小学数学二元一次方程组及其解法培优教程

小学数学二元一次方程组及其解法培优教程考点·方法·破译1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义；3．熟练掌握二元一次方程组的解法.经典·考题·赏析【例1】已知下列方程2xm－1＋3yn＋3＝5是二元一次方程，则m＋n＝.【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件：⑴这个方程中有且只有两个未知数；⑵含未知数的次数是1；⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.【解】根据二元一次方程的概念可知：，解得m＝2,n＝－2,故m＋n＝0.【变式题组】01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.⑴2x＋5y＝16(2)2x＋y＋z＝3(3)＋y＝21(4)x2＋2x＋1＝0(5)2x＋10xy＝502．若方程2xa＋1＋3＝y2b－5是二元一次方程，则a＝,b＝.03．在下列四个方程组①，②，③，④中，是二元一次方程组的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例2】（十堰中考）二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D．【变式题组】01．（杭州）若x=1，y=2是方程ax－y＝3的解，则a的值是（）A．5B．－5C．2D．102．（盐城）若二元一次方程的一个解为，则此方程可以是（只要求写一个）03.（义乌）已知：∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°,y°,下列方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．4．（连云港）若，是二元一次方程组，的解，则a＋2b的值为.①②【例3】解方程组①②【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y＝7－x③,将③带入②可消去y,从而求解.解：由①得，y＝7－x③将③带入②，得3x＋5(7－x)＝17,即35－2x＝17x＝9故此方程组的解是【变式题组】1.解方程组：（南京）⑴（海淀）⑵（花都）⑶（朝阳）⑷2．方程组的解满足x＋y＋a＝0,则a的值为（）A．5B．－5C．3D．－3①②【例4】解方程组①②【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.本题中，y的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.解：①×5得，y＝7－x③③＋②,得，13x＝26∴x＝2将x＝2代入①得y＝－1∴此方程组的解是.【变式题组】01．(广州)以为解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．02．解下列方程组：（日照）⑴（宿迁）⑵03．（临汾）已知方程组的解为，则2a－3b的值为（）A．4B．6C．－6D．－4①②04．已知，那么x－y的值为，x＋y的值为.①②①②【例5】已知二元一次方程组的解满足x＋y＝6,求k的值.①②【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k而得一个二元一次方程，此方程与x＋y＝6联立，求得x、y的值，从而代入①或②可求得k的值；另一种是直接由方程组解出x、y，其中x、y含有k,即用含k的代数式分别表示x、y，再代入x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程，继而求k的值.解：①×2，得，6x＋4y＝4k＋24③③－②,得2x＋7y＝22④由x＋y＝6，得2x＋2y＝12⑤，⑤－④,得－5y＝－10∴y＝2将y＝2代入x＋y＝6得x＝4将带入①得3×4＋2×2＝2k＋12∴k＝2.【变式题组】01．已知⑴与⑵有相同的解，则m＝,n＝.02．方程组的解满足方程x＋y－a＝0,那么a的值为（）A．5B．－5C．3D．－303．已知方程组的解x与y的和为8，求k的值.①②【例6】解方程组①②【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x＋3y）和（x－y）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x＋3y和x－y的值后，再组成新的方程组可求出x、y的值，此种方法称为换元法.解：设x＋3y＝a,x－y＝b,则原方程组可变形为③④③④③×3，得12a＋9b＝12⑤④×4,得12a－20b＝48⑥－⑤,得29b＝0,∴b＝0将b＝0代入③，得a＝4∴可得方程组故原方程组的解为.【变式题组】01．解下列方程组：⑴⑵（湖北十堰）02．（淄博）若方程组的解是，则方程组的解是（）A．B．C．D．03．解方程组：①②①②【例7】（第二届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知：方程组的解应为，小明解此题时把c抄错了，因此得到的解是，则a2＋b2＋c2的值为.【解法辅导】是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c的方程，由题意分析可知：是方程ax＋by＝－16的解，由此可得关于a、b的又一个方程，由此三个方程可求得a、b、c的值.解：34【变式题组】01．方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则a、c、d的值是（）A．不能确定B．a＝3,c＝1,d＝1C．c、d不能确定D．a＝3,c＝2,d＝－202．甲、乙良人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错C，解得，求A、B、C的值.演练巩固反馈提高01．已知方程2x－3y＝5,则用含x的式子表示y是，用含y的式子表示x是.02．(邯郸)已知是方程组的解，则a＋b＝.03．若(x－y)2＋|5x－7y－2|＝0,则x＝,y＝.04．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为.05．若x3m－n＋y2n－m＝－3是二元一次方程，则m＝,n＝.06.关于x的方程（m2－4）x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5,当m＝时，它是一元一次方程，当m＝时，它是二元一次方程.07．（苏州）方程组的解是（）A．B．C．D．08．（杭州）已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是（）A．1B．3C．－3D．－109．（苏州）方程组的解是（）A．B．C．D．10．（山东）若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程3x＋3y＝6的解，则k的值为（）A．－B．C．D．－11．（怀柔）已知方程组的解为，求的值为多少？12.解方程组：⑴（滨州）⑵（青岛）⑶13．已知方程组和方程组的解相同，求代数式3a＋7b的值.14．已知方程组的解x与y的和为8，求k的值.15．（希望杯试题）m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求m2的值.培优升级奥赛检测①②01．当k、b为何值时，方程组①②⑴有唯一一组解⑵无解⑶有无穷多组解02．.当k、m的取值符合条件时，方程组至少有一组解.03．已知：m是整数，方程组有整数解，求m的值.04．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0,(xyz≠0),则式子的值等于（）A．－B．－C．－15D．－1305．（信利杯赛题）已知：三个数a、b、c满足＝，＝，＝，则的值为（）A．B．C．D．06．（广西赛题）已知：满足方程2x－3y＋4m＝11和3x＋2y＋5m＝21的x、y满足x＋3y＋7m＝20,那么m的值为（）A．0B．1C．2D．307．（广西赛题）若|a＋b＋1|与（a－b＋1）2互为相反数，则a与b的大小关系是（）A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．a≥b08．（“华罗庚杯”竞赛题）解方程组09.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组的解的组数为（）A．1B．2C．3D．410．对任意实数x、y定义运算x※y＝ax＋by，其中a、b为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为（）A．20B．18C．16D．1411．（北京竞赛题）若a、b都是正整数，且143a＋