X轴有两个不同的交点，危）还可写成

J（x）=a（x-xi）（x-x2）.

b

2）当△=（）时，方程①有两个相等的实根为=%2=&=-，不等式②和不等式③的解集分别是

2a

b

｛x\x^——｝和空集0,1工）的图象与X轴有唯一公共点。

2a

3）当△<（）时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和。次x）图象与x轴无公

共点。

当〃<0时，请读者自己分析。

4dC—I｝2

4.二次函数的最值：若〃>0,当x=xo时，段）取最小值/（xo）=------，若〃<0,贝!J当x=xo=

4a

b4uc—b2

时,於）取最大值加o）=.对于给定区间［m㈤上的二次函数於）=〃/+力%+C（Q>O）,

2a---------------------4a

当沏£［m,时,危）在［111,用上的最小值为人孙）；当x0<m时。危）在［m,用上的最小值为/n）；

当沏>〃时,於）在［m,出上的最小值为人及）（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，''萝卜好大"不是命题。不含逻辑联

结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合

命题。

或/复合命题只有当〃，乡同为假命题时为假，否则为真命题；“夕且夕”

复合命题只有当p,q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真

一假。

定义2原命题：若p则g（0为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；

逆否命题：若非q则非0。

原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3如果命题“若p则q”为真，则记为p=q否则记作p手/在命题“若p则q”中，

如果已知则p是q的充分条件；如果qnp,则称p是q的必要条件；如果pnq但

q不二>p,则称p是q的充分非必要条件；如果p不但则p称为q的必要非充

分条件；若且q=>p,则p是乡的充要条件。

二、基础例题（必懂）

1.数形结合法。

例1（09.江西）求方程|/1|=’的正根的个数.

【解】分别画出y=|x-l|和产工的图象，由图象可知两者有唯

一交点，所以方程有一个正根。1x

例2（2010.广西模拟）求函数式x）=\

J一—3丁—6x+13-卜-/+1的最大值。

【解】/（x）=J（厂-2）~+（x—3）~-—I）、+（x—O',记点尸（无,x"）,A（3,2）,B

(0,1),则«r)表示动点尸到点A和5距离的差。

因为|附-附|W|AB|=732+(2-1)2=V10，当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时

等号成立。_

所以fi.X)max=V10.

2.函数性质的应用。

,"^f(x-l)2+1997(%-1)=-1、

例3(10、全国)设x,ydR,且洞足1,求x+y.

(j-1)3+1997(j-1)=1

【解】设加)=P+1997r,先证4)在(-8,+oo)上递增。事实上，若a<b,则

/。/&)=犷一/+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以就递增。

由题设於可Q-y),所以x-l=l-y,所以x+y=2.

例4(10、全国)奇函数7U)在定义域(-1,1)内是减函数，又八1七)/1-层)<0,求。的

取值范围。

【解】因为式尤)是奇函数，所以式1-°2尸爪由题设八1一4勺

又於)在定义域(-1,1)上递减，所以解得0<々<1。

例5(10、全国)设犬乃是定义在(-8,+oo)上以2为周期的函数，对AGZ,用乙表示

区间(2hl,2A+l],已知当xd/o时，八x)=f,求/(X)在〃上的解析式。

【解】设xe/左，贝I]2hl<xW2上+1,

所以J(x-2k)=(x-2k)2.

又因为犬x)是以2为周期的函数，

所以当xG”时，f(x)=fix-2k)=(x-2k)2.

例6(10、全国)解方程：(3x-l)(79%2-6X+5+1)+(2x-3)(V4x2-12X+13+1)=0.

【解】令m=3x-l,"=2x-3,方程化为

m(J4/+4+l)+〃(J”？+4+1)=0.①

若m=0,则由①得w=0,但m,”不同时为0,所以mN0,“NO.

i)若m>0,则由①得n<0,设财RJ产+4+1),则加在(0,+8)上是增函数。又加1)寸-哈

4

所以m=-n,所以3x-l+2x-3=0,所以x=—.

5

4

ii)若m<0,且〃>0。同理有m+〃=0,;r=—，但与m<0矛盾。

综上，方程有唯一实数解二二4.

