九年级数学圆的基本性质培优教程

九年级数学圆的基本性质培优教程考点·方法·破译1．掌握点与圆的三种位置关系及相应数量关系，能进行判别及应用；2．理解掌握垂径定理及其推论，能根据垂径定理作辅助线，会用垂径定理及其推论解实际问题；3．会用圆的对称性解释数学问题．经典·考题·赏析【例1】（江西）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外【解法指导】作图知，数轴上在⊙A上的点，最左边的表示的实数为1，最右边的表示的实数为5，在1、5之间的数的点在⊙A内，所以，B、C、D都对，A不正确．本题选A．【变式题组】1．（盐城）如图，⊙O的半径OA＝10cm，弦AB＝16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为________cm．第1题图第2题图例2图2．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8．则⊙O上到弦AB所在的直线的距离为1的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（资阳）已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A、C、D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（）A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25【例2】（全国竞赛）已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在⊙O内作正△ABC，点D为⊙O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交⊙O于点E，则AE的长为（）A． B．1 C． D．a【解法指导】如图，连结OE、OA、OB．设∠D＝α，则∠ECA＝120°－α＝∠EAC．又因为∠ABO＝∠ABD＝（60°＋180°－2α）＝120°－α，所以△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1．本题应选B．【变式题组】4．如图，在平面直角坐标系中，点A1是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l1的一个交点；点A2是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l2的一个交点；…，按照这样的规律进行下去，点An的坐标为___________．第4题图【例3】（钦州）已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为．求⊙O1的半径．【解法指导】解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，则有AC＝BC．由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．在Rt△AO1C中，∵O1的纵坐标为，∴O1C＝，∴⊙O1的半径O1A＝．【变式题组】5．（黄石）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1、h2，则|h1－h2|等于（）A．5 B．6 C．7 D．86．（河南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆⊙M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标． 第5题图 第6题图 例4图【例4】（巴中）已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A、B、D三点的圆的圆心．【解法指导】本题实质上是要证明AE＝BE＝DE． 证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1＝∠2，又∵DE∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，∵过A、B、D三点确定一个圆，又∠ADB＝90°，∴AB是A、B、D所在的圆的直径．∴点E是A、B、D所在圆的圆心．【变式题组】7．（荆门）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A、E、C、F四点共圆；（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND． 题7题图 例5图【例5】（全国竞赛）如图，已知四边形ABCD的内接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD的面积．【解法指导】解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB︰AC＝AE︰AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD．连结AO，交BD于H，则BH＝HD＝，∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1．∴S△ABD=BD·AH＝，∵E是AC中点，∴S△ABE＝S△CBE，S△ADE＝S△CDE，∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2．【变式题组】8．如图，⊙O半径为2，弦BD＝2，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上．求四边形ABCD的面积． 第8题图 第9题图9．（哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连结CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．演练巩固·反馈提高1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB＝10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为（）A．2 B． C．3 D．3．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（）A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C． D．OD＝DE4．如图，已知AB为⊙O的弦，直径MN与AB相交于⊙O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN＝20，AB＝8，则MC－ND＝________．5．（广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．（1）求证：AC＝AE；（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．求证：EF平分∠CEN．第5题图 培优升级·奥赛检测1．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 第1题图 第2题图 第3题图2．（邵阳）如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连结BC、BD，AB＝5，AC＝4，则BD＝________．3．如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE＝1cm，EF＝3cm，则AB＝___________cm．4．（遵义）如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，sinA＝，则弦AB的长为（）A． B． C．4 D． 第4题图 第5题图5．（安徽）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、CD、EF，如果，那么AB＋CD与EF的大小关系是（）A．AB＋CD＝EF B．AB＋CD＞EF C．AB＋CD＜EF D．不能确定第6题图7．（河北）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第7题图 第8题图8．如图，用三个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）A． B． C． D．9．（学用杯）2008年5月12日，四川汶川发生里氏8．0级大地震，地震发生后，全国人民积极投入抗震救灾工作之中，图为某军区空投物资用的某种降落伞及其轴截面示意图，△ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，现测得EO的长为1．04m，那么降落伞的直径AB为（）A．6m B．6．24m C．6．30m D