九年级数学圆心角和圆周角培优教程

九年级数学圆心角和圆周角培优教程考点·方法·破译1．理解掌握圆心角、圆周角的概念，能依据定义进行辨别；2．理解掌握圆周角相关的定理和推论，并能根据己知条件添加所需要的辅助线；3．能灵活进行圆内角的代换、转化和求值（角度）．经典·考题·赏析【例1】（成都）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BD=_________．【解法指导】连接OB．根据垂径定理推论可得∠ABO=∠OBC=60°．∴∠BAC=60°．由AD为⊙O的直径知∠ABD＝90°．∴AB=3，BD=3eq\r(,3)cm【变式题组】1．（河北）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（芜湖）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为__________．3．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为___________．【例2】（盐城）如图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动．设运动时间为t（s），∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）【解法指导】本题要从O—C、C—D、D—O三种情况进行探究，其中从O—C，y从90逐渐减小到45；从C—D、∠APB＝45°，即y恒为45；从D—O，y从45逐渐增大到90．综合知本题应选C．【变式题组】4．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A＝∠B=60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．205．（威海）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是（）A．∠BOD＝∠BAC B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠C＝∠D6．（青岛）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝42°，则∠BAD=_______．【例3】（柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解法指导】证明：（1）连结AC，如图，∵C是弧BD的中点，∴∠BDC＝∠DBC，又∠DBC＝∠BAC，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE＝∠BAC，∠BCE＝∠DBC，∴，因此，CF=BF；（2）作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点，∴∠CAG＝∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线，∴CE=CG，AE=AG，在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD，∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴BE=DG，∴AE=AB－BE=AG=AD+DG，即6－BE=2+DG，∴2BE=4，即BE=2，又△BCE∽△BAC，∴BC2=BE·AB=12，BC=±2EQ\eq\r(,3)（舍去负值），∴BC=2EQ\eq\r(,3)【变式题组】7．（广州）如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC=2EQ\eq\r(,3)cm．（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长．8．（沈阳）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．【例4】如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于____________．【解法指导】解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM=∠MAB=eq\f(1,2)×（180°－36°－128°）=8°，∵∠AMC＝44°．又AN为切线，∴∠NAC=∠B=36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°=92°，∴△ANM的最小角为44°．【变式题组】9．如图，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．演练巩固反馈提高1．（孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°2．（泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=eq\r(,3)，则弦AB所对圆周角的度数为（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°3．（绍兴）如图，⊙O是正三角形ABC的外接圆，点P在劣弧AB上，∠ABP＝22°，则∠BCP的度数为_____．4．（肇庆）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（）A．30° B．45° C．55° D．60°5．（泰州）如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为eq\r(,2)cm、1cm，则AC、BD所夹的锐角=_____．6．（安徽）△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B125° C．135° D．150°7．（十堰）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°8．（丽水）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是的中点，已知∠AOB＝98°，∠COB＝120°，则∠ABD的度数是___________．9．（云南）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠OAC的度数是（）A．35° B．55° C．65° D．70°10．（枣庄）如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．50°11．（株洲）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE＝30°，求PE的长．12．（荆门）如图①，直线AM⊥AN，⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点，连络OC、BC，则有∠ACB＝∠OCB；（请思考：为什么？）如果测得AB=a，则可知⊙O的半径r=a．（请思考：为什么？）（1）将图①中直线AN向右平移，与⊙O相交于C1、C2两点，⊙O与AM的切点仍记为B，如图②．请你写出与平移前相应的结论，井将图②补充完整；判断此结论是否成立，且说明理由．（2）在图②中，若只测得AB=a，能否求出⊙O的半径r？若能求出，请你用a表示r；若不能求出，请补充一个条件（补充条件时不能添加辅助线．若补充线段请用b表示，若补充角请用表示），并用a和补充的条件表示r.培优升级奥赛检测1．（武汉）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长2．（眉山）如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P．则∠P=_______度．3．（成都）如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD＝∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC＝60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为________．4．（铁岭）如图所示，AB为⊙O的直径，P点为其半圆上一点，∠POA＝40°，C为另一半圆上任意一点（不含A，B）．则∠PCB=_______度．5．（衢州）如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是_______，∠B2度数是_______；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度教（只需直接写出答案）．6．（中山）如图l，圆内接△ABC中，AB=BC=AC，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点C．（1）求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的eq\f(1,3)．（2）如