5

3.配方法。

例7(经典例题)求函数yr+j2x+l的值域。

[解]y=x+V2x+1——[2x+1+2J2x+1+1]-1

二一(J2x+1+1)-11一-1二-一.

222

当犬=-；时，/取最小值-；，所以函数值域是[-J，+8)。

4.换元法。

例8(经典例题)求函数y=(Jl+x+Jl—X+2)(11—尤2+l),xG[O,l]的值域。

【解】令Jl+x+Jl-x=u,因为x£[O,l],所以2仝2=2+2，1-)W4,所以

已已I、j,\l^2+2.w+2bt、iM+29rr

2

所以------W------W2,—W2,所以y二----,u^[A/2+2,8]o

2222

所以该函数值域为[2+收，8]o

5.判别式法。

例9求函数尸的值域。

、x+3x+4

【解】由函数解析式得”l)x2+3(y+l)%+4y-4=0.①

当yW1时，①式是关于x的方程有实根。

所以△=9。+1)2-16。-1)220,解得亍WyWl.

又当产1时，存在x=0使解析式成立，

所以函数值域为7]o

7

6.关于反函数。

例10(10年宁夏)若函数y=/(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若於)在(。,+oo)

上递增，求证：丁寸1(%)在G8,+8)上也是增函数。

【证明】设为<%2,且州习^(修),丁2=/1(元2)，则XI次Y1),冗2=处2)，若力》丁2，则因为«X)在G8,+

8)上递增，所以阳2松与假设矛盾，所以%勺2。

即产fl(X)在(-8,+8)递增。

例11(经典例题)设函数於)=，||三，解方程：於HU).

21

【解】首先危)定义域为--)U[--,+8)；其次，设XI,X2是定义域内变量，且

<<24X2+14%+1_5(%2—玉)>0

123'3X2+23再+2(39+2)(3芭+2)'

21

所以“X)在(-8,_—)上递增，同理1工)在上一，+8)上递增。

34

在方程於月i(x)中，记危月i(%)=y，则>20,又由r(x)=y得4)=%,所以x20,所以无

1、

[--，+°°).

4

若xWy,设x<y,则於)二丁勺汁)二x，矛盾。

同理若也可得出矛盾。所以x=y.

即Xx)=x，化简得3X5+2X4-4X-1=0,

即(x-1)(3X4+5X3+5X2+5X+1)=0,

因为x》0,所以3X4+5X3+5X2+5X+1>0,所以九=1.

7.待定系数法。

例1(经典例题)设方程Px+lW的两根是a,B,求满足a)=B1y(B)=a<1)=1的二

次函数/(x).

【解】设7(1)=加+版+。(〃w0),

则由已知穴a)=B<B)=a相减并整理得(a-B)[(a+B)〃+/?+1]=0,

因为方程工2-兀+1=0中△。0,

所以aWB,所以(a+B)q+b+l=O.

又a+8=1,所以〃+。+1=0.

又因为/(1)=〃+/?+c=1,

所以。1=1,所以c=2.

又/?=-(〃+1),所以f(x)=ax2-(a+l)x+2.

再由/(a)=B得〃a2_(〃+1)a+2=B,

所以4a2_〃a+2=a+8=1,所以〃a2_〃a+1=0.

即〃(a2_a+1)+1-〃=。,即1-4=0,

所以a=l,

所以兀¥)=--2元+2.

8.方程的思想

例2(10.全国)已知兀0=加-C满足-40(l)W-l,-iq(2)W5,求13)的取值范围。

【解】因为-4《/a)=〃-cW-l,

所以1W；/(l)=c-aW4.

o5

X-1^A2)=46Z-C^5，X3)=-A2)--/1),

Q585

所以]X(-1)+耳讨3)W-x5+-x4,

所以-1W#3)W2O.

9.利用二次函数的性质。

例3(经典例题)已知二次函数段)=加+/?%+«4力/£11,〃。0),若方程危)=%无实根，求

证：方程x/a))=x也无实根。

【证明】若〃>0,因为无实根，所以二次函数g(x)』x)-x图象与工轴无公共点且开口

向上，所以对任意的x£R«v)-x>0即#x)>x,从而何2)次元)。

所以用》)>%,所以方程用(x))=x无实根。

注：请读者思考例3的逆命题是否正确。

10.利用二次函数表达式解题。

例4(经典例题)设二次函数危尸加+法+以〃〉。)，方程段)二X的两根X1,%2满足0<Xl<X2<—,

a

(I)当x£(0,为)时，求证：x<ftx)<xi；

(II)设函数/(%)的图象关于X=%o对称，求证：&<2~・

【证明】因为犯冗2是方程#X)-X=O的两根，所以#X)-X=4(X-X1)(X-X2)，

即«x)=a(x-xi)(%-x2)+x.

(I)当x£(0,xi)时，x-xi<0,x-X2<0,a>0,所以危)>%.

其次J(x)-Xi=(x-xi)[a(x-X2)+1]=a(x-Xi)[x-X2^--]<0,所以f(x)<xi.

a

综上，x<fix)<xi.

(II)J(x)=a(x-xi)(x-X2)+x=«X2+[1-a(xi+x2)]x+ax\X2,

所以xo=a(3+4)—1%]+/1

2a22a

1

所以%2----<--0,

a

所以<

2

11.构造二次函数解题。

例5(经典例题)已知关于X的方程(办+1)2=°234),°>1,求证：方程的正根比1小，负

根比-1大。

【证明】方程化为2a2/+2〃尤+1/2=0.

构造/(x)=2a2x2+2ar+1-cz2,

x1)=3+1)2>0,X-D=3-1)2>0,八0)=l-a2<0,BPA>0,

所以式尤)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

12.定义在区间上的二次函数的最值。

例6(经典例题)当无取何值时，函数y="二取最小值？求出这个最小值。

-(%2+1)2

【解】--------1------------令-----=-u,则0<uWl。

x2+l(x2+l)2x2+l

19、19

y=5u2-u+l=5H-----2-----,

2020

119

且当”=--即X—±3时，Jm»!=---.

1020

例7设变量x满足V+bxWRK-l),并且f+次的最小值是-g,求6的值。

【解】由x2+/?xW-x(/?<-l),得0W九W-(Z?+1).

1r2»21

i)-2w-(b+l),即bW-2时，d+bx的最小值为-幺,一一=——,所以〃=2,所以匕=±也

2442

(舍去)。

b

ii)-—>-3+1),即fc>・2时,/+法在10,-3+1)］上是减函数，

13

所以f+for的最小值为Z?+l,.

22

3

综上，b=--.

2

13.一元二次不等式问题的解法。

“22

例8(经典例题)已知不等式组-x+a-a<0①②的整数解恰好有两个，求。

x+2a>\

的取值范围。

【解】因为方程的两根为x\=a,%2=1-〃，

若〃W0,则％i<X2.①的解集为a<x<\-a,由②得x>l-2a.

因为所以〃W0,所以不等式组无解。

若a>0,i)当0<a<—时，为<%2,①的解集为a<x<\-a.

2

因为0<Q<X<1F<1,所以不等式组无整数解。

ii)当。=一时，a=l-a,①无解。

2

iii)当时，a>\-a,由②得x>l-2a,

2

所以不等式组的解集为\-a<x<a.

又不等式组的整数解恰有2个，

所以4z-(l-o)>l且a-(l-a)W3,

所以l<aW2,并且当l<aW2时，不等式组恰有两个整数解0,1。

综上，a的取值范围是l<a<2.

14.充分性与必要性。

例9(经典例题)设定数A,B,C使得不等式

A(尤-y)(x-z)+B(j-z)(y-尤)+C(z-尤)(z-y)》0①

对一切实数x,y,z都成立，问A,B,C应满足怎样的条件？(要求写出充分必要条件，而且

限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示条件)

【解】充要条件为A,B,CN0且A2+B2+C2W2(A8+BC+CA).

先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(yz)(x-y)+C(yz)220②

若4=0,则由②对一切尤,y,zGR成立，则只有B=C,再由①知B=C=0,若AW0,则因为②

恒成立，所以A>0,△=(B-A-02(y_z)2-4AC(y-z)2WO恒成立，所以(B-A-C)2_4ACW0,即A2+B2+C2

W2(A8+BC+CA)

同理有220,C》0,所以必要性成立。

再证充分性，若A20,B20,CN0且AZ+5+C^WZUB+BC+CA),

1)若A=0,则由序+C?W22c得(B-C)2WO,所以B=C,所以△=(),所以②成立，①成立。

2)若A>0,则由③知△・()，所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

15.常用结论。

若a,bGR,|a|-|b|W|a+例W|a|+|例.——绝对值不等式

【证明】因为-|a|WaW|a|,-|6|W6W|6|,所以-(|a|+|6|)Wa+bW|a|+|6|,

所以|a+6|W|a|+步|(注：若m>0,则-mWxWm等价于|尤|Wm).

^\a^\a+b-b\\a+b\+\-b\,

即间-网W1。+例.综上定理1得证。

若a,bGR,则。2+匕2》2%若尤,yGR+,则尤+y225y

(证略)

注定理2可以推广到〃个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

第三章、基本初等函数

一、基础知识(必会)

1.指数函数及其性质：形如y=dG>0,aWl)的函数叫做指数函数，其定义域为R,值域为

(0,+8),当0«1<1时，产炉是减函数，当a>l时，产炉为增函数，它的图象恒过定点(0,

I)-

1m______[机]

2.分数指数累：an=y[a,an=\lam.a~n=—,an=-,—。

a"Nc1m

3.对数函数及其性质：形如y=logax(a>0,1)的函数叫做对数函数，其定义域为(0,+°°),

值域为R,图象过定点(1,0)o当0<〃<1,产/ogqX为减函数，当〃>1时，产/ogaX为增函数。

4.对数的性质(M>0,2V>0)；

1)〃=MOx=/ogaM(〃>0,〃W1);

2)loga(MN)=logaM+logaN；

M_

3)loga(—)=logaM-logaN；4)logaMn=nlogaM(万能怛等式)

N

lo§aM6

5)loga=—logaM；6)a=M;7)logab=-(«,/?,c>0,a,c^1).

nlogca

5.函数y=x+q(a>0)的单调递增区间是(-%-和距,+<»),单调递减区间为[-JZ,O)

和（0,6]。（请同学自己用定义证明）

6.连续函数的性质：若八x）在他，切上连续，且犯?）•式6）＜0,贝!）式尤）=0在（«,&）上至少

有一个实根。

二、基础例题（必懂）

1.构造函数解题。

例1已知a,b,1）,求证:ab+bc+ca+l＞0.

【证明】设九x）=3+c）x+历+1（xe（-l,1））,则兀0是关于x的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证人-1）＞0且式1）＞0（因为.

因为於1）=-（/?+c）+Z?c+1=（1-Z?）（1-c）＞0,

Kl）=b-^-c+bc+a=（l+/?）（1+c）＞0,

所以/（a）＞0,即ab+bc+ca+\＞G.

例2（06）（柯西不等式）若。i,〃2,…,。〃是不全为。的实数，bi,b2,…,b〃GR,则

（E«,*12）*4•（!＞；））2,等号当且仅当存在〃wR,使曲=〃"♦,i=l,2,…，九时

z=li=l1=1

成立。

【证明】令治）二（X”；）一々（工。出=Y,

z=li=li=li=l

n

因为2片＞°，且对任意XGR,/（尤）＞o,

i=l

所以△=4（之。也）-4）（£*）W0.

i=li=li=l

展开得（fa；）a也汽

i=li=li=l

等号成立等价于y（x）=o有实根，即存在〃，使,i=i,2,…

***注释：根据许多省市的2024年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就即

可，不需深入做题。

例3（10.全国卷）设尤,yGR+,尤+y=c,c为常数且ce（0,2],求uJx+Ry+4的最小

I%人y）

值。

।1Y1।1、

【解】u=x—yH—二---1-----1-----2芝H------^2

I工人VJy%町xyy%

1

=xy+——+2.

移

(X+Y)202]

令xy=t,则0<t=xy^：--------二—，设/(/)=£+—,04W—・

44t4

c2

因为0＜cW2,所以Ov—Wl,所以加）在上单调递减。

4°4

c2c24c24

所以TWm片式一^）=―^■1---3,所以u2——+2.

44c24c2

cc24

当户产上时，等号成立.所以u的最小值为一+三